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第二章 方程(组)及其应用
第2节 一元二次方程及其应用
目标领航
考点通关
考点1 一元二次方程的概念与解法
1.概念：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的①____________方程。
2.一般形式：
3.一元二次方程的解法
解法 适用情况 方程的根 注意事项
直接开 平方法 ②_______ 开方后的取值是互为相反数的两个数
因式 分解法 不能在方程两边同时约去相同的因式，否则易丢根
公式法 先化为一般形式，注意a，b，c的符号
配方法 一般适用于二次项系数为1，一次项系数为偶数，如： 二次项系数化为1后再配方
方法点睛 配方法的步骤
(1)化1：将二次项的系数化为1；(2)移项：使二次项、一次项在方程的左边，常数项在方程的右边；(3)配方：方程两边都加上一次项系数一半的平方，将方程左边配成完全平方式；(4)开方：用直接开平方法解方程。
考点2 根的判别式及根与系数的关系
1.根的判别式
(1)概念：一般地，式子 叫作一元二次方程 根的判别式，常用希腊字母“”来表示。
(2)根的判别式与根的个数的关系：①方程有两个不相等的实数根；
②方程有两个⑤_________的实数根；③⑥_______0方程没有实数根。
2.根与系数的关系：若关于x的一元二次方程 有两个根，分别为 ，则 ， .
易错警示 注意运用根与系数关系的前提条件是 .
考点3 一元二次方程的实际应用
1.平均变化率问题：设a为原来量，x为平均变化率，n为变化次数，b为变化后的量，则 .（其中增长为“+”，降低为“-”）
2.“每每”问题
(1)利润=售价-成本（进价）；总利润=单个利润×总销量。
(2)若单价每涨（降）a元，销量减少（增加）b件，则单价提高（降低）x元时，少（多）卖出⑦__________件。
3.面积问题：设矩形长为a，宽为b，空白部分的宽为x。
4.循环问题
(1)单循环赛（握手）问题：每两队之间比赛一场，则n队共比赛的场数为 ；
(2)双循环（互送礼物）问题：n个人互送礼物，则共送出的礼物总份数为⑧________。
夯基综合练
1.根据提示方法解下列一元二次方程。
(1)；(配方法)
(2)；(公式法)
(3)。(因式分解法)
2.下列方程：①；②；③；④.其中有两个不相等实数根的是__________；有两个相等实数根的是________；无实数根的是_________。（填序号即可）
3.(1)已知 , 是方程 的两根，则 ， ；
(2)设 , 是方程 的两个根，且 ，则m的值是_____。
4.某热门电影上映后，第一天票房为2亿元，以后每天票房按相同增长率增长，若第三天的票房为2.88亿元，则增长率为___________。
命题研究
命题点 1 一元二次方程的概念与解法
1.把多项式 进行配方，结果为 （ ）
A. B. C. D.
2.用配方法解一元二次方程 时，将它转化为 的形式，则 的值为 （ ）
A.-2024 B.2024 C.-1 D.1
3.若是关于的方程 的解，则的值为__________.
4.用与教材中相同型号的计算器，依次按键 ，显示结果为 2.236067977.借助显示结果，可以将一元二次方程 的正数解近似表示为__________.(精确到0.001)
5.(1)解方程 ；
(2)解方程 .
命题点 2 一元二次方程根的判别式
6.下列方程中，有两个不相等的实数根的是 （ ）
A. B. C. D.
7.若一元二次方程 有实数解，则 m 的取值范围是 （ ）
A.m≥-1 B.m≤1 C.m≥-1且m≠0 D.m≤1且m≠0
8.关于x的方程有实数根，则k的取值范围是（ ）
A.且k≠1 B.且k≠1 C. D.
9.若关于 x 的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则实数 m 的取值范围是___________.
10.若关于 x 的方程 有两个相等的实数根，则 m 的值为________.
11.已知关于 x 的一元二次方程 ，其中 m,n 满足m-2n=3，关于该方程根的情况，下列判断正确的是 （ ）
A.无实数根 B.有两个相等的实数根 C.有两个不相等的实数根 D.无法确定
命题点3 一元二次方程根与系数的关系
12.已知实数 , 是关于x的方程 的两个根，若 ，则k的值为 （ ）
A.1 B.-1 C. D.
