资源简介

中小学教育资源及组卷应用平台
2026年中考数学压轴题专项训练：圆（江苏专用）
1．请阅读材料，并完成相应的任务．战国时期数学家墨子提写的《墨经》一书中就有了圆的记载，与圆有关的定理有很多，弦切角定理就是其中之一．
定义：我们把顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角．（也就是切线与弦所夹的角，切点为弦切角的顶点）．如图1中即为弦切角．
弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹的弧所对的圆周角度数．
下面是弦切角定理的证明过程：
①如图1．已知：为圆上任意一点，当弦经过圆心，且切于点时，易证：弦切角．
②如图．当点是优弧上任意一点，切于点．求证：弦切角．
证明：连接并延长交于点，连接，如图2所示．
与相切于点，
▲ ，
，
是直径，
▲ （直径所对的圆周角是直角），
，
，
又 ▲ （同弧所对的圆周角相等），
．
完成下列任务：
（1）将上述证明过程补充完整；
（2）运用材料中的弦切角定理解决下列问题：
①如图3，的顶点在上，和相交于点，且是的切线，切点为，连接．若，求的长；
②如图4，，以为直径的交于点，过点作的切线，交的延长线于点．试猜想与的数量关系，并证明你的猜想．
2．阅读与思考
阅读下面内容并完成任务：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角．
弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角．
如图1，直线与相切于点，为的弦，叫弦切角，叫做弦切角所夹的弧，是所对的圆周角，为直径时，很容易证明．
小华同学认为这是一种特殊情况，若不是直径会如何呢？即在图2中吗？她连接并延长，交于点，连接…问题得到了解决．
小颖同学利用图3证明了当弦切角为直角时，弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角．
小亮积极思考，提出当弦切角为钝角时，能证明（如图4）吗？
任务：
（1）请按照小华的思路，利用图2证明；
（2）结合小华、小颖的思路或结论，利用图4解答小亮提出的问题；
（3）写出在上面解决问题的过程中体现的数学思想：　 　（写出两种）；
（4）解决问题：如图5，点为的弦延长线上一点，切于点，连接，，，，则　 　°
3．【阅读】婆罗摩笈多是七世纪印度数学家，他曾提出一个定理：若圆内接四边形的对角线相互垂直，则垂直于一边且过对角线交点的直线平分对边．
证明：如图1所示内接于圆的四边形的对角线互相垂直，垂足为点，过点的直线垂直于，垂足为点，与边交于点，由垂直关系得，，所以，由同弧所对的圆周角相等得，所以，则，同理，，故；
（1）【思考】命题“若圆内接四边形的对角线相互垂直，则平分对边且过对角线交点的直线垂直于另一边”为　 　（填“真命题”，“假命题”）；
（2）【探究】如图2，和为共顶点的等腰直角三角形，，过点的直线垂直于，垂足为点，与边交于点．证明：点是的中点；
（3）如图3，和为共顶点的等腰直角三角形，点是的中点，连接交于点，若，求的长．
4．如图1，正五边形内接于，阅读以下作图过程，并回答下列问题：作法如图2．
①作直径．
②以点为圆心，为半径作圆弧，与交于点．
③连结．
（1）求的度数．
（2）是正三角形吗？请说明理由．
（3）从点开始，以长为半径，在上依次截取点，再依次连结这些等分点，得到正边形，求的值．
5．【阅读理解】：如图，在中，a，b，c分别是，，的对边，，其外接圆半径为．根据锐角三角函数的定义：，，可得，即（规定）．
【探究活动】：如图，在锐角中，a，b，c分别是，，的对边，其外接圆半径为，那么：______________________（用>，=或<连接），并说明理由．
【初步应用】：事实上，以上结论适用于任意三角形．在中，a，b，c分别是，，的对边．已知，，，求．
【综合应用】：如图，在某次数学实践活动中，小莹同学测量一栋楼的高度，在处用测角仪测得地面点处的俯角为45°，点处的俯角为15°，B，C，D在一条直线上，且C，D两点的距离为100m，求楼的高度．（参考数据：，）
6．阅读资料：
如图1，在平面之间坐标系xOy中，A，B两点的坐标分别为A（x1，y1），B（x2，y2），由勾股定理得AB2=|x2﹣x1|2+|y2﹣y1|2，所以A，B两点间的距离为．
我们知道，圆可以看成到圆心距离等于半径的点的集合，如图2，在平面直角坐标系xOy中，A（x，y）为圆上任意一点，则A到原点的距离的平方为OA2=|x﹣0|2+|y﹣0|2，当⊙O的半径为r时，⊙O的方程可写为：x2+y2=r2．
问题拓展：如果圆心坐标为P（a，b），半径为r，那么⊙P的方程可以写为 ．
综合应用：
如图3，⊙P与x轴相切于原点O，P点坐标为（0，6），A是⊙P上一点，连接OA，使tan∠POA=，作PD⊥OA，垂足为D，延长PD交x轴于点B，连接AB．
①证明AB是⊙P的切线；
②是否存在到四点O，P，A，B距离都相等的点Q？若存在，求Q点坐标，并写出以Q为圆心，以OQ为半径的⊙O的方程；若不存在，说明理由．
7．【教材阅读】华东师大版九年级下册第27章3．圆周角
圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于该弧所对的圆心角的一半；相等的圆周角所对的弧相等． 由圆周角定理，可以得到以下推论： 推论1 的圆周角所对的弦是直径．
