资源简介

中小学教育资源及组卷应用平台
2026年中考数学压轴题专项训练：三角形（江苏专用）
1．阅读理解：问题：如图1，在四边形ABCD中，对角线BD平分 求证：DA=DC.
思考：“角平分线+对角互补”可以通过“截长、补短”等构造全等去解决问题.
方法1：在 BC上截取，BM=BA，连接DM，得到全等三角形，进而解决问题；
方法2：延长BA 到点N，使得.BN=BC，连接 DN，得到全等三角形，进而解决问题.
（1）结合图1，在方法1和方法2中任选一种，添加辅助线并完成证明；
（2）问题解决：如图2，在(1)的条件下，连接AC，当 时，探究线段AB，BC，BD 之间的数量关系，并说明理由.
（3）问题拓展：如图3，在四边形ABCD中，. ，过点D作 垂足为点E，请写出线段AB、CE、BC之间的数量关系.
2．学分线性质的过程中，首先要探究角平分线的作图方法，请阅读下列材料，回答问题：已知：∠AOB，求作：∠AOB的平分线.
作法：（I）以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N.
（II）分别以点M，N为圆心，大于0.5MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C.
（III）画射线OC，则射线OC即为所求.
（1）如图1，射线OC就是∠AOB的角平分线的依据是（　　）
A．SAS B．ASA C．SSS D．AAS.
（2）下面是小明同学给出的方法：
如图2，以点O为圆心，以任意长为半径画弧与OA，OB分别交于点C，D，再以任意长为半径画弧与OA，OB分别交于点E，F，连结CF，DE交于点P，画射线OP，则OP平分∠AOB.
你认为小明的这种作角平分线的方法（　　）
（3）在不限于尺规作图的条件下，小颖同学用三角板按下面方法画角平分线：
如图3，在已知∠AOB的边OA，OB上分别取OC=OD，再分别过点C，D作OA，OB的垂线，两垂线相交于点P，画射线OP，则OP平分∠AOB.
请你帮这位同学证明：OP平分∠AOB.
3．《2022新课标》指明推理能力是指从一些事实和命题出发，依据规则推出其他命题或结论的能力．目前我们已经具备通过一次全等或者二次全等证明其他结论的能力．
【模型证明】阅读下列材料，完成相应证明．
命题：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
如图1，中，，是斜边上的中线．求证：．
分析：如图，要证明等于的一半，可以用“中线倍长法”延长到，使得，连接，可证，再证明，最后得到：．
请你按材料中的分析写出完整的证明过程；
【模型应用】如图3，在中，，延长到，使得，是边的中点，连接，求证：；
【模型构造】如图4，在中，，延长到，使得，连接，求的度数．
4．【阅读理解】
课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：
如图1，△ABC中，若AB=10，AC=8，求BC边上的中线AD的取值范围.小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到点E，使DE=AD，请根据小明的方法思考：
（1）由已知和作图能得到△ADC≌△EDB的理由是（　　）.
A．SSS B．SAS C．AAS D．HL
（2）求得AD的取值范围是（　　），
A．8（3）【问题解决】
如图2，AD是△ABC的中线，点E在BC的延长线上，，求证：AE=2AD.
5．（1）阅读理解：问题：如图1，在四边形中，对角线平分，．求证：．
思考：“角平分线+对角互补”可以通过“截长、补短”等构造全等去解决问题．
方法1：在上截取，连接，得到全等三角形，进而解决问题；
方法2：延长到点，使得，连接，得到全等三角形，进而解决问题．
结合图1，在方法1和方法2中任选一种，添加辅助线并完成证明．
（2）问题解决：如图2，在（1）的条件下，连接，当时，探究线段，，之间的数量关系，并说明理由；
（3）问题拓展：如图3，在四边形中，，，过点作，垂足为点，请写出线段、、之间的数量关系．
6．阅读理解
半角模型：半角模型是指有公共顶点，锐角等于较大角的一半，且组成这个较大角两边相等，通过翻折或旋转，将角的倍分关系转化为角的相等关系，并进一步构造全等三角形，使条件弱化，这样可把握问题的本质.
（1）【问题背景】
如图1，在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=120°，∠B=∠ADC=90°，E、F分别是BC、CD上的点，∠EAF=60°，试探究图1中线段BE、EF、FD之间的数量关系.
【初步探索】
小亮同学认为解决此问题可以用如下方法：延长FD到点G，使DG=BE，连接AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，则可得到线段BE、EF、FD之间的数量关系　 　.
（2）【探索延伸】如图2，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°，E、F分别是BC、CD上的点，∠EAF=BAD，上述结论是否仍然成立，并说明理由。
