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21.2.1 平行四边形及其性质
课时2 平行四边形的性质的运用
1. 进一步提高对平行四边形性质的应用能力.
2. 理解两条平行线之间的距离的概念，能度量两条平行线之间的距离．
平行四边形有哪些性质？
平行四边形
定义：两组对边分别平行
AB∥CD 且 AD∥BC
边：对边平行且相等
AB = CD，AD = BC
角：对角相等
∠BAD=∠BCD，∠ABC=∠ADC
邻角互补 ∠BAD+∠ABC=180°
对角线：互相平分
AO = OC，BO = OD
A
B
C
D
O
例1 如图，□ ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点 O，EF 过点 O 且与 AB，CD 分别相交于点 E，F. 求证 OE = OF.
B
C
A
D
O
E
F
分析：
四边形问题
三角形问题
转化
B
C
A
D
O
E
F
证明：在□ ABCD 中，AB∥CD，
∴∠EAO = ∠FCO，∠AEO = ∠CFO.
又 OA = OC，
∴△AOE△COF，∴OE = OF.
同理也可证△BOE △DOF.
例1 如图，□ ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点 O，EF 过点 O 且与 AB，CD 分别相交于点 E，F. 求证 OE = OF.
思考：改变直线 EF 的位置，OE = OF 还成立吗？ □ ABCD 被线段 EF 所截的两部分面积与周长呢？
归纳：若一条直线经过平行四边形两对角线的交点，则这条直线被一组对边所截的线段相等，且这条直线平分该平行四边形的面积和周长.
A
B
C
D
E
F
O
距离是几何中的重要度量之一，想一想我们学过哪些距离？
点与点之间的距离
点到直线的距离
两条平行线之间的距离有什么特点？
探究：利用方格纸画出直线 a//b，A，D 为直线 a 上任意两点. 过点 A，D 分别画直线 c，d，使 c∥d，用刻度尺测量点 A，B 的距离和点 D，C 的距离，它们相等吗？
a
b
c
d
A
B
D
C
再测量一下点 A，D 的距离和点 B，C 的距离，它们相等吗？
AB = 2.9cm
CD = 2.9cm
相等
AD = 2.7cm
BC = 2.7cm
相等
如图，a∥b，c∥d，c，d 与 a，b 分别相交于 A，B，C，D 四点. AB 和 CD 之间有什么关系？尝试归纳你的发现.
A
a
b
c
d
C
B
D
证明：∵AC∥BD，
∴四边形 ABDC 是平行四边形，
归纳：夹在两条平行线之间的任何两条平行线段都相等.
AB∥CD，
∴AB = CD.
a
b
A
B
C
D
E
F
从上面的结论进一步可以知道：如果两条直线平行，那么一条直线上所有的点到另一条直线的距离都相等.
两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离，叫作这两条平行线之间的距离.
AB、CD、EF 之间有什么关系？
AB∥CD∥EF
两条平行线之间的距离处处相等.
位置关系：
AB = CD = EF
数量关系：
图中 AB，CD 均可表示平行线 a，b 之间的距离.
a
b
A
B
C
D
E
F
如果两条直线平行，那么一条直线上所有的点到另一条直线的距离都相等，即平行线间的距离处处相等.
几何语言：
两条平行线之间的距离的性质
∵ a // b ，AB⊥ b ，CD⊥ b ，EF⊥ b ，
∴ AB = CD = EF.
a
b
A
B
C
D
E
F
思考 两条平行线之间的距离和点与点之间的距离、点到直线的距离有何联系与区别？
两点间的距离 点到直线的距离 两条平行线之间的距离
示 意 图
区别
联系 连接两点的线段的长度
直线外一点到这条直线的垂线段的长度
两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的垂线段的长度
都是指某一条线段的长度（距离是数值）
例2 如图，在梯形 ABCD 中，AD∥BC，AB = DC . 求证 ∠B = ∠C.
