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2026年中考数学压轴题专项训练：反比例函数（江苏专用）
1． 在平面直角坐标系中，点的纵坐标y与横坐标x的差“”称为点A的“纵横差”．某范围内函数图象上所有点的“纵横差”中的最大值称为该范围内函数的“纵横极差”．
例如：点的“纵横差”为；函数图象上所有点的“纵横差”可以表示为，当时，的最大值为，所以函数的“纵横极差”为7．
根据定义，解答下列问题：
（1）求点的“纵横差”；
（2）求函数的“纵横极差”；
（3）若函数的“纵横极差”为4，求h的值．
2．阅读与应用：同学们，你们已经知道()2，即2b2所以2b2当且仅当时取等号．
阅读：若、为实数，且，，，，当且仅当时取等号．
阅读：若函数为常数由阅读结论可知：，即当即，时，函数的最小值为．
阅读理解上述内容，解答下列问题：
（1）问题：已知一个矩形的面积为，其中一边长为，则另一边长为，周长为，当　 　时，矩形周长的最小值为　 　．
（2）问题：若函数，则　 　时，函数的最小值为　 　．
（3）问题3：建造一个容积为立方米，深米的长方体无盖水池，池底和池壁的造价分别为每平方米元和元，设池长为米，水池总造价为元，求当为多少时，水池总造价最低？最低是多少？
3．阅读与应用：
阅读1：a、b为实数，且a＞0，b＞0，因为，所以从而（当a=b时取等号）．
阅读2：若函数；（m＞0，x＞0，m为常数），由阅读1结论可知：，所以当，即时，函数的最小值为．
阅读理解上述内容，解答下列问题：
问题1：已知一个矩形的面积为4，其中一边长为x，则另一边长为，周长为2（），求当x= 时，周长的最小值为 ；
问题2：已知函数（）与函数（），
当x= 时，的最小值为 ；
问题3：某民办学校每天的支出总费用包含以下三个部分：一是教职工工资4900元；二是学生生活费成本每人10元；三是其他费用．其中，其他费用与学生人数的平方成正比，比例系数为0.01．当学校学生人数为多少时，该校每天生均投入最低？最低费用是多少元？（生均投入=支出总费用÷学生人数）
4．【定义】在平面直角坐标系中，对“纵横值”给出如下定义：点是函数图象上任意一点，纵坐标y与横坐标x的差“”称为点A的“纵横值”．函数图象上所有点的“纵横值”中的最大值称为函数的“最优纵横值”．
【举例】已知点在函数图象上．点的“纵横值”为；函数图象上所有点的“纵横值”可以表示为，当时，的最大值为，所以函数的“最优纵横值”为7．
【问题】根据定义，解答下列问题：
（1）①点的“纵横值”为 ；
②求出函数的“最优纵横值”；
（2）若二次函数的顶点在直线上，且最优纵横值为5，求c的值；
（3）若二次函数，当时，二次函数的最优纵横值为2，直接写出b的值．
5．阅读理解：
在平面直角坐标系中，点P的坐标为（x1，y1），点Q的坐标为（x2，y2），且x1≠x2，y1≠y2，若P、Q为某矩形的两个顶点，且该矩形的边均与某条坐标轴垂直，则称该矩形为P、Q的“相关矩形”．如图①中的矩形为点P、Q的“相关矩形”
（1）已知点A的坐标为（0，1）．
①若点B的坐标为（3，5），则点A、B的“相关矩形”的周长为 ▲ ．
②若点C在直线y＝5上．且点A、C的“相关矩形”为正方形，求直线AC的解析式．
（2）已知点M的坐标为（-2，4），点N的坐标为（-5，3），若使函数的图象与点M、N的“相关矩形”有两个公共点，直接写出k的取值范围．
6．阅读理解：
材料一：若三个非零实数x，y，z满足：只要其中一个数的倒数等于另外两个数的倒数的和，则称这三个实数x，y，z构成“和谐三数组”.
材料二：若关于x的一元二次方程ax2+bx +c= 0（a≠0）的两根分别为 ， ，则有 ， .
问题解决：
（1）请你写出三个能构成“和谐三数组”的实数　 　；
（2）若 ， 是关于x的方程ax2+bx +c= 0 （a，b，c均不为0）的两根， 是关于x的方程bx+c=0（b，c均不为0）的解.求证：x1，x2，x3可以构成“和谐三数组”；
（3）若A（m，y1） ，B（m +
1，y2） ，C（m+3，y3）三个点均在反比例函数 的图象上，且三点的纵坐标恰好构成“和谐三数组”，求实数m的值.
7．【阅读理解】如图1，在平面直角坐标系中，直线的函数关系式，，是直线上任意两个不同的点，过点、分别作轴、轴的平行线交于点，则线段，于是有，即的值仅与的值有关，不妨称为直线的“纵横比”．
【直接应用】（1）直线的“纵横比”为_______，直线的“纵横比”为_______．
【拓展提升】（2）如图2，已知直线与直线互相垂直，请用“纵横比”原理以及相关的几何知识分析与的关系，并加以证明．
【综合应用】（3）如图3，已知点，是轴上一动点，线段绕着点按逆时针方向旋转至线段，设此时点的运动轨迹为直线，若另一条直线，且与有且只有一个公共点，试确定直线的函数关系式．
8．阅读理解：
【材料一】若三个非零实数x，y，z中有一个数的平方等于另外两个数的积，则称三个实数x，y，z构成“友好数”.
