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21.3.1 矩形
课时1 矩形的性质
1. 理解矩形的概念，知道矩形与平行四边形的区别与联系.
2.会证明矩形的性质，会用矩形的性质解决简单的问题.
3.掌握直角三角形斜边中线的性质，并会简单的运用.
如图，现有一个活动的平行四边形，使它的一个内角变化，当内角变化为90°时，这是我们学过的哪个图形？
长方形
长方形在生活中无处不在.
思考：长方形与我们前面学行四边形有什么关系？
一个角是直角
平行四边形
矩形
有一个角是直角的平行四边形叫作矩形（长方形）.
矩形是特殊的平行四边形.
平行四边形不一定是矩形.
A
B
C
D
O
探究1：因为矩形是平行四边形，所以它具有平行四边形的所有性质. 但由于它有一个角为直角，它是否具有一般平行四边形不具有的一些特殊性质呢？
可以从边、角、对角线等方面来考虑.
材料准备：直尺、量角器、铅笔、橡皮擦等.
问题1 测量数学书的四条边长度、四个角的度数和对角线的长度，并记录测量的结果. 根据测量的结果，你有什么猜想？
猜想1：矩形的四个角都是直角.
猜想2：矩形的对角线相等.
你能证明吗？
A
B
C
D
O
如图，四边形ABCD是矩形，∠B=90°.
求证：∠A=∠B=∠C=∠D=90°.
A
B
C
D
证明：∵矩形 ABCD 是平行四边形.
∴∠B=∠D，∠C=∠A，AB // DC.
∴∠B+∠C=180°.
又∵∠B=90°，∴∠C=90°.
∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°.
猜想1：矩形的四个角都是直角.
如图，四边形ABCD是矩形，∠ABC=90°，对角线AC与DB相交于点O.
求证：AC=DB.
证明：∵四边形 ABCD 是矩形，
∴AB = DC，∠ABC = ∠DCB = 90°.
在△ABC和△DCB中
∵AB=DC，∠ABC = ∠DCB ，BC = CB，
∴△ABC △DCB（SAS），∴AC = DB.
猜想2：矩形的对角线相等.
A
B
C
D
O
矩形的特殊性质：
性质1：矩形的四个角都是直角.
性质2：矩形的对角线相等.
几何语言：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90°，AC=DB.
A
B
C
D
O
例 如图，矩形 ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点 O，∠AOB = 60°，AB = 4. 求矩形 ABCD 的对角线的长.
解：∵四边形 ABCD 是矩形，
∴AC 与 BD 相等且互相平分.
∴OA = OB.
又∠AOB = 60°，
∴△OAB 是等边三角形.
∴OA = AB = 4，
∴AC = BD = 2OA = 8.
A
B
C
D
O
问题2 请同学们准备一张矩形纸片，折一折，观察并思考：矩形是不是轴对称图形？如果是，那么对称轴有几条？
A
B
C
D
l1
l2
2条
1.如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，下列说法错误的是（ ）
A. AB // DC B. AC=BD
C. AC⊥BD D. OA=OB
C
2.如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8．对角线AC，BD相交于点O．点E，F分别是AO，AD的中点，连接EF，则EF的长为_______．
探究2：如图，一张矩形纸片，画出两条对角线，沿着对角线AC减去一半. 在Rt△ABC中，BO是一条怎样的线段？它的长度与斜边AC有什么关系？
A
B
D
C
O
A
B
C
O
猜想：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
尝试给出数学证明.
如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BO是AC上的中线.
求证：BO= AC.
A
B
C
O
D
证明：如图，延长BO到点D，使OD=OB，连接AD，CD.
∵OA = OC，OD = OB，∴四边形 ABCD 为平行四边形.
又∵∠ABC = 90°，所以平行四边形ABCD是矩形.
∴AC=BD，∴BO=BD=AC.
猜想：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
直角三角形的性质
C
B
A
O
符号语言：
Rt△ABC中，
∵∠ABC＝90°，OA＝OC，
∴BO＝ AC．
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
3. 如图，在△ABC 中，∠ACB = 90°，AD = BD，CD = 4，则 AB 的长为 （ ）
A. 8　　　B. 6　　　　C. 4　　　　D. 2
A
矩形
定义
特殊性质
有一个角是直角的平行四边形叫作矩形
①四个角都是直角；
②对角线相等；
③轴对称图形.
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
1. 如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB =90°，CD ⊥ AB 于点 D ，E是斜边 AB 的中点，若∠ECD =50°，则 ∠A =（ ）
A. 10° B. 20° C. 30° D. 40°
50°
40°
20°
20°
B
2.如图，在△ABC中，点D，E分别是边AB，BC的中点，点F在线段DE的延长线上，且∠BFC＝90°，若AC＝4，BC＝8，则DF的长是________．
6
3.如图，四边形ABCD是矩形，对角线AC，BD相交于点O，BE∥AC交DC的延长线于点E.
(1)求证：BD=BE；
证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，AC=BD，
∵BE∥AC，∴四边形ABEC是平行四边形，
∴BE=AC，∴BD=BE.
解：∵四边形ABCD是矩形，BO=4，
∴∠DCB=90°，AB=CD，BD=2BO=8，
∵∠DBC=30°，∴DC=BD=4，
∴在Rt△BCD中，BC==4，
由(1)知四边形ABEC是平行四边形，CE=AB=CD=4，
∴S四边形ABED=S矩形ABCD+S△BCE=BC·CD+CE·BC=4×4+×4×4=24.
(2)若∠DBC=30°，BO=4，求四边形ABED的面积.

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