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第二章 方程(组)与不等式(组)
第4节 一元一次不等式（组）及其应用
目标领航
考点通关
考点 1 不等式的性质
数学表达 解不等式中的应用
性质1 不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变，即若a＞b，则a±c＞①____________ 移项
性质2 不等式的两边乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变，即若，则或 去分母、 系数化为③_________
性质3 不等式的两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变，即若，则(或
考点 2 一元一次不等式的概念与解法
1.概念：只含有一个未知数，且含有未知数的式子都是整式，未知数的次数是1的不等式。
2.解法步骤：去分母→去括号→移项→合并同类项→系数化为1.
3.解集表示
解集 ④________
图示
易错警示 在表示解集时，“≥”“≤”表示包含临界值，要用实心圆点表示；“＜”“＞”表示不包含临界值，要用空心圆圈表示。
考点3 一元一次不等式组的概念与解法
1.概念：几个含有同一个未知数的一元一次不等式合在一起，组成一元一次不等式组。
2.解法步骤：先分别解不等式组中各个不等式的解集，再确定它们的公共部分，即为不等式组的解集。
3.解集表示
类型(a＜b) 解集 数轴表示 口诀
x≥b 大大取大
x≤a 小小取小
⑤_________ 大小，小大中间找
⑥_________ 大大，小小找不到
考点 4 一元一次不等式（组）的实际应用
1.列不等式解决实际问题的一般步骤：审题→设未知数→列不等式→解不等式→检验→作答。
2.常见关键词与不等号的关系
关键词 大于、多于、超过、高于 小于、少于、不足、低于 至少、不低于、不少于 至多、不超过、不多于
不等号 ＞ ＜ ≥ ⑦____________
夯基综合练
1.若a＞b，则下列不等式一定成立的是 （ ）
2.解不等式：
3.在数轴上表示不等式组 的解集，正确的是 （ ）
4.解不等式组：
5.不等式组 的最小整数解是____________。
6.小李参加某竞赛，共有25道题，答对一题得6分，答错或不答扣2分，只有得分超过90分才能获奖。小李若想获奖，求他至少要答对题目的数量，设他要答对x道题，则可根据题意列出不等式：_________________________。
命题研究
命题点1 一元一次不等式（组）的解法
1.解不等式组：
2.解不等式组 并把它的解集表示在数轴上。
3.写出满足不等式组 的一个整数解：____________。
4.解不等式组： 并写出它的整数解。
5.解不等式组： 并求所有整数解的和。
命题点2 一元一次不等式（组）的有解、无解及整数解问题
6.若关于x的不等式组 的解集为，则m的取值范围是 （ ）
7.若关于x的不等式组 无解，则a的取值范围为____________。
8.关于x的不等式 有正数解，m的值可以是________（写出一个即可）。
9.关于x的不等式组 恰有3个整数解，则a的取值范围是____________。
10.若不等式组 的解集为x m，则m的取值范围是 _____________。
考法拓展 一元一次不等式组与分式方程的综合求解问题
11.若关于x的不等式组 至少有两个正整数解，且关于x的分式方程 的解为正整数，则所有满足条件的整数a的值之和为 （ ）
A.8 B.14 C.18 D.38
一元一次不等式（组）的实际应用
12.根据以下对话，
给出下列三个结论：①1班学生的最高身高为180cm；②1班学生的最低身高小于150cm； ③2班学生的最高身高大于或等于170cm。
上述结论中，所有正确结论的序号是 （ ）
A.①② B.①③ C.②③ D.①②③
13.某企业为提高生产效率，采购了相同数量的A型、B型两种智能机器人，购买A型机器人的总费用为90万元，购买B型机器人的总费用为60万元，B型机器人单价比A型机器人单价低3万元。
(1)求A型、B型两种机器人的单价；
(2)该企业计划从采购的这批机器人中选择10台配备到某生产线，要求A、B两种型号的机器人各至少配备1台，且购买这10台机器人的总费用不超过70万元，求出所有配备方案。
14.某商店销售A，B两种水果.A水果标价14元/千克，B水果标价18元/千克。
