资源简介

广西钦州市第十三中学2026春季学期高一年级开学考试数学试卷
注意事项:
1.答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，
2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡卡上。写在本试卷上无效。
3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回
一、单选题（共8小题，每小题5分；共40分，只有一个正确选项）
1．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
3．已知，则的最大值是（ ）
A．1 B． C． D．
4．甲乙两人下棋比赛，规则是谁先赢2局，谁便赢得奖金5400元.根据以往的交手记录，每局甲赢的概率为，乙赢的概率为，且每局比赛相互独立.然而因突发事件，比赛未能举行，为公平服众，奖金按照比赛正常进行时各自赢得比赛的概率之比进行分配，则甲分得奖金（ ）元.
A．3600 B．3800 C．4000 D．4200
5．已知函数对任意实数满足，且，则（ ）
A． B． C． D．
6．从1，2，3，4中随机抽取三个不同的数相加，得到的和记为，剩余的数乘以3，记为，则（ ）
A． B． C． D．1
7．已知全集，，则下列结论不一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
8．已知函数，则下列不正确的为（ ）
A．的定义域是B．有最大值C．不等式的解集是D．在上单调递减
二、多选题（共3小题，每小题6分；共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合要求，全部选对的，得6分，部分选对的得部分分，有选错的，得0分）
9．某地区为研究森林中某种鸟类的种群数量变化，使用公式：来研究种群数量的变化趋势，其中为最终预测数量，为初始数量，k为种群数量的年增长率，n为预测的年数，则（ ）
A．当，则这期间种群数呈下降趋势B．当，则这期间种群数呈下降趋势
C．若初始数量，年增长率为，则2年后预测种群数量约为1061
D．若初始数量，年增长率为，则2年后预测种群数量约为2991
10．某学校对高二学生选科情况进行了统计，发现学生选科仅有政史地、物化生、物化地、物化政、生史地五种组合，其中选考物化地和物化政组合的人数相等，并绘制得到如下的扇形图和条形图，则下列说法正确的是（ ）
A．该校高二学生总数为800 B．该校高二学生中选考物化地组合的人数为70
C．用分层随机抽样的方法从该校高二学生抽取80人，则生史地组合抽取16人
D．该校高二学生随机抽取一学生，该学生选考物理的概率与选考地理的概率相等
11．已知是定义在上的奇函数，且满足；当时，，下列说法正确的是（ ）
A．的图象关于点对称B．为周期函数C．D．函数有且仅有2个零点
第II卷（非选择题）
三、填空题（共3小题，每小题5分；共15分.）
12．已知全集，集合，，则____.
13．命题“”的否定是______.
14．设正数满足，则的最小值为_____．
四、解答题（共5小题，共77分，解答时写出文字说明，证明过程或算数步骤）
15．从某校高三学生中抽取50名参加数学竞赛，成绩分组（单位：分）及各组的频数如下：，2；，3；，10；，15；，12；，8．
(1)列出样本的频率分布表（含累积频率）；
(2)画出频率分布直方图：
(3)估计成绩在分的学生比例．
16．随着“广德三件套”（炖锅、奶茶、桃酥）火爆出圈，广德市凭借长三角几何中心的区位优势和文旅融合发展机遇，迎来海量游客，民宿需求持续激增、为承接旅游热潮、带动村民增收，某村集体计划投资改造一批精品民宿，于2026年初正式运营．据市场调研和成本核算：项目初期需投入固定成本（如基础设施升级、公共区域装修等）30万元；此外，装修及年度维护x栋民宿的变动成本为万元，且，调研数据显示，每栋装修完成的精品民宿，依托当地旅游热度，2026年一年可带来稳定的40万元收入．
(1)请写出该批民宿改造后的2026年年利润（万元）关于民宿栋数x（x为正整数）的函数关系式；
(2)为了实现2026年年利润最大化，该村应装修多少栋民宿？并求出年利润的最大值．
（附：年利润年收入变动成本固定成本）
17．函数是定义在上的奇函数，且.
(1)证明在上的单调性；
(2)解关于的不等式.
18．对于函数，若在定义域内存在实数，满足，则称为上的“局部奇函数”.
(1)判断函数是否为上的“局部奇函数”，请说明理由；
(2)若定义在区间上的函数为“局部奇函数”，求实数的取值范围；
(3)若函数为上的“局部奇函数”，求实数的取值范围.
19．已知，函数．
(1)判断的单调性，说明理由;
(2)若有两个零点，
①求实数的取值范围；
②证明：．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B C B C D B D C AC ACD
题号 11
答案 ACD
12． 13．
15．（1）频率分布表如下：
成绩分组 频数累计 频数 频率
2 2 0.04
5 3 0.06
15 10 0.2
30 15 0.3
42 12 0.24
50 8 0.16
合计 50 1.00
（2）频率分布直方图如图所示．
（3）学生成绩在分的频率为，
所以估计成绩在分的学生比例为.
16．(1)，
(2)投资13栋民宿时获得的利润最大，最大利润为130万元
17．（1）因为函数是定义在上的奇函数，所以，解得；
又，则，解得；
函数的定义域为，定义域关于原点对称，
，
所以函数为奇函数，所以.
设，
则.
又，则，，，，
则，即，
则函数在上为增函数.
（2）由（1）知为奇函数且在上为增函数，
所以，即，也即，
所以，解得，
故不等式的解集为.
18．（1）若为“局部奇函数”，则存在，满足.
即，解得， 因此方程有解，
所以函数为上的“局部奇函数”.
（2）（i）当时，，
此时， 于是，
当时， 有，因此.
（ii）当时， ，
此时方程无解，不满足题意.
（iii）当时，，
此时，于是.
当时， 有， 因此.
综上所述，实数的取值范围为.
（3）由题意，方程在上有解.
即在上有解.
即在上有解.
记，此时.
于是在区间上有解，记.
（i）当时， 在区间上有解.
由，有，解得.
（ii）当时，方程在区间上有解.
当且仅当， 解得.
综上所述，实数的取值范围为.
19（1）任取，且，
由
，
当时，，，因，则，
则，故，即函数在上单调递减；
当时，，，因，则，
则，故，即函数在上单调递增.
（2）①有两个零点即方程有两个正根，
即方程有两个正根，也即函数与在上有两个交点.
由（1）可得在上单调递减，在上单调递增，
且当时，，当时，，，
故需使，即实数的取值范围为；
②依题意，，，两式相减，得，即.
因，则，则，即，故得；
另一方面，要证，需证，即证①，
因，则代入①，，即，②
因且，则，，则，
则 ② 式左边大于.
设，因在上恒成立，
故② 式成立，从而① 式成立，故有，
综上，得证.

展开更多......

收起↑