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2026年中考数学压轴题专项训练：二次函数（江苏专用）
1．阅读以下材料，完成课题研究任务：
【研究课题】设计公园喷水池
【素材1】某公园计划修建一个图(1)所示的喷水池，水池中心O处立着一个高为2m的实心石柱OA，水池周围安装一圈喷头，使得水流在各个方向上都沿形状相同的抛物线喷出，并在石柱顶点A 处汇合.为使水流形状更漂亮，要求水流在距离石柱0.5m处能达到最大高度，且离池面的高度为2.25m，如图(2)，建立平面直角坐标系.
【素材2】距离池面1.25米的位置，围绕石柱还修了一个小水池，要求小水池不能影响水流.
【任务解决】
（1）小张同学设计的水池半径为2m，请你结合已学知识，判断他设计的水池是否符合要求.
（2）为了不影响水流，小水池的半径不能超过多少米
2．阅读下列材料：利用完全平方公式，将多项式变形为的形式，然后由就可求出多项式的最小值．
例题：求多项式的最小值．
解：．因为所以
当时，因此有最小值，最小值为1，即的最小值为1．
通过阅读，理解材料的解题思路，请解决以下问题：
（1）【理解探究】
已知代数式，则A的最小值为__________；
（2）【类比应用】
张大爷家有甲、乙两块长方形菜地，已知甲菜地的两边长分别是米、米，乙菜地的两边长分别是米、米，试比较这两块菜地的面积和的大小，并说明理由；
（3）【拓展升华】
如图，中，，，，点、分别是线段和上的动点，点从A点出发以的速度向点运动；同时点从点出发以的速度向点运动，当其中一点到达终点时，两点同时停止运动．设运动的时间为，则当的值为多少时，的面积最大，值为多少？
3． 在平面直角坐标系中，点的纵坐标y与横坐标x的差“”称为点A的“纵横差”．某范围内函数图象上所有点的“纵横差”中的最大值称为该范围内函数的“纵横极差”．
例如：点的“纵横差”为；函数图象上所有点的“纵横差”可以表示为，当时，的最大值为，所以函数的“纵横极差”为7．
根据定义，解答下列问题：
（1）求点的“纵横差”；
（2）求函数的“纵横极差”；
（3）若函数的“纵横极差”为4，求h的值．
4．综合与实践在学校项目化学习中，某研究小组开展主题为“生长素浓度对植物种子发芽率的影响”的研究．请你阅读以下材料，解决“数学建模”中的问题．
【研究背景】已知一定浓度的生长素既能促进种子发芽，也会因浓度过高抑制种子发芽．探索生长素使用的适宜浓度等最优化问题，可以借助数学模型进行解决．
【数据收集】研究小组选择某类植物种子和生长素，以生长素浓度x（标准单位）为自变量，种子的发芽率y（%）为因变量，进行“生长素浓度对植物种子发芽率的影响”的实验，获得相关数据：
生长素浓度x（标准单位） 0 0.6 1 1.7 2 2.5 2.7 3 3.3 4 4.2
发芽率y（%） 35.00 49.28 56.00 62.37 63.00 61.25 59.57 56.00 51.17 35.00 29.12
【数据分析】如图，小组成员以表中各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系描出相应的点．
说明：①当生长素浓度x＝0时，种子的发芽率为自然发芽率；
②当发芽率大于等于零且小于自然发芽率时，该生长素抑制种子发芽；
③当生长素抑制种子发芽，使得发芽率减小到0时，停止实验．
【数学建模】请你结合所学知识解决下列问题：
（1）观察上述各点的分布规律，判断y关于x的函数类型，并求出该函数的表达式；
（2）请计算抑制种子发芽时的生长素浓度范围．
5．定义：对于函数，当自变量，函数值时，则叫做这个函数的不动点．
（1）直接写出反比例函数的不动点是______．
（2）如图，若二次函数有两个不动点，分别是0与3，且该二次函数图象的顶点P的坐标为．
①求该二次函数的表达式；
②连接，M是线段上的动点（点M不与点O，P重合），N是该二次函数图象上的点，在x轴正半轴上是否存在点满足，若存在，求m的最大值；若不存在，请说明理由．
阅读材料：在平面直角坐标系中，若点E和点F的坐标分别为和，则点E和点F的距离为．
6．阅读与应用：
阅读1：a、b为实数，且a＞0，b＞0，因为，所以从而（当a=b时取等号）．
阅读2：若函数；（m＞0，x＞0，m为常数），由阅读1结论可知：，所以当，即时，函数的最小值为．
阅读理解上述内容，解答下列问题：
问题1：已知一个矩形的面积为4，其中一边长为x，则另一边长为，周长为2（），求当x= 时，周长的最小值为 ；
问题2：已知函数（）与函数（），
当x= 时，的最小值为 ；
问题3：某民办学校每天的支出总费用包含以下三个部分：一是教职工工资4900元；二是学生生活费成本每人10元；三是其他费用．其中，其他费用与学生人数的平方成正比，比例系数为0.01．当学校学生人数为多少时，该校每天生均投入最低？最低费用是多少元？（生均投入=支出总费用÷学生人数）
7．【阅读材料】
配方法是指将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式，这种方法称之为配方法．例如，将．配方的目的不仅可以简化计算，还能利用完全平方的非负特性，解决一些数学问题．配方变形可以用来解我们第4章要学习的一元二次方程，还可以用来求第章二次函数的“最值”问题．例如：求代数式的最值．
