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第二章 方程(组)与不等式(组)
第3节 分式方程及其应用
目标领航
考点通关
考点 1 分式方程的概念与解法
1.概念：①_____________中含有未知数的方程叫作分式方程.
2.分式方程的解法
3.分式方程的增根与无解
（1）增根：使得原分式方程的分母的值为②___________的根.
（2）无解的两种情况：1.分式方程化为整式方程后，整式方程无解；
2.分式方程化为整式方程后，整式方程的解是分式方程的③______________.
方法点睛 利用增根求字母参数
（1）将分式方程转化为整式方程；
（2）令最简公分母等于0，求出增根；
（3）将增根代入整式方程中得字母参数.
考点 2 分式方程的实际应用
1.用分式方程解决实际问题的一般步骤
2.实际问题常见类型
（1）工程问题： ；
（2）销售问题： ， ；
（3）行程问题： ， .
夯基综合练
1.若关于x的分式方程 有增根，则m的值为__________。
2.解方程：
(1)
3.某施工队挖掘一条长96米的隧道，开工后每天比原计划多挖掘2米，结果提前4天完成任务，求实际每天挖掘隧道的长度和实际施工的天数。小明同学根据题意列出方程： ，则方程中未知数x表示_______________________。
命题研究
命题点 1 分式方程的概念与解法
1.解分式方程 时，去分母变形正确的是（ ）
2.代数式 与代数式 的值相等，则_______________.
3.分式方程 的解为__________。
4.解分式方程
命题点 2 分式方程有解、无解及解的正负性问题
5.若关于x的方程 的解为正数，则m的取值范围是 （ ）
且m≠0 且
6.如果关于x的分式方程 的解是负数，那么实数m的取值范围是 （ ）
7.若关于x的分式方程 的解为非负数，则m的取值范围是（ ）
A.m 1且m≠-1 B.m -1且m≠1 C.m＜1且m≠-1 D.m＞-1且m≠1
8.若关于x的分式方程 有增根，则增根是x=______,m的值为______.
9.已知关于x的分式方程 无解，求k的值.
10.为扎实推进“五育”并举工作，加强劳动教育，东营市某中学针对七年级学生开设了“跟我学面点”烹饪课程.课程开设后学校花费6000元购进第一批面粉，用完后学校又花费9600元购进了第二批面粉，第二批面粉的采购量是第一批采购量的1.5倍，但每千克面粉价格提高了0.4元.设第一批面粉采购量为x千克，依题意所列方程正确的是（ ）
A. B. C. D.
11.将5kg浓度为98%的酒精，稀释为75%的酒精.设需要加水xkg，根据题意可列方程为（ ）
B. D.
12.小美家有一辆燃油汽车和一辆纯电汽车，燃油汽车耗费6000元油费行驶的路程与纯电汽车耗费1000元电费行驶的路程相同，且每百千米的耗油费比耗电费多50元，求纯电汽车每百千米的耗电费.设纯电汽车每百千米的耗电费为x元，可列分式方程为________________.
