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21.2.2 平行四边形的判定
课时2 平行四边形的判定2
1. 掌握“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”的判定方法.
2.会进行平行四边形的性质与判定的综合运用.
1．两组对边分别 的四边形是平行四边形．
2．两组对角分别 的四边形是平行四边形．
3．对角线 的四边形是平行四边形．
4．定义法：两组对边分别______的四边形是平行四边形．
相等
相等
互相平分
平行四边形的判定方法：
平行
还有其他的判定方法吗？
思考 取两根长度相等的木棍，将它们平行放置，再用两根木棍将其固定，得到的四边形是平行四边形吗？
我们知道，两组对边分别平行或相等的四边形是平行四边形.
如果只考虑四边形的一组对边，它们满足什么条件时这个四边形能成为平行四边形呢？
探究 对于平行四边形的一组对边，从它们的位置关系和数量关系考虑，你能得到什么结论？动手画一画.
问题1 一组对边平行的四边形是平行四边形吗？
问题2 满足一组对边相等的四边形是平行四边形吗？
问题3 如果一组对边平行且相等的四边形是平行四边形吗？
猜想：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.
A
B
C
D
表示平行且相等.
AB∥CD
AB = CD
分析给出的条件，讨论证明过程中还需要什么条件，并进行证明.
AD∥BC
AD = BC
（两组对边分别平行）
（两组对边分别相等）
如图，在四边形 ABCD 中，AB CD.
求证：四边形ABCD 是平行四边形.
A
B
C
D
证明：连接 BD.
∵AB∥CD，∴∠1 = ∠2.
又 AB = CD，BD = DB，
∴△ABD△CDB .（SAS）
∴∠3 = ∠4，∴ AD ∥ BC.
又 AB ∥ CD，
∴四边形 ABCD 是平行四边形.
1
2
4
3
如图，在四边形 ABCD 中，AB CD.
求证：四边形ABCD 是平行四边形.
AB∥CD
AD∥BC
A
B
C
D
证明：连接 AC.
∵AB∥CD，∴∠1 = ∠2.
又 AB = CD，AC = CA，
∴△ABC△CDA .（SAS）
∴BC = DA.
又 AB = CD，
∴四边形 ABCD 是平行四边形.
1
2
如图，在四边形 ABCD 中，AB CD.
求证：四边形ABCD 是平行四边形.
AB=CD
AD=BC
几何语言：
平行四边形的判定方法5
∵AB∥CD，AB = CD，
∴四边形ABCD是平行四边形
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.
A
B
C
D
四边形 AEFD 和 EBCF 都是平行四边形，求证：四边形 ABCD 是平行四边形.
证明：∵四边形 AEFD 和 EBCF 都是平行四边形，
∴AD∥EF，AD = EF，
EF∥BC， EF = BC.
∴AD∥BC，AD = BC.
∴四边形 ABCD 是平行四边形.
A
B
C
D
E
F
等腰梯形
A
B
C
D
问题4 如果一组对边平行，而另一组对边相等的四边形是平行四边形吗？
等腰梯形属于一组对边平行(上底和下底)，而另一组对边相等(两腰)，但是等腰梯形不是平行四边形．
证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形，
例 如图，在 ABCD 中，E，F 分别是 AB，CD 的中点.
求证 DE BF .
∴ AB CD .
又 EB = AB，DF = CD，
∴四边形 EBFD 是平行四边形.
D
A
B
C
E
F
只需证四边形 EBFD 是平行四边形.
∴ EB DF .
∴ DE BF .
平行四边形的判定
判定方法5
符号语言
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
∵ AB∥CD，AB＝CD ，
∴四边形ABCD是平行四边形
A
B
C
D
平行四边形的性质与判定的综合运用
C
1.根据所标数据，下列不一定是平行四边形的是(　)
2. 如图，在 ABCD 中，点 E，F 分别在边 AD，BC 上，添加下列条件中的一项，不能保证四边形 AFCE 是平行四边形的是（ ）
①AF＝CE；②BF＝DE；③∠AFC＝∠AEC；④∠BAF＝∠DCE．
A.①　　　　　B.②　　　　　C.③　　　　　D.④
A　　　
3. 如图，点 A，B，C，D 在同一条直线上，点 E，F 分别在直线 AD 的两侧，AE = DF，∠A = ∠D，AB = DC．
求证：四边形 BFCE 是平行四边形．
证明： ∵AB = CD，∴AB + BC = CD + BC，即 AC = BD，
在△ACE 和△DBF 中，
AC＝DB，∠A＝∠D，AE＝DF，
∴△ACE△DBF (SAS).
∴CE = BF，∠ACE =∠DBF.
∴CE∥BF.
∴四边形 BFCE 是平行四边形．
A
B
C
D
E
F
4.如图，在四边形 ABCD中，AD∥BC，AD = 9cm，BC = 6cm.P，Q分别是AD，BC上的动点，点P以1cm/s 的速度由点A出发向终点D运动，同时点Q以2cm/s的速度由点C出发向终点B运动，当其中一点停止运动时，另一点也随之停止运动.经过几秒，直线 P Q 在四边形 ABCD 上截出一个平行四边形？
BQ = AP
CQ = PD
解：设点 P，Q运动的时间为t s.
依题意，得 AP = t cm，CQ = 2t cm.
则BQ = (6－2t) cm，PD = (9－t) cm.
∵AD//BC，∴分两种情况讨论：
①当 BQ = AP 时，四边形 APQB 是平行四边形，
此时 6－2t = t，解得 t = 2.
②当 CQ = PD 时，四边形 CQPD 是平行四边形，
此时 2t = 9－t，解得 t = 3.
综上所述，经过2s或3s，直线 PQ 在四边形 ABCD
上截出一个平行四边形.

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