A
D
B
C
E
F
分析：
AD∥BC
平行线之间的距离相等
三角形全等
∠B = ∠C
证明：如图，在梯形 ABCD 中，AD∥BC，过点 A，D 分别作 AE ⊥ BC，DF ⊥ BC，垂足分别为 E，F.
∵AE，DF 的长都是平行线 AD，BC 之间的距离，
∴AE = DF.
又 AB = DC，
∴Rt△ABE Rt△DCF .
∴∠B = ∠C.
例2 如图，在梯形 ABCD 中，AD∥BC，AB = DC . 求证 ∠B = ∠C.
A
D
B
C
E
F
你还有其他证明方法吗？
证明：如图，过点 A 作 AE∥DC交 BC 于点 E .
∵AD∥BC，AE∥DC，AB = DC，
∴AE = DC = AB，∠C = ∠AEB .
∴∠B = ∠AEB = ∠C.
E
A
D
B
C
例2 如图，在梯形 ABCD 中，AD∥BC，AB = DC . 求证 ∠B = ∠C.
如图，在梯形ABCD中，AD∥ BC，∠C=90°，AD=3，AB=4，BC=5，E为边BC上一点，AB∥ DE.求AD，BC之间的距离.
解：∵ AD ∥ BC，AB ∥ DE，
∴ 四边形 ABED 是平行四边形，
∴ DE = AB = 4，BE = AD = 3，
∴ CE = BC BE = 5 3 = 2，
∴ CD = = = = 2，
即AD，BC之间的距离为2.
A
D
C
B
E
两条平行线之间的任何两条平行线段都相等.
两条平行线之间的距离处处相等.
A
a
b
c
d
C
B
D
a
b
A
B
C
D
E
F
两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离，叫作这两条平行线之间的距离.
1.如图，在 ABCD中，AC，BD为对角线，BC＝6，BC边上的高为4，则阴影部分的面积为 (　 　)
A．3 B．6
C．12 D．24
C
2. 如图，将两张对边平行的纸条交叉叠放在一起，重合的部分构成了一个四边形. 转动其中一张纸条，线段 AD 和 BC 的长度有什么关系？为什么？
解：AD = BC. 理由：
∵两张纸条的两组对边都互相平行，
∴重合的部分构成的四边形是平行四边形.
由平行四边形的对边相等，得 AD = BC.
3. 如图，已知直线 l1 ∥ l2，点C 1 ，C2 ，C 3 在直线 l 1上，且C1A⊥l2，垂足为A，点B在直线 l2 上.设△ABC1 的面积为S1，△ABC2 的面积为S2，△ABC3 的面积为S3 ，小颖认为S1 ＝ S2 ＝ S3 ，请帮小颖说明理由.
解：∵ 直线l 1 ∥ l2 ，点C 1 ，C2 ，C 3 均在l 1上，
∴ △ABC1 ，△ABC2 ，△ABC3的边AB上的高相等.
∴ △ABC1 ， △ABC2 ， △ABC3同底等高.
∴ S1 ＝ S2 ＝ S3 .
4.如图，在□ ABCD 中，∠BAD 的平分线 AP 交 BC 于点 P，∠ABC ＝ 110°.
（1）求∠APB 的度数；
（2）若 AB＝3，AD ＝5，求 PC 的长．
解:（1）∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴AD∥BC，∴∠DAB ＝ 180°－∠ABC ＝ 70°，
∠APB ＝ ∠DAP．
∵AP 平分∠DAB，∴∠DAP＝∠DAB＝35°，
∴∠APB＝∠DAP＝35°.
（2）∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴AD ＝ BC ＝ 5．
由（1）得∠DAP＝∠BAP，∠DAP＝∠APB，
∴∠APB＝∠BAP ，
∴BP＝AB＝3，∴PC＝BC－BP＝5－3＝2．
4.如图，在□ ABCD 中，∠BAD 的平分线 AP 交 BC 于点 P，∠ABC ＝ 110°.
（1）求∠APB 的度数；
（2）若 AB＝3，AD ＝5，求 PC 的长．

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