解：因为
（分离常数项）
（提二次项系数）
（配方）
所以当时，代数式取得最小值3．
再如：求代数式的最值．
解：因为
所以当时，代数式取得最大值．
【材料理解】
时，代数式的最 （“大”或“小”）值为 ．
【迁移应用】
如图，有一块锐角三角形余料，它的边厘米，高厘米．现要用它裁出一个矩形工件，使矩形的一边在上，其余的两个顶点分别在、上．
设厘米，试用含的代数式表示矩形工件的面积；
运用“配方法”求的最大值．
8．【阅读理解】：
关于的函数为常数，且，经过某个定点，请求出定点的坐标．
方法一：先将等式化为的形式，再根据时有无数多个解，求得定点的坐标为；
方法二：当时，；当时，；
解方程组解得，
求得定点的坐标为
（1）【模仿练习】
关于的二次函数为常数，且，是否经过定点，如果是，请选择一种方法求出定点的坐标；如果不是，请说明理由．
（2）【尝试应用】
某“数学兴趣小组”根据学习函数的经验，对函数的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整：
①计算与的几组对应值，其中 ▲ ；
②列表如下：
如图，在直角坐标系中用描点法画出了函数这个图象；
③若直线与函数的图象只有一个交点，请结合函数图象，求出的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】（1）解：符合要求，理由如下：
由题意可得， 顶点为(0.5， 2.25)，
∴设解析式为
∵函数过点(0， 2)，
∴代入解析式得，
解得a=-1，
∴解析式为：
令y=0， 则
解得x=2或x=-1(舍去)，
∴水池的半径至少为2m，
∴小张同学的设计符合要求.
（2）解：令y=1.25， 则
解得x=1.5或x=-0.5(舍)，
∴为了不影响水流，小水池的半径不能超过1.5米.
2．【答案】（1）
（2）解：，理由如下：
∵，，
．
（3）解：由题意得：，
当时，的面积最大，且最大面积为．
3．【答案】（1）解：由题意， 点B(4，9)的“纵横差”为9-4=5.
（2）解：由题意，
又·
∴当x=-5时，y-x的最大值是
∴函数 的“纵横极差”为
（3）解：∵函数 的“纵横极差”为4，
∴当-1≤x≤3时， 的最大值为4.
①若h<-1，则当x=-1时，y-x有最大值y-x为4，
解得h=-2.5.
②若-1≤h≤3，则当x=h时，y-x有最大值为4，
解得h=2或h=-2(舍去)。
③若h>3，则当x=3时，y-x有最大值为4y-x，
解得 (舍去)。
综上所述，h=-2.5或h=2.
4．【答案】（1）解：观察上述各点的分布规律，y关于x的函数是二次函数，
设该二次函数的解析式为y＝ax2+bx+c，
将（0，35），（1，56），（2，63）代入得，
，
解得，
∴该二次函数的解析式为y＝﹣7x2+28x+35；
（2）解：当x＝0时，y＝35，
∴种子自然发芽率为35%，
∴当y＝35时，﹣7x2+28x+35＝35，
解得x1＝0，x2＝4，
当y＝0时，﹣7x2+28x+35＝0，
解得x1＝﹣1（舍去），x2＝5，
∴抑制种子发芽时的生长素浓度范围为4＜x≤5．
5．【答案】（1），；
（2）①∵二次函数有两个不动点0与3，∴点、在二次函数的图象上．
将，代入得，解得．
∴二次函数的表达式为．
②延长交x轴于点A，设，
∵，
∴，则，
解得，．设直线的表达式为，
将，代入得，解得．
∴直线的表达式为，同理直线的表达式为．
联立，解得，，则．
设点，由，，可得
，．
．
∵，，
∴．
∴，
则，
整理得．
∴，
整理得．
∵，
∴当时，．
∴在x轴正半轴上存在点，且m的最大值为．
6．【答案】问题1：2，8
问题2：2，6
解：问题3：设学校学生人数为x人，
则生均投入===，
由（），解得x=700，
所以x=700时，有最小值为=1400，
故当x=700时，生均投入的最小值为10+0.01×1400=24元．
7．【答案】材料理解：，大，；
迁移应用：
解：设的长度是厘米，的长度是厘米，
四边形为矩形，
，
，
，
，
，
矩形面积．
，
，
当时，，
当的长度是厘米时，矩形零件的面积最大，最大面积为平方厘米
8．【答案】（1）解：过定点，理由：
将二次函数整理为：，
则当或时，或，
即过定点、；
（2）解：①；
②根据表格数据描点、连线、绘制函数图象如下：
③当时，函数表达式为：，如下图，
由直线得：，
则该直线过点，如下图，
设直线和该抛物线有一个交点，直线为：，直线过点和，
故当直线在和之间及在位置时，两个函数只有一个交点，
⑴由和得，直线的表达式为：，即；
⑵直线和抛物线只有一个交点，
则联立和并整理得：
，
则，
解得：不合题意的值已舍去；
综上，．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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