13.为提高生产效率，某工厂将生产线进行升级改造.改造后比改造前每天多生产100件，改造后生产600件的时间与改造前生产400件的时间相同，则改造后每天生产的产品件数为（ ）
A.200 B.300 C.400 D.500
14.随着快递行业的快速发展，全国各地的农产品有了更广阔的销售空间，某农产品加工企业有甲、乙两个组共35名工人。甲组每天加工3000件农产品，乙组每天加工2700件农产品。已知乙组每人每天平均加工的农产品数量是甲组每人每天平均加工农产品数量的1.2倍。求甲、乙两组各有多少名工人。
15.某公司为节能环保，安装了一批A 型节能灯，一年用电16000千瓦时。后购进一批相同数量的B型节能灯，一年用电9600千瓦时。一盏A型节能灯每年的用电量比一盏B型节能灯每年用电量的2倍少32千瓦时。求一盏A型节能灯每年的用电量。
16.列方程解下列问题：
某厂生产甲、乙两种文创产品。每天生产甲种文创产品的数量比每天生产乙种文创产品的数量多50个，3天时间生产的甲种文创产品的数量比4天时间生产的乙种文创产品的数量多100个。
(1)求该厂每天生产的甲、乙文创产品数量分别是多少个。
(2)由于市场需求量增加，该厂对生产流程进行了改进。改进后，每天生产乙种文创产品的数量较改进前每天生产的数量增加恒定的数量，且每天生产甲种文创产品的数量较改进前每天增加的数量是乙种文创产品每天增加数量的2倍。若生产甲、乙两种文创产品各1400个，乙比甲多用10天，求每天生产的乙种文创产品增加的数量。
分层练习
基础练
1.分式方程 的解是（ ）
A. B. C. 2 D.3
2.若关于x的方程 的解为正数，则m的值可以为 （ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D.4
3.新能源车的技术越来越成熟，而且更加环保节能。小松同学的爸爸准备换一辆车，通过对比两种续航里程相同的燃油车和新能源车，发现燃油车的每千米行驶费用比新能源车多0.54元，已知燃油车的油箱容积为40升，燃油价格为9元/升，新能源车电池容量为60千瓦时，电价为0.6元/千瓦时，则小松爸爸对比的这两种汽车的续航里程是（ ）
A. 600千米 B. 500千米 C. 450千米 D. 400千米
4.分式方程 的解为____________.
5.已知关于x的分式方程 有增根，则m的值是__________。
6.五一期间，来自四面八方的游客来青岛游玩，一家实体店购进两种纪念品进行销售。已知每个乙种纪念品进价比甲种纪念品贵7元，用450元购进甲种纪念品的数量是用500元购进乙种纪念品的数量的 倍。若设甲种纪念品的进价为x元，则可列方程为__________________。
7.解方程：
8.在解分式方程 时，小李的解法如下：
第一步： ，
第二步:1-x=-1-2,
第三步:-x=-1-2-1,
第四步:x=4.
第五步：检验：当x=4时,x-2≠0.
第六步：∴原分式方程的解为x=4.
小李的解法中哪一步是去分母？去分母的依据是什么？判断小李的解答过程是否正确。若不正确，请写出你的解答过程。
9.甲、乙两个施工队合作修建一条长为2000m的公路，甲施工队每天修建100m,乙施工队修建400 m后，通过技术更新，效率提高了50%，公路修建完成时，两施工队修建的长度恰好相同，求乙施工队原来每天修建公路多少米。
提升练
10.若关于x的分式方程 无解，则a的值为（ ）
A.2 B.3 C.0或2 D.-1或3
11.斑马线前“车让人”，不仅体现着一座城市对生命的尊重，也直接反映着城市的文明程度.如图，某路口的斑马线路段 横穿双向行驶车道，其中AB=BC=12米，在绿灯亮时，小敏共用22秒通过AC路段，其中通过BC路段的速度是通过AB路段速度的1.2倍，则小敏通过AB路段时的速度是（ ）
A.0.5米/秒 B.1米/秒 C.1.5米/秒 D.2米/秒
12.数学课上，甲、乙、丙、丁四位同学对于题目“甲、乙两地相距360km，张老师、王老师分别从甲地乘早7时出发的普通客车和8时15分出发的豪华客车去乙地，两车恰好同时到达.已知豪华客车与普通客车的平均速度的比是4:3，两车的平均速度分别是多少？”列出了如下方程： 设豪华客车的平均速度是xkm/h，则甲列的方程为： ；乙列的方程为： ； 设普通客车的平均速度是xkm/h，则丙列的方程为： ；丁列的方程为： ；
则四位同学列出的方程正确的是（ ）
A.甲、丙 B.甲、丁 C.乙、丙 D.乙、丁
13.易错题 若关于x的方程 的解为正数，则m的取值范围是___________.
14.已知关于x的分式方程 .
(1)当m=1时，求方程的解；
(2)若关于x的分式方程 的解为非负数，求m的取值范围.
15.某建筑公司承包了一项某旅游景点的改造工程，经公开招标，最终确定由甲和乙两个工程队共同参与改造.已知乙队的工作效率是甲队的 ，甲队先单独做了4天，之后甲队和乙队合作做了12天，正好如期完成了该项工程.
