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21.2.2 平行四边形的判定
课时1 平行四边形的判定1
1.经历平行四边形判定定理的猜想与证明过程，体会类比思想及探究图形判定的一般思路.
2.掌握平行四边形的三个判定定理，能根据不同条件灵活选取适当的判定定理进行推理论证.
A
B
C
小华家准备安装一块平行四边形的装饰玻璃 ABCD，但是粗心的小华不小心碰碎了玻璃的一部分，剩下的部分如图所示. 现在小华想买一块一模一样的玻璃，你能在图纸上帮他画出来吗？
我根据平行四边形的定义来画.
D
还有其他的方法吗？
几何语言：
平行四边形的判定方法1
∵AB∥CD，AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形.
两组对边分别平行的四边形是平行四边形.
A
B
C
D
1.如图①为便携式折叠钓鱼椅，将其抽象成几何图形，如图②所示.已知∠ABD = 118°，∠GFE = 62°，BD ∥ CE ∥ GE.
求证：四边形 BCED 是平行四边形.
证明：BD∥GF，∠GFE = 62°，
∴∠BDF = 180°－∠GFE = 118°.
∵∠ABD = 118°，∴∠ABD = ∠BDF，
∴ BC∥DE. 又 ∵BD∥CE，
∴四边形 BCED 是平行四边形.
思考1 除了两组对边分别平行，平行四边形还有哪些性质？
边：平行四边形的对边相等；
角：平行四边形的对角相等；
对角线：平行四边形的对角线互相平分.
A
B
C
D
O
思考2 我们知道，平行四边形的对边相等、对角相等、对角线互相平分. 反过来，对边相等，或对角相等，或对角线互相平分的四边形是平行四边形吗？也就是说，平行四边形的性质定理的逆命题成立吗？
逆命题1：两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
逆命题2：两组对角分别相等的四边形是平行四边形；
逆命题3：对角线互相平分的四边形是平行四边形.
逐个研究证明吧？
已知：如图所示，在四边形 ABCD 中，AD = BC，AB = CD.
求证：四边形 ABCD 是平行四边形.
证明：如图所示，连接 BD.
∵AD = CB，AB = CD，BD = DB，
∴△ABD△CDB（SSS），
∴∠ABD = ∠CDB，∠ADB = ∠CBD，
∴AB∥CD，AD∥BC .
∴四边形 ABCD 是平行四边形.
A
B
C
D
逆命题1：两组对边分别相等的四边形是平行四边形
几何语言：
平行四边形的判定方法2
∵ AB = CD，AD = BC，
∴四边形ABCD是平行四边形.
两组对边分别相等的四边形是平行四边形.
A
B
C
D
2.如图，AE = DF，BE = CF，AD = BC，且∠AEB = ∠DFC，
求证：四边形 ABCD 是平行四边形.
证明：在△AEB 和△DFC中，
∴ △AEB △DFC（SAS），
∴AB = DC.
又AD = BC，
∴四边形 ABCD 是平行四边形.
AE = DF，
∠AEB = ∠DFC，
BE = CF，
已知：如图所示，在四边形 ABCD 中，∠A = ∠C，∠B = ∠D.
求证：四边形 ABCD 是平行四边形.
证明：∵∠A + ∠B + ∠C + ∠D = 360°，
∠A = ∠C，∠B = ∠D，
∴∠A + ∠B = 180°，∠C + ∠B = 180°，
∴ AD∥BC，AB∥CD，
∴四边形 ABCD 是平行四边形.
A
B
C
D
逆命题2：两组对角分别相等的四边形是平行四边形
几何语言：
平行四边形的判定方法3
∵∠A =∠C，∠B =∠D，
∴四边形ABCD是平行四边形.
两组对角分别相等的四边形是平行四边形.
D
C
A
B
3.如图,在四边形 ABCD 中,AB//CD,∠B = 55°,∠1 = 85°,∠2 = 40°.
求证：四边形 ABCD 是平行四边形.