小兰根据以上教材内容对“圆周角定理”作了如下拓展：
【拓展1】（1）设的半径为R，如图1所示，和是的内接三角形，其中为直径，记，，则______；
【拓展2】（2）设的半径为R，如图2所示，是的内接三角形，记，，，，请证明．
8．阅读理解：
（1）【学习心得】
小赵同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到一些几何问题，如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以使问题变得非常容易．我们把这个过程称为“化隐圆为显圆”．这类题目主要是两种类型．
①类型一，“定点+定长”：如图1，在中，是外一点，且，求的度数．
解：若以点（定点）为圆心，（定长）为半径作辅助圆，（请你在图1上画圆）则点必在上，是的圆心角，而是圆周角，从而可容易得到 ．
②类型二，“定角+定弦”：如图，中，是内部的一个动点，且满足，求线段长的最小值．
解：，
，
，（定角）
点在以（定弦）为直径的上，请完成后面的过程．
（2）【问题解决】
如图3，在矩形中，已知，点是边上一动点（点不与，重合），连接，作点关于直线的对称点，则线段的最小值为 ．
（3）【问题拓展】
如图4，在正方形中，，动点分别在边上移动，且满足．连接和，交于点．
①请你写出与的数量关系和位置关系，并说明理由；
②点从点开始运动到点时，点也随之运动，请求出点的运动路径长．
答案解析部分
1．【答案】（1）；；
（2）解：①如图，
是的切线，切点为，
，
又，
，
，
∵AD=2，CD=6，
∴AC=8，
，
∴；
②，理由如下：
连接，如图所示，
是直径，
，，
又，
是的角平分线，
∴∠BAC=2∠BAE，
又是的切线，
，
．
2．【答案】（1）解：连接AO并延长，交⊙O于点C'，连接C'B，则∠C'=∠C，
∵AC'是⊙O的直径，
∴∠ABC'=90°，
∴∠C'+∠C'AB=90°
∵直线NM与⊙O相切于点A，
∴C'A⊥MN.
∴∠C'AB+∠BAM=∠C'AM=90°，
∴∠BAM=∠C'，
∴∠BAM=∠C.
（2）解：连接AO并延长，交⊙〇于点D，连接DB，
∵AD是⊙〇的直径
∴∠ABD=90°，
∴∠D+∠DAB=90°
∵直线NM与⊙O相切于点A，
∴DA⊥MN，
∴∠DAB+∠BAN=∠DAN=90°，
∴∠BAN=∠D，
∵四边形ACBD是⊙O的内接四边形
∴∠C+∠D=180°
∵∠BAN+∠BAM=180°
∴∠BAM=∠C.
（3）思想转化思想和类比思想
（4）21
3．【答案】（1）真命题
（2）解：如下图，过点作，交的延长线于点，
∵，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
∴．
∵为等腰直角三角形，
∴．
在和中，
∴．
∴．
∵，
∴．
在和中，
∴．
∴．
即是的中点
（3）解：如下图，过点作，交的延长线于点，
∵，
∴．
在和中，
∴．
∴．
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
在和中，
∴．
∴
4．【答案】（1）解：五边形是正五边形，
，即．
（2）解：是正三角形
理由：连结ON，NF，由题意，可得FN=ON=OF
∴△FON是等边三角形，∴∠NFA=60°
，同理可得：，
是正三角形．
（3）解：，
，
．
的值是15．
5．【答案】【探究活动】：，；
【初步应用】：
∵，，，，
∴，
∴，
∴；
【综合应用】：
如图，
由题意得：，，，，
∴，
∵，
∴，，
设楼，则，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴楼高度约为．
6．【答案】问题拓展：（x﹣a）2+（y﹣b）2=r2
综合应用：综合应用：
①∵PO=PA，PD⊥OA，
∴∠OPD=∠APD．
在△POB和△PAB中，
，
∴△POB≌△PAB，
∴∠POB=∠PAB．
∵⊙P与x轴相切于原点O，
∴∠POB=90°，
∴∠PAB=90°，
∴AB是⊙P的切线；
②存在到四点O，P，A，B距离都相等的点Q．
当点Q在线段BP中点时，
∵∠POB=∠PAB=90°，
∴QO=QP=BQ=AQ．
此时点Q到四点O，P，A，B距离都相等．
∵∠POB=90°，OA⊥PB，
∴∠OBP=90°-∠DOB=∠POA，
∴tan∠OBP==tan∠POA=．
∵P点坐标为（0，6），
∴OP=6，OB=OP=8．
过点Q作QH⊥OB于H，如图3，
则有∠QHB=∠POB=90°，
∴QH∥PO，
∴△BHQ∽△BOP，
∴，
∴QH=OP=3，BH=OB=4，
∴OH=8-4=4，
∴点Q的坐标为（4，3），
∴OQ==5，
∴以Q为圆心，以OQ为半径的⊙O的方程为（x-4）2+（y-3）2=25
7．【答案】（1）
（2）如图所示，构造，，其中和为直径，
∴，
∴，均为直角三角形，
由圆周角定理得：，
∴在中，，
∴，
同理在中可得，
∴．
8．【答案】（1），
（2）2
（3）解：①结论∶，，
理由如下：
∵四边形是正方形，
∴，，
∵，
在和中，
∴，
∴
∵
∴，
∴，
∴，
∴
②如图4，连接，交于点O，
∵点P在运动中保持，
∴点P的运动路径是以AD为直径的圆弧，
∴点P的运动路径长为．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)

展开更多......

收起↑