(1)小明陪妈妈在这家商店按标价买了A，B两种水果共3千克，合计付款46元。这两种水果各买了多少千克？
(2)妈妈让小明再到这家商店买A，B两种水果，要求B水果比A水果多买1千克，合计付款不超过50元。设小明买A水果m千克。
①若这两种水果按标价出售，求m的取值范围。
②小明到这家商店后，发现A，B两种水果正在进行优惠活动：A水果打七五折；一次购买B水果不超过1千克不优惠，超过1千克后，超过1千克的部分打七五折。（注：“打七五折”指按标价的75%出售）若小明合计付款48元，求m的值。
15.为了建设美好家园，提高垃圾分类意识，某社区决定购买A、B两种型号的新型垃圾桶。现有如下材料：
材料一：已知购买3个A型号的新型垃圾桶和2个B型号的新型垃圾桶共380元；购买5个A型号的新型垃圾桶和4个B型号的新型垃圾桶共700元。
材料二：据统计，该社区需购买A、B两种型号的新型垃圾桶共200个，但总费用不超过15 300元，且B型号的新型垃圾桶数量不少于A型号的新型垃圾桶数量的2/3。
请根据以上材料，完成下列任务：
任务一：求A、B两种型号的新型垃圾桶的单价。
任务二：有哪几种购买方案？
任务三：哪种方案更省钱？最低购买费用是多少元？
分层练习
基础练
1.代数式与的差是负数，那么的取值范围是 （ ）
2.不等式组 的解集是 （ ）
D. 无解
3.不等式组 的解集在同一条数轴上表示正确的是 （ ）
4.学校根据上级文件要求，打算安排七、八年级师生进行研学活动。某班两位同学关于租车方案讨论如下：
根据他们的对话得到以下四个结论：①每辆甲种客车的载客量比乙种客车多15人；②共有两种租车方案；③租车最低费用是2160元；④两种方案的租车费用一样多。其中正确的是 （ ）
A.①② B.①②③ C.②③ D.①②④
5.已知 A 种菌群的生长温度是 ， 的取值范围是 -4≤ ≤5，B 种菌群的生长温度是 ， 的取值范围是 -5≤ ≤3，将两种菌群在一个实验室培育，实验室的温度为 ，则的取值范围应是___________.
6.写出不等式组 的整数解：___________.
7.解不等式组 并把解集在数轴上表示出来.
8.解不等式组 并求它的所有整数解.
9.某水果店老板市场调查发现，无核沃柑和罗曼西红柿物美价廉，深受市场欢迎。每千克罗曼西红柿比无核沃柑进价多1元，用4000元购进罗曼西红柿的质量是用1500元购进无核沃柑质量的2倍。
(1) 求罗曼西红柿、无核沃柑每千克进价分别为多少元；
(2) 罗曼西红柿每千克售价为6元，无核沃柑每千克售价为4元，水果店老板决定，购进无核沃柑的质量比购进罗曼西红柿的质量的2倍多6千克，要想两种水果全部售出后，总利润不低于1314元，则最少购进罗曼西红柿多少千克？
提升练
10.若关于x的一元一次方程的解为正整数，且关于x的不等式组 无解，则符合条件的所有整数k的和为（ ）
A.2 B.3 C.4 D.5
11.对于任意实数a,b，定义一种新运算：a*b=ab-2a。例如，2*4=2×4-2×2=4。请根据上述定义解答如下问题：若关于x的不等式组 有3个整数解，则m的取值范围是（ ）
12.对于任意实数a,b，定义新运算： 给出下列结论：
①8※2=8； ②若x※3=6，则x=6； ③a※b=(-a)※(-b)；
④若(2x-4)※2 < 5x，则x的取值范围为 。
其中正确结论的个数是（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
13.若数a使关于x的不等式组 无解，且使关于x的分式方程 有正整数解，则满足条件的整数a的值为 _____________。
14.某商场计划购进甲、乙两种玩具，已知一件甲种玩具的进价与一件乙种玩具的进价的和为40元，用90元购进甲种玩具的件数与用150元购进乙种玩具的件数相同。
(1)每件甲种、乙种玩具的进价分别是多少元？
(2)商场计划购进甲、乙两种玩具共48件，其中甲种玩具的件数少于乙种玩具的件数。商场决定此次进货的总费用不超过1000元，则商场共有哪几种进货方案？哪种方案的费用最低？最低费用是多少？
参考答案
①b±c ②＜ ③1 ④ ⑤ ⑥无解 ⑦≤
夯基综合练
1.B 2.x≥-2 3.A 4. 5.3 6.
考点通关
1.解：
解不等式①得，
解不等式②得 ，
不等式组的解集为 .
2.解：
解不等式①得，
解不等式②得x 3，
不等式组的解集为，
把解集表示在数轴上，如图所示
3.0（答案不唯一，-1,0,1,2均可）
4.解：解 得x>-3，
解4x 3+2x得x 1.5，
故原不等式组的解集为-.
故整数解为-2,-1,0,1.