13.关于x的一元二次方程 有两个不同的实数根 , ,且 ，则___________.
14.若一元二次方程 的两根为m,n，则 的值为_______.
15.若一元二次方程的两根之和与两根之积分别为，则点在平面直角坐标系中位于（ ）
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
命题点4 一元二次方程的实际应用
16.如图，某小区要在长为16m，宽为12m的矩形空地上建造一个花坛，使花坛四周小路的宽度相等，且花坛所占面积为空地面积的一半，则小路宽为___________m.
17.如图，某校有一块长20m、宽14m的矩形种植园。为了方便耕作管理，在种植园的四周和内部修建宽度相同的小路（图中阴影部分）.小路把种植园分成面积均为 的9个矩形地块，请你求出小路的宽度.
18.“五一”期间，威海某景点迎来了大量游客。景区管理部门发现，景区单日门票收入与游客量相关。每张门票价格每降低10元，日均游客量增加50人；反之，每张门票价格每提高10元，日均游客量减少50人。若当前每张门票价格为120元，日均游客量为2000人，则每张门票的价格定为多少元(以10元为调整单位)，能使该景点“五一”某天的门票总收入为21万元？
19.“我运动，我健康，我快乐！”随着人们对身心健康的关注度越来越高，某市参加健身运动的人数逐年增多，从2021年的32万增加到2023年的50万。
(1)求该市参加健身运动人数的年均增长率。
(2)为支持市民的健身运动，市政府决定从A公司购买某种套装健身器材。该公司规定：若购买不超过100套，每套售价1600元；若超过100套，每增加10套，售价每套可降低40元。但最低售价不得少于1000元。已知市政府向该公司支付货款24万元，求购买的这种健身器材的套数。
分层练习
基础练
1.已知 x=2 是关于 x 的方程 的一个根，则方程的另一个根为 （ ）
A. -5 B. 1 C. 2 D. -1
2.一元二次方程 的两个实数根为 , ，下列结论正确的是（ ）
A. B. C. D.
3.已知一元二次方程 的一个根为 1，则 _______.
4.关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则 ______.
5.若 , 是一元二次方程的两根，则的值为 ______.
6.《义务教育劳动课程标准（2022版）》将劳动从综合实践活动课中独立出来，劳动教育已纳入人才培养全过程。某校积极实施，建设校园农场。如图，该矩形农场长 32m，宽20m，要求在农场内修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下部分作为试验田，且使试验田的面积为，则道路的宽为 _______m.
7.解方程：
.
8.已知关于 x 的一元二次方程 有两个实数根和 .
(1) 求实数 k 的取值范围；
(2) 若两个实数根 和 满足，求 k的整数值.
9.某超市销售一批羽绒服，平均每天可售 20 件，每件盈利 40 元，为扩大销售增加盈利，超市决定适当降价，如果每件羽绒服降价1元，平均每天可多售出 2 件，如果超市要保证平均每天盈利 1200 元，同时又尽可能使顾客得到实惠，那么每件羽绒服应降价多少元？
10.某地一村民，2023 年承包种植橙子树 20 公顷，由于第一年收成不错，该村民每年都增加种植面积，到 2025 年共种植 28.8公顷。假设每年的增长率相同.
(1) 求该村民这两年种植橙子公顷数的平均增长率；
(2) 某水果批发店销售该种橙子，市场调查发现，当橙子每千克售价为 18 元时，每天能售出120千克，每千克售价每降低 1 元，每天可多售出 15 千克，为了减少库存，该店决定降价促销，已知该种橙子每千克的成本价为 8 元。若要使销售该种橙子每天获利 840 元，则每千克售价应降低多少元？
(2) 已知 是关于 x 的方程 的一个根，而这个方程的两个根恰好是等腰三角形 ABC 的两条边的长.
