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2026年中考数学压轴题专项训练：方程与不等式（江苏专用）
1．如果关于x的一元一次方程的解x=a是整数，则称该方程为“整数”方程；如果有两个“整数”方程，其中一个方程的解是另一个方程的解的k倍(其中k为整数且k≠0)，则称这两个方程有“整k倍”关系.例如一个“整数”方程2x-1=3的解是x=2，另一个“整数”方程：2y+8=0的解为y=-4，因为 所以方程2x-1=3与方程：2y+8=0有“整-2倍”关系.
按此定义解答下列问题：
（1）下列方程是“整数”方程的有　 　(请填序号)；
①3x-2=-6-5x；②2(x-1)=4；③.
（2）已知关于x的方程 与关于y的方程a(y+5)=3y-2有“整3倍”关系，求a 的值；
（3）若关于x的方程m(x-4)=2x+2与关于y的方程：m(y-4)=y+2有“整k倍”关系，请直接写出整数m的值.
2．【阅读材料】①“换元法”是我们解数学题时常用的一种方法．它主要是将一个较为复杂的表达式用一个较为简单的符号或字母代替，从而简化问题，降低难度，使问题易于解决．②例如解分式方程时，可以设，则原方程可以化为，解得，即，去分母得，所以，检验：当0时，，所以是原方程的解．
【基本应用】
（1）用换元法解方程；
（2）已知x，y满足方程，结合“换元法”的解题思路，求的值．
【创新应用】
（3）结合“换元法”的思路探究分解因式．
3．阅读材料：像，……这种两个含二次根式的代数式相乘，积不含二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．在进行二次根式运算时，利用有理化因式可以化去分母中的根号，请你根据上述材料，解决如下问题：
（1）化简：_____；
（2）的有理化因式是______，______；
（3）比较大小：______（填，，，或中的一种）；
（4）若，求的值．
4． 使方程（组）与不等式（组）同时成立的未知数的值称为此方程（组）和不等式（组）的“关联解”．例：已知方程与不等式，当时，同时成立，则称“”是方程与不等式的“关联解”．
（1） 是方程和下列不等式（组）　 　的“关联解”；（填序号）
①；②；③；
（2）若关于x，y的二元一次方程组和不等式组有“关联解”，且m为整数，求m的值．
（3）若关于x的方程的解是关于x的不等式组的“关联解”，且此时不等式组有5个整数解，试求m的取值范围．
5． 阅读下列材料：在苏科版九年级数学上册第页，我们把就叫做一元二次方程根的判别式，我们用表示，即．如果的值是一个完全平方数时，一元二次方程的根不一定都为整数，但是如果一元二次方程的根都为整数，的值一定是一个完全平方数．
例如：方程，，的值是一个完全平方数，但是该方程的根为， 不都为整数；方程的两根，都为整数，此时，的值是一个完全平方数．我们定义：两根都为整数的一元二次方程称为“全整根方程”，代数式的值为该“全整根方程”的“关爱码”，用表示，即；若另一关于x的一元二次方程也为“全整根方程”，其“关爱码”记为，当满足时，则称一元二次方程是一元二次方程的“全整根伴侣方程”．
（1）关于x的一元二次方程是一个“全整根方程”．
①当时，该全整根方程的“关爱码”是 　 　．
②若该全整根方程的“关爱码”是，则m的值为 　 　．
（2）关于x的一元二次方程（m为整数，且）是“全整根方程”，请求出该方程的“关爱码”．
（3）若关于x的一元二次方程是（m，n均为正整数）的“全整根伴侣方程”，求的值（直接写出答案）．
6．阅读下列材料：我们发现，关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），如果的值是一个完全平方数时，一元二次方程的根不一定都为整数，但是如果一元二次方程的根都为整数，的值一定是一个完全平方数．
定义：两根都为整数的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）称为“友好方程”，代数式4ac-b2的值为该“友好方程”的“超强代码”，用表示，即；若另一关于x的一元二次方程px2+qx+r=0（p≠0）也为“友好方程”，其“超强代码”记为，当满足时，则称一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）是一元二次方程px2+qx+r=0（p≠0）的“最佳搭子方程”．
（1）“友好方程”的“超强代码”是　 　；
（2）关于x的一元二次方程（m为整数，且）是“友好方程”，请求出该方程的“超强代码”；
（3）若关于x的一元二次方程是（m，n均为正整数，且m≠n）的“最佳搭子方程”，且的一个根是的一个根的2倍，求m和n的值.
