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2026年中考数学压轴题专项训练：数与式（江苏专用）
1．阅读下列解题过程： ，请解答下列问题：
（1）观察上面解题过程，计算
（2）请直接写出的结果．
（3）利用上面的解法，请化简：
2．“我们把多项式及叫做完全平方式．”如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值、最小值等．
例如：分解因式：．
解：原式．
例如：求代数式的最小值．
解：，
因为：，所以：当时，有最小值，最小值是．
根据阅读材料用配方法解决下列问题：
（1）分解因式：______；
（2）当，为何值时，多项式有最小值，并求出这个最小值；
（3）已知，，是的三条边，且满足，试判断的形状．
3．【阅读材料1】如果两个正数，即，则有下面的不等式：，当且仅当时取等号．它在数学中有广泛的应用，是解决最大（小）值问题的有力工具．
【实例剖析1】已知，求式子的最小值．
解：令，，则由，得，
当且仅当时，即时，式子有最小值，最小值为4．
【阅读材料2】我们知道，分子比分母小的分数叫做“真分数”；分子比分母大，或者分子、分母同样大的分数，叫做“假分数”．类似的，我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．
【实例剖析2】如：，这样的分式就是假分式；如：，这样的分式就是真分式，假分数可以化成（即）带分数的形式，类似的，假分式也可以化为带分式．
如：；．
【学以致用】根据上面两份材料回答下列问题：
（1）已知，则当______时，式子取到最小值，最小值为______；
（2）分式是______（填“真分式”或“假分式”）；假分式可化为带分式形式______；如果分式的值为整数，则满足条件的整数的值有______个；
（3）已知，当取何值时，分式取到最大值，最大值为多少？
4．【阅读材料】①“换元法”是我们解数学题时常用的一种方法．它主要是将一个较为复杂的表达式用一个较为简单的符号或字母代替，从而简化问题，降低难度，使问题易于解决．②例如解分式方程时，可以设，则原方程可以化为，解得，即，去分母得，所以，检验：当0时，，所以是原方程的解．
【基本应用】
（1）用换元法解方程；
（2）已知x，y满足方程，结合“换元法”的解题思路，求的值．
【创新应用】
（3）结合“换元法”的思路探究分解因式．
5．材料一：对于任意有理数x，y，定义新运算“ ”，，例如：，；
材料二：规定表示不小于m的最小整数，例如：，，，．
根据上述材料解答下列问题：
（1）________，________；
（2）求的值；
（3）若有理数p，q满足，求的值．
6．阅读理解题：
定义：如果一个数的平方等于，记为识，这个数叫做虚数单位那么和我们所学的实数对应起来就叫做复数，表示为为实数叫这个复数的实部叫做这个复数的虚部，它的加、减、乘法运算与整式的加、减、乘法运算类似．
例如计算：．
（1）填空：　 　，　 　；
（2）计算：；
（3）若两个复数相等，则它们的实部和虚部必须分别相等，完成下列问题：已知：为实数，求的值．
7．阅读材料：把几个数用大括号括起来，相邻两个数之间用逗号隔开（不能出现重复的数），如，，……我们称之为集合，其中的每一个数称为该集合的元素．如果两个集合中的元素完全相同（与元素的排列顺序无关），我们则称这两个集合相等．例如：集合，集合，则称集合．
根据以上材料内容，回答问题：
（1）根据阅读材料，下列是集合的是　 　；（填序号）
①②③
（2）已知集合，集合其中、为有理数，如果集合，请直接写出　 　，　 　；
（3）已知集合，集合，如果集合，请求出，的值．
8．阅读下列内容：设a，b，c是一个三角形的三条边的长，且a是最长边，我们可以利用a，b，c三条边长度之间的关系来判断这个三角形的形状：①若a2＝b2+c2，则该三角形是直角三角形；②若a2b2+c2，则该三角形是钝角三角形；③若a2b2+c2，则该三角形是锐角三角形．例如：若一个三角形的三边长分别是4，5，6，则最长边是6，62＝3642+52，故由③可知该三角形是锐角三角形，请解答以下问题：
（1）若一个三角形的三边长分别是7，8，9，则该三角形是　 　三角形．
（2）若一个三角形的三边长分别是5，12，x，且这个三角形是直角三角形，则x的值为　 　．
（3）若一个三角形的三边长为a＝，b＝，c＝，其中a是最长边，请判断这个三角形的形状，并写出你的判断过程．
答案解析部分
1．【答案】（1）解：原式
（2）
（3）（3）原式
2．【答案】（1）
（2）解：由材料中的解法可知，
，
，
当时，有最小值，最小值是
（3）解：由材料中的解法可知，
，
，
即，
，
，
，
，即是直角三角形
3．【答案】（1）3，6
（2）真分式；；4
（3）解：
，
，
，
当且当时，即时，式子有最小值为4，
当时，分式取到最大值，最大值为．
4．【答案】（1）解：设，则原方程可以化为，解得，
，去分母得，
解得，检验：当时，
是原方程的解．
（2）解：设，则原方程可以化为，
即，
，
．
（3）解：设，则原式，
故原式．
5．【答案】（1），
（2）解：根据新运算的定义可知：
=
=（1-2-3-4-5-……-11）+×10，
=-64+495
=431.
（3）解：根据题意可知：，，
∵，
∴
∴，
∴，
∴，
∴{p+q}=16，
∴==-12-（-16）+=，
答：的值为．
6．【答案】（1）；
（2）解：
；
（3）解：，
，
解得，
即，
7．【答案】（1）②③
（2）0；
（3）解：∵集合，集合，且，
∴要满足集合的定义，则，即，
∴，即，
此时集合，集合，
∴，解得，
当时，，，不满足集合的概念，舍；
当时，，，满足集合的概念，且，
∴，．
8．【答案】（1）锐角；
（2）13或；
（3）解：∵ a＝，b＝，c＝，
∴a2﹣b2﹣c2＝x2+3z2﹣x+y2﹣2y+＝（x﹣）2+（y﹣1）2+3z2+，
∵（x﹣）2≥0，（y﹣1）2≥0，3z2≥0
∴（x﹣）2+（y﹣1）2+3z2+＞0
∴a2＞b2+c2，
∴该三角形是钝角三角形．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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