提升练
11.定义新运算：，例如： .则关于 x 的一元二次方程 的根的情况是 （ ）
A. 有两个相等的实数根 B. 有实数根
C. 有两个不相等的实数根 D. 没有实数根
12.若关于 x 的一元二次方程 的一个根是x=0，则 a 的值为 _______.
13.若关于 x 的一元二次方程 有实数根，则 m 的取值范围是 _______.
14.若 ， 是一元二次方程 的两个根，则 的值为 _______.
15.已知关于 x 的一元二次方程 .
(1) 求证：无论 k 取何值，此方程都有两个不相等的实数根
(2)已知 是关于x的方程 的一个根，而这个方程的两个根恰好是等腰三角形ABC的两条边的长.
①求k的值；
②求△ABC的周长.
16.定义：如果关于 x 的一元二次方程 (a≠0)有两个实数根，且其中一个根比另一个根大 1，则称这样的方程为“邻根方程”.
(1) 若(x+3)(x-m)=0是“邻根方程”，求 m 的值；
(2) 若一元二次方程 (b,c 均为常数)为“邻根方程”，请写出 b，c 满足的数量关系，并说明理由.
参考答案
①整式 ② ③ ④ 相等 ⑥⑦ ⑧
夯基综合练
1.(1) , (2) ,
(3) ,
2.①③；②；④ 3.(1)-1;-1 (2)-3 4.20%
命题研究
1.B 2.D 3.2025 4.0.618
5.解：(1) ， ，
或x - 4 = 0 ， ,
(2) , , ,
, ,
6. D 7.D 8.D 9. 10. 11. C 12. B 13.
14.6 15.C 16.2
17.解：设小路的宽度为xm，则9个矩形地块可合成长为(20-4x)m,宽为(14-4x)m的矩形，
根据题意得((20-4x)(14-4x)=24×9,
整理得 ，
解得 ， （不符合题意，舍去）。
答：小路的宽度为
18.解：设每张门票的价格定为x元，
根据题意得,
整理得 ，解得 ,
答：每张门票的价格定为 100 元或420元，能使该景点“五一”某天的门票总收入为21 万元。
19.解：(1)设该市参加健身运动人数的年均增长率为x,
由题意得 ，
解得 ， （不符合题意，舍去）。
答：该市参加健身运动人数的年均增长率为25%.
(2)设购买的这种健身器材的套数为m，由题意知.
由题意得 240000,
整理得 ，解得 ， （不符合题意，舍去）。
答：购买的这种健身器材的套数为200.
分层练习
1.B 2.D 3.2 4. 5.-5 6.2
7.解: ,
.
8.解: (1) 根据题意得 ，解得 k≤2.
(2) 根据根与系数的关系得 ， ，
解得，
又 ， k的整数值为 0、1、2.
9.解：设每件羽绒服应降价 x 元，
依题意得(40-x)(20+2x)=1200,
整理得 ,解得 ， ，
因为要尽可能使顾客得到实惠，所以要尽量多降价，故x取20.
答：每件羽绒服应降价20元。
10.解：(1)设该村民这两年种植橙子公顷数的平均增长率为x,
根据题意得 ，解得 ， （不符合题意，舍去）。
答：该村民这两年种植橙子公顷数的平均增长率为20%.
(2)设每千克售价应降低y元，则每千克的销售利润为(18-y-8)元，每天能售出（(120+15y)千克，
根据题意得（(18-y-8)(120+15y)=840,
整理得 ，解得 ， （不符合题意，舍去）。
答：每千克售价应降低6元。
11. C 12.2 13.m≥-12且m≠4 14.5
15.(1)证明： ， ，
，
∴无论k取何值，该方程都有两个不相等的实数根。
(2)解：①把 代入方程 +k-1=0,
得 ，解得
②方程为 ，解得 ， ，
∵这个方程的两个根恰好是等腰三角形ABC的两条边的长，
∴这个等腰三角形三边的长分别为 ， 5 ， 5 ，
∴的周长为
16.解：(1) ， , ,
∵方程是“邻根方程”， , ,
或m=-4.
(2)
理由：在 中， ， ，
∵方程是“邻根方程”， ，∴
即满足的数量关系为
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