7．【阅读理解】
的几何意义是：数a在数轴上对应的点到原点的距离．所以，可理解为：数a在数轴上对应的点到原点的距离不大于2．
（1）可理解为______；
我们定义：形如，，，（m为非负数）的不等式称为绝对值不等式．能使一个绝对值不等式成立的所有未知数的值称为这个绝对值不等式的解集．
【理解运用】
根据绝对值的几何意义可以解一些绝对值不等式：
由上图可得出：绝对值不等式的解集是；绝对值不等式的解集是或．
（2）①不等式的解集是______；
②不等式的解集是______；
【拓展探究】
（2）请求出绝对值不等式的解集．
8．阅读材料：
材料1：如图，是由四个长为，宽为的长方形拼摆而成的正方形，其中，则根据图形可以得到等式．
材料2：若一元二次方程的两个根为，则，．
材料3：已知实数满足，且，则是方程的两个不相等的实数根．
根据上述材料解决以下问题：
（1）材料理解：一元二次方程两个根为，则______，_____．
（2）应用探究：一元二次方程两个根为，则_______．
（3）思维拓展：已知实数分别满足，，其中且，求的值．
答案解析部分
1．【答案】（1）②③
（2）解：方程 的解为x=3，
∵“整数”方程 与关于y的“整数”方程a(y+5)=3y-2是“整3倍”关系，
∴y=1或9，
当y=1时，代入a(y+5)=3y-2，解得
当 y=9时，代入a(y+5)=3y-2，解得
综上所述， 或
（3）解：m=0或3
2．【答案】（1）解：设，则原方程可以化为，解得，
，去分母得，
解得，检验：当时，
是原方程的解．
（2）解：设，则原方程可以化为，
即，
，
．
（3）解：设，则原式，
故原式．
3．【答案】（1）
（2），
（3）
（4）解：，
，
，
．
4．【答案】（1）①
（2）解：解方程组得，
∵二元一次方程组和不等式组有“关联解“，
∴是不等式组的解，
把代入不等式组得，
把
解不等式组得-6 < m <-3，
∵m为整数，
∴或
（3）解：解不等式组得：m-1∵不等式组的整数解有5个
令整数的值为n，n+1，n+2，n+3，n+4，
则有：n-1≤m-1故n≤m∴且
∴n =1
∴1≤m<243≤m<53，
∴，
解方程x+4-3m得：x-3m-4，
∵方程x+4=3m是关于x的不等式组的“关联解”，
∴3m-4>m-13，m-4-1≤3m，
解得
综上m的取值范围是
5．【答案】（1）；或3
（2）解：
-5)=4m+29，
∵4∴45<4m+29<89，
其中完全平方数有49、64和81，
4m+29=49时， m=5，
4m+29=64时， (不合题意)，
4m+29=81时， m=13，
当m=5时，原方程为：
则
当m=13时，原方程为：
则
综上所述：该方程的“最值码”为 或

（3）解：方程： 的“最值码”Q
方程： 的“最值码” Q(p，q，r)
由题意得：
+4，
整理得：
或m-n=2，
∵m，n均为正整数，
不合题意，
6．【答案】（1）-25
（2）∵是“友好方程”，
∴由题意可知，且为完全平方数，
∵，∴，
∴=36或49或64，∴或或，
∵为整数，∴，
将代入原方程，则，
∴，
∴方程的“超级代码”为；
（3）方程①：的“超级代码”为：
，
由∵，
∴
∴
方程②：的“超级代码”为：
，
∴
∴
∵是的“最佳搭子方程”，
∴，
即，
整理得，，
∵，均为正整数且，
∴，∴，即，
又∵方程①的一个解是方程②的一个解的2倍，
∴①当时，得：，，
②当时，，，（舍），
③当时，得：（舍），
综上所述：，.
7．【答案】（1）数a在数轴上对应的点到原点的距离大于2；（2）①；②或；（3）或
8．【答案】（1）2，
（2）
（3）解：把，两边同时除以得：，则实数s和可看作方程的根，
∴，，
∴．
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