（3）【结论运用】如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（0处）北偏西30°的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东70°的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以80海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东50°的方向以100海里/小时的速度前进，1.5小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E、F处，且两舰艇之间的夹角∠EOF为70°，则此时两舰艇之间的距离为　 　海里.
7．阅读理解，自主探究：“一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角角度为，于是有三组边相互垂直．所以称为“一线三垂直模型”．当模型中有一组对应边长相等时，则模型中必定存在全等三角形．
（1）问题解决：如图1，在等腰直角中，，，过点C作直线，于D，于E，求证：；
（2）问题探究：如图2，在等腰直角中，，，过点C作直线，于D，于E，，，求的长；
（3）拓展延伸：在平面直角坐标系中，，点B在第一、第三象限的角平分线l上．点C在y轴上，为等腰直角三角形；
①如图3，当时，求点C的坐标；
②直接写出其他符合条件的C点的坐标．
8．【模型建立】
“数形结合”和“建模思想”是数学中的两个很重要的思想方法，先阅读以下材料，然后解答后面的问题．
例：求代数式的最小值．
分析：和是勾股定理的形式，是直角边分别是x和3的直角三角形的斜边，是直角边分别是和2的直角三角形的斜边，因此，我们构造两个直角和，并使直角边和在同一直线上（图1），向右平移直角△ABC使点B和E重合（图2），这时，，，问题就变成“点B在线段CF的何处时，AB+DB最短？”根据两点间线段最短，得到线段AD就是它们的最小值．
【模型应用】
（1）代数式的最小值为 ；
（2）变式训练：利用图3，求代数式的最小值；
【模型拓展】
（3）已知正数x满足，求x的值．
答案解析部分
1．【答案】（1）证明（方法1）：∵BD平分
∴
在与中，
∴
∴DA=DM，
∵，
∴
∴DC=DM=DA
（2）解：BD=BA+BC。理由如下：
在BD上截取BE=BA，连接AE。
易证与为等边三角形
∵
∴
在与中，
∴
∴BC=EC
∵BD=BE+EC
∴BD=BA+BC
（3）解：BC-AB=2EC。理由如下：
过点D作的延长线于点F。
∵
∴
在与中，
∴
∴AF=EC，DF=DE
在与中，
∴
∴BF=BE
∴BA+AF=BC-EC
∵AF=EC
∴BC-AB=2EC
2．【答案】（1）C
（2）正确
（3）证明：∵OC=OD，OP=OP，
∴Rt△OPC≌Rt△OPD(HL)，
∴∠COP=∠DOP，
∴OP平分∠AOB。
3．【答案】【模型证明】证明：如图所示：延长到，使得，连接．
在和中，
，
∴，
，，
∴（内错角相等，两直线平行），
（两直线平行，同旁内角互补）．
，
，
在和中，
，
∴，
．
∴，
【模型应用】 证明：连接．
，且为的中点，
，
，
，
，
，
∴，
；
【模型构造】 解：如图所示，过作于，连接．
，且，
∴．
∴．
∵．
∴，
∴，
∴为等边三角形．
，，
∵
∴．
∴，
∴．
∴．
∴为等腰直角三角形．
∴，
∴．
4．【答案】（1）B
（2）C
（3）解：如图，
延长至M，使，
∵是的中线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∵，
∴.
5．【答案】解：（1）在上截取，连接，
平分，
，
在和中，
，
，
，，
，，
，
，
；
（2），，之间的数量关系为．理由如下：
如图，在上截取，连接，
由（1）知，
，
，
，
，
为等边三角形，
，，
，
为等边三角形，
，，
，
，
，
．
（3）
6．【答案】（1）
（2）解：仍成立，理由：
如图2，延长到点G，使，连接，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴．
∵，
∴，
∴．
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴；
（3）270
7．【答案】（1）解：∵于D，，
∴
即，
∵
∴
∵
∴
（2）解：∵，，
∴，
∴，
∵，
∴
∵
∴
则
∵
∴
即；
（3）解：①过点B作轴，过点A作的延长线，如图：
因为过点A作的延长线
∴
∵过点B作轴，
∴
∵
∴
∴
∵点B在第一、第三象限的角平分线l上．点C在y轴上，
∴设点B的坐标为，
∵，
∴，
解得，
故点C的坐标为；
②，，
8．【答案】（1）13；（2）；（3）4.8
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)

展开更多......

收起↑