【材料二】若关于x的一元二次方程的两根分别为，则有： .
问题解决：
（1）实数4，6，9可以构成“友好数”吗？请说明理由；
（2）若三点均在函数（k为常数且）的图象上，且这三点的纵坐标构成“友好数”，求实数t的值；
（3）设三个实数是“友好数”且满足，其中是关于x的一元二次方程的两个根，是抛物线与x轴的一个交点的横坐标.
①的值等于 ；
②设，求y关于x的函数关系式.
答案解析部分
1．【答案】（1）解：由题意， 点B(4，9)的“纵横差”为9-4=5.
（2）解：由题意，
又·
∴当x=-5时，y-x的最大值是
∴函数 的“纵横极差”为
（3）解：∵函数 的“纵横极差”为4，
∴当-1≤x≤3时， 的最大值为4.
①若h<-1，则当x=-1时，y-x有最大值y-x为4，
解得h=-2.5.
②若-1≤h≤3，则当x=h时，y-x有最大值为4，
解得h=2或h=-2(舍去)。
③若h>3，则当x=3时，y-x有最大值为4y-x，
解得 (舍去)。
综上所述，h=-2.5或h=2.
2．【答案】（1）2；8
（2）4；7
（3）解：∵根据题意得长方体的宽为米，
∴，
∵，
∴当，即x=-2(不合题意舍去)，x=2时，函数的最小值为1760，
∴当x=2时，水池总造价y最低，最低为1760元.答：当x=2时，水池总造价y最低，最低为1760元.
3．【答案】问题1：2，8
问题2：2，6
解：问题3：设学校学生人数为x人，
则生均投入===，
由（），解得x=700，
所以x=700时，有最小值为=1400，
故当x=700时，生均投入的最小值为10+0.01×1400=24元．
4．【答案】（1）解：①.
②，∵，∴，∴函数的“最优纵横值”为2.
（2）解：由题意得：抛物线的对称轴为直线，
∴，
解得：，
∴，
∴，
∵最优纵横值为5，
∴，
∴.
（3）解：，
若，则当时，；
即：，
解得：或（舍去）；
若，则当时，；
即：，
解得（舍）或；
综上所述：b的值为5或．
5．【答案】（1）解：①14； ②设点C（a，5），
又∵点A的坐标为（0，1），点A、C的“相关矩形”为正方形，
∴|a-0|＝|5-1|，
∴a＝±4，
∴点C（4，5）或（-4，5），
设直线AC的解析式为y＝kx+b，
若过点A，点C（4，5），
∴，
解得：，
∴直线AC的解析式为y＝x+1，
若过点A，点C（-4，5），
∴，
解得：，
∴直线AC的解析式为y＝-x+1，
综上所述：直线AC的解析式为y＝-x+1或y＝x+1；
（2）解：如图，
当y＝的图象过点（-2，3）时，函数的图象与点M、N的“相关矩形”有1个公共点，
∴k＝-2×3＝6时，
当y＝的图象过点（-5，4）时，函数的图象与点M、N的“相关矩形”有1个公共点，
∴k＝-5×4＝-20，
∴当-20＜k＜-6时，函数的图象与点M、N的“相关矩形”有两个公共点．
6．【答案】（1） ，2，3（答案不唯一）
（2）证明：∵ ， 是关于x的方程ax2+bx +c= 0 （a，b，c均不为0）的两根，
∴ ， ，
∴ ，
∵ 是关于x的方程bx+c=0（b，c均不为0）的解，
∴ ，∴ ，
∴ = ，
∴x1 ，x2，x3可以构成“和谐三数组”
（3）解：∵A（m，y1） ，B（m + 1，y2） ，C（m+3，y3）三个点均在反比例函数 的图象上，
∴ ， ， ，
∵三点的纵坐标y1，y2，y3恰好构成“和谐三数组”，
∴ 或 或 ，
即 或 或 ，
解得：m=﹣4或﹣2或2.
7．【答案】（1）2、；
（2）如下图
P2过作y轴平行线交于P3，在P1P2上找一点H，过H作x轴的平行线交于P4，得∠P3P2M与∠P1P2G互余
由⊥l得∠MP3P2与∠P1P2G互余
∴∠MP3P2=∠P1P2G
∴△P3HP4∽△P2GP1
∴
∴
又由“纵横比”的意义得，
∴
又∵，
∴．
（3）点的运动轨迹为直线．取其上特殊两点，如下图
由题意知，当P在坐标原点时易知动点B坐标为D(0，8)，
当P在点(0，-8)时，动点 B坐标为E(-8，0)；
∴直线l的“纵横比”为
∴直线l关系式的一次项系数为1
又∵，利用（2）的结论知直线m关系式的一次项系数为-1
所以可设m关系式为：（b为待定的常量）它和的交点满足方程组
消去并整理得，由于直线m与有且只有一个公共点
∴一元二次方程有两相等实根
∴，解之得
直线m如下图所示
所以直线m的关系式为：或
8．【答案】（1）解：∵62＝4×9，
∴4，6，9可以构成“友好数”；
（2）解：∵y1，y2，y3构成“友好数”，
∴有三种可能：
①，由题得，即t2＝（t﹣1）（t+1），无解.
②，由题得，即（t﹣1）2＝t（t+1），解得.
③，由题得，即（t+1）2＝t（t﹣1），解得.
∴满足条件的 或 ；
（3）解：① 0
②由①得 a+b+c＝0， 两边同除以a，得
，
∴，
∴，
即函数关系式为：.
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