证明：∵AB//CD，
∴∠DCB=180°－∠B=125°，∠CAB=∠2=40°.
∴∠DAB =∠1 + ∠CAB = 85°+ 40°= 125°.
∴∠DCB =∠DAB.
∵∠D = 180°－∠1－∠2 = 180°－85°－40°= 55°，
∴∠D =∠B，
∴四边形 ABCD 是平行四边形.
如图，在四边形ABCD中，AC,BD相交于点O，且OA=OC，OB=OD. 求证：四边形 ABCD 是平行四边形.
A
B
C
D
O
证明：∵OA = OC，OB = OD，∠AOB = ∠COD，
∴△AOB △COD. （SAS）
∴∠OAB = ∠OCD.
∴AB∥CD.（内错角相等，两直线平行）
同理 AD∥BC.
∴四边形 ABCD 是平行四边形.
逆命题3：对角线互相平分的四边形是平行四边形
几何语言：
平行四边形的判定方法4
∵OA=OC，OB=OD，
∴四边形ABCD是平行四边形.
对角线互相平分的四边形是平行四边形.
D
C
A
B
O
4.如图,在四边形ABCD中，AC,BD相交于点O，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E，F，BE ＝ DF，AF∥CE．试判断四边形 AECF、四边形 ABCD 的形状，并说明理由．
解：四边形 AECF、四边形 ABCD 都是平行四边形．理由如下：
∵AE ⊥ BD，CF ⊥ BD，∴易得 AE∥CF．
又 AF∥CE，∴四边形 AECF 是平行四边形．
∴ OA ＝OC，OE＝OF．
又 BE＝DF，
∴OE + BE ＝ OF + DF，即 OB ＝ OD ．
∴四边形 ABCD 是平行四边形．
例 如图，□ ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点 O，点 E，F 在 AC 上，并且 AE = CF. 求证：四边形 BFDE 是平行四边形.
证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴AO = CO，BO = DO .
∵AE = CF，
∴AO－AE = CO－CF，即 EO = FO.
又 BO = DO，
∴四边形 BFDE 是平行四边形.
你还有其他证明方法吗？
证明2：∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴AB = CD，AB∥CD，∴∠BAE = ∠DCF .
在△BAE 和△DCF 中，
∵AB = CD，∠BAE = ∠DCF，AE = CF，
∴△BAE△DCF（SAS），
∴BE = DF .
同理可证△BCF△DAE，
∴BF = DE，∴四边形 BFDE 是平行四边形.
例 如图，□ ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点 O，点 E，F 在 AC 上，并且 AE = CF. 求证：四边形 BFDE 是平行四边形.
平行四边形的判定方法
判定方法2
两组对边分别相等的四边形是平行四边形
判定方法3
两组对角分别相等的四边形是平行四边形
判定方法4
对角线互相平分的四边形是平行四边形
判定方法1
定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形
1.在四边形ABCD中下面给出的∠A，∠B，∠C，∠D的度数之比，其中能判定四边形ABCD为平行四边形的是(　 　)
A．1∶2∶3∶4 B．2∶3∶2∶3
C．2∶2∶3∶3 D．1∶2∶2∶3
B
2.如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，BC＝AD.若∠B＝110°，则∠A的度数为(　 　)
A．110°　　　 B．80°　　　
C．70°　　　 D．90°
C
3.如图在△ABC中，分别以AB,AC,BC为边在BC的同侧作等边△ABD、等边△ACE、等边△BCF.试说明四边形 DAEF 是平行四边形．
证明：∵△ABD和△BCF都是等边三角形，
∴∠DBF＋∠FBA＝∠ABC＋∠ABF＝60°.
∴∠DBF＝∠ABC.
又∵BD＝BA，BF＝BC，
∴△DBF△ABC(SAS). ∴AC＝DF.
又∵△ACE是等边三角形，∴AC＝DF＝AE.
同理可证△ABC△EFC，∴AB＝EF＝AD.
∴四边形DAEF是平行四边形．

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