5.解：
解不等式①得，
解不等式②得，
原不等式组的解集为，
不等式组所有整数解的和为.
6.B 7.a 3 8.0（答案不唯一，取m<1的值均可） 9. 10.
11.B 12.C
13.解：(1)设A型机器人的单价为x万元，则B型机器人的单价为(x-3)万元，
根据题意，得 ，解得x=9，
经检验，x=9是原分式方程的解，且符合题意， x-3=6.
A型机器人的单价为9万元，B型机器人的单价为6万元.
(2)设配备A型机器人y台，则配备B型机器人(10-y)台，
根据题意，得9y+6(10-y) 70，解得 ，由题意知y 1，10-y 1，
根据(1)可知，A型机器人的单价为9万元，B型机器人的单价为6万元，
又 购买这批A型机器人的总费用为90万元，购买这批B型机器人的总费用为60万元，
采购的这批机器人中，A型，B型机器人各有10台，
y 10,10-y 10,1 y .
又 y为正整数，y的取值为1,2,3,
有3种方案：
方案一：配备A型机器人1台，B型机器人9台；
方案二：配备A型机器人2台，B型机器人8台；
方案三：配备A型机器人3台，B型机器人7台.
14.解：(1)设A水果买了x千克，B水果买了y千克，
由题意得 解得
答：A水果买了2千克，B水果买了1千克.
(2)由题意得小明买B水果(m+1)千克.
①由题意得14m+18(m+1) 50，解得m 1，
又 ， m的取值范围为.
②由题意得，解得.
答：m的值为1.25.
15.解：任务一、设A型号的新型垃圾桶的单价是x元，B型号的新型垃圾桶的单价是y元，
根据题意得 解得
答：A型号的新型垃圾桶的单价是60元，B型号的新型垃圾桶的单价是100元.
任务二、设购买m个A型号的新型垃圾桶，则购买(200-m)个B型号的新型垃圾桶，
根据题意得， 解得
又 m为正整数， m可以为118,119,120，
共3种购买方案，
方案1：购买118个A型号的新型垃圾桶，82个B型号的新型垃圾桶；
方案2：购买119个A型号的新型垃圾桶，81个B型号的新型垃圾桶；
方案3：购买120个A型号的新型垃圾桶，80个B型号的新型垃圾桶.
任务三、选择方案1所需费用为60×118+100×82=15280（元）；
选择方案2所需费用为60×119+100×81=15240（元）；
选择方案3所需费用为60×120+100×80=15200（元），
， 方案3更省钱，最低购买费用是15200元.
分层练习
1.A 2. C 3. C 4. B 5.-4≤t≤3 6.3
7.解：
解不等式①得x≥1，
解不等式②得x＜6，
原不等式组的解集为1≤x＜6，
把解集在数轴上表示如下.
8.解：解不等式①得，
解不等式②得x≥-2，
则不等式组的解集为，
不等式组的整数解为-2、-1、0、1、2.
9.解：(1)设罗曼西红柿每千克进价为x元，则无核沃柑每千克进价为(x-1)元，
由题意得 。解得x=4.
经检验，x=4是原方程的解，且符合题意. x-1=3.
答：罗曼西红柿每千克进价为4元，无核沃柑每千克进价为3元.
(2)设购进罗曼西红柿m千克，则购进无核沃柑(2m+6)千克，
由题意得(6-4)m+(4-3)(2m+6)≥1314，解得m≥327.
答：最少购进罗曼西红柿327千克.
10.A 11. B 12. B 13. 2或7
14.解：(1)设每件甲种玩具的进价是x元，则每件乙种玩具的进价是(40-x)元，
由题意得 ，解得 x=15，
经检验，x=15 是原方程的解，且符合题意. .
答：每件甲种玩具的进价是 15 元，每件乙种玩具的进价是 25 元.
(2) 设购进甲种玩具 y 件，则购进乙种玩具 (48-y) 件，
由题意得 解得 .
y 是整数， y 可以取 20,21,22,23，
故商场有以下四种进货方案：
方案一：购进甲种玩具 20 件，乙种玩具 28 件，进货费用是 20×15+28×25=1000（元）.
方案二：购进甲种玩具 21 件，乙种玩具 27 件，进货费用是 21×15+27×25=990（元）.
方案三：购进甲种玩具 22 件，乙种玩具 26 件，进货费用是 22×15+26×25=980（元）.
方案四：购进甲种玩具 23 件，乙种玩具 25 件，进货费用是 23×15+25×25=970（元）.
方案四的进货费用最低，为 970 元.
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