(1)求甲队单独完成该项工程需要多少天；
(2)改造工程结束后，正逢五一假期，该旅游景点为吸引游客，发售了代表该景点的特色套装纪念品，每套纪念品进价30元，为合理定价，发售前进行了市场调查，每套售价40元时，每天可卖800套，而每套售价每涨3元，日销售量就减少60套，若想每天获利12000元，且每套售价不超过55元，那么该纪念品每套的售价应为多少元？
参考答案
①分母 ②0 ③增根 ④工作效率
夯基综合练
1.1 2. (1) 无解 (2) 3. 原计划每天挖掘隧道的长度
命题研究
4.解：原方程去分母得：x-2-2x+1=-1,解得x=0,
检验:当x=0时,2x-1≠0,故原方程的解为x=0.
5. D 6. A 7. A 8. 1;-1
9.解:去分母得, kx-2(x-3)=-3,整理得,(k-2)x=-9,
当k=2时，方程无解；
当k≠2时,令x=3,解得k=-1,
所以k的值为2或-1.
10. A 11. B
14.解：设甲组有 x 名工人，则乙组有(35-x)名工人,
根据题意得 解得x=20,
经检验，x=20是所列方程的解，且符合题意，35-x=35-20=15.
答：甲组有20名工人，乙组有 15名工人.
15.解：设一盏B 型节能灯每年的用电量为x千瓦时，则一盏A型节能灯每年的用电量为(2x-32)千瓦时，根据题意得 解得x=96.
经检验，x=96是原方程的解，且符合题意.2x-32=160.
答：一盏A 型节能灯每年的用电量为160千瓦时.
16.解：(1)设该厂每天生产甲种文创产品的数量是x个，则每天生产乙种文创产品的数量是(x-50)个，
根据题意得3x-4(x-50)=100,解得x=100,∴x-50=50.
答：该厂每天生产甲种文创产品的数量是100个，每天生产乙种文创产品的数量是50个.
(2)设每天生产的乙种文创产品增加的数量是y个，则每天生产的甲种文创产品增加的数量是2y个，
依据题意得 解得y=20,
经检验，y=20是所列方程的解，且符合题意.
答：每天生产的乙种文创产品增加的数量是20个.
分层练习
1.B 2. C 3. A 4. -2 5. 3 6.
7.解：方程两边乘 (x+2)(x-2)，
得 10(x-2)=x(x+2)-(x+2)(x-2)，
整理得 8x=24，
解得 x=3，
检验：当 x=3 时，(x+2)(x-2)≠0，
原分式方程的解为 x=3.
8.解：小李的解法中，第一步是去分母，
去分母的依据是等式的基本性质，
小李的解答过程不正确，正确的解答过程如下：
，
去分母，得 ，
整理，得 1-x=-1-2x+4，
移项并合并同类项，得 x=2.
检验：当 x=2 时，x-2=0.
原分式方程无解.
9.解：设乙施工队原来每天修建公路 x m，
由题意得 ，
整理得 400×150+600×100=1000×1.5x，
解得 x=80，
经检验，x=80 是原方程的解，且符合题意.
答：乙施工队原来每天修建公路 80 米.
10. D 11. B 12. B 13. m＜3 且 m≠1
14.解：(1) 当 m=1 时，
分式方程为 ，
整理得 ，去分母得 x+1=2(x-1)，
解得 x=3，
检验：当 x=3 时，x-1≠0，
故方程的解为 x=3.
(2) ，整理得 ，
去分母得 x+m=2(x-1)，
解得 x=m+2，
分式方程有解且解为非负数， x≠1 且 x≥0，
m+2≠1 且 m+2≥0， m≥-2 且 m≠-1.
15.解：(1)设甲队单独完成工程需要x天，
由题意得 ，解得x=25，
经检验，x=25是原方程的解，且符合题意。
答：甲队单独完成工程需要25天。
(2)设该纪念品每套的售价应为m元，则每套利润为(m-30)元，每天销售 套，
由题意得 ，
整理得 ，
解得 , （不符合题意，舍去）。
答：该纪念品每套的售价应为50元。
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