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3.1 图形的平移
课时1 平移的概念及性质
1.通过具体实例认识平移，尝试探索平移的基本性质.
2.探索平面图形平移的基本性质，利用平移的基本特征研究简单的平移画图.
下面是日常生活中物体运动的一些场景，这些物体的运动有什么共同特点？
沿着一定的方向移动一定的距离.
平移的定义：
　　在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移．
一个图形和它经过平移所得到的图形是全等形，平移不改变图形的形状和大小.
归纳总结
如：三角形ABC沿直线AD的方向平移，平移的距离为线段AD的长，得到三角形DEF．
A
E
D
C
B
F
对应点
点A与点D
对应角
∠BAC与∠FDE
对应线段
线段AB与线段DE
三角形ABC全等于三角形DEF
你还能找到其他的对应点、对应线段和对应角吗？
(3)线段AE，BF，CG，DH分别是对应点所连成的线段，它们之间有怎样的关系？
(1)在图中任意选一组对应线段，这两条线段之间有怎样的关系？
(2)在图中任意选一组对应角，这两个角之间有怎样的关系？
将如下左图所示的四边形硬纸片按某一方向平移一定距离.右图画出了平移前的四边形ABCD和平移后的四边形EFGH.
操作·思考
(3)线段AE，BF，CG，DH分别是对应点所连成的线段，它们之间有怎样的关系？
(1)在图中任意选一组对应线段，这两条线段之间有怎样的关系？
(2)在图中任意选一组对应角，这两个角之间有怎样的关系？
对应线段平行(或一条直线上)且相等.
平移前后不改变图形的形状和大小，所以任意一组对应线段相等.
平移前后不改变图形的形状和大小，所以任意一组对应角相等.
将如下左图所示的四边形硬纸片按某一方向平移一定距离.右图画出了平移前的四边形ABCD和平移后的四边形EFGH.
用你的直尺和量角器验证一下吧！
(1)若P、Q是边AD上的两点(P、Q不重合)，在下图中，你能确定四边形ABCD经过平移后所得到的对应点P′，Q′的位置吗？你是怎样确定的 ？
(2)连接PP′，QQ′，它们之间有怎样的关系？由此你得到什么结论？
P
Q
P′
Q′
如图，过点P，Q分别作PP′∥AE，QQ′∥AE，与EH交于P′，Q′，则P、Q的对应点就是P′，Q′.
PP′与QQ′平行且相等.
图形平移后，图形上的每个点移动的距离相等，方向相同且为图形的平移距离和方向.
议一议：
A
F
E
C
D
B
G
H
BC=FG，且在同一直线上
(3)如果将四边形ABCD沿直线BC的方向向右平移，平移后得到四边形EFGH，其中对应线段BC与FG有怎样的关系？由此你又得到什么结论？
图形平移后，形状和大小都不变，除位置外完全相同.
议一议：
平移的性质：
　 一个图形和它经过平移所得的图形中，对应点所连的线段平行(或在同一条直线上)且相等；对应线段平行(或在同一条直线上)且相等，对应角相等．
归纳总结
例1 如图，经过平移， △ABC的顶点A平移到点D.
(1)指出平移的方向和平移的距离；
(2)画出平移后的三角形.
分析：连接AD，易得△ABC平移的方向是从点A到点D的方向，平移的距离是线段AD的长度.
设顶点B，C分别平移到了点E，F，根据“经过平移，对应点所连的线段平行(或在同一条直线上)且相等”，可知线段BE，CF与AD平行且相等.
A
D
B
C
E
F
解：(1)如图，连接AD.
(2)过点B，C分别作线段BE，CF，使BE∥CF∥ADBE=CF=AD，连接DE，DF，EF，△DEF就是△ABC平移后的图形.
A
D
B
C
E
F
例1 如图，经过行平移， △ABC的顶点A平移到点D.
(1)指出平移的方向和平移的距离；
(2)画出平移后的三角形.
(1) 在例1中，你还有其他方法画出平移后的三角形吗？与同伴进行交流.
还可过点D分别作与AB，AC平行且相等的线段DE，DF，连接EF，则△DEF就是△ABC平移后的图形
(2) 要确定一个图形平移后的位置，除需要原来的位置外，还需要什么条件？
平移的方向和距离.
议一议：
例2 如图，将字母A按箭头所指的方向平移3cm，画出平移后的图形.
分析：已知了平移方向和距离，只需找到图形中的关键点，再过每个关键点作箭头方向的3cm的线段，所得端点依次连接即可.
解：如图，在字母“A”上，找出关键的5个点，分别过这5个点按箭头所指的方向画5条长3cm的线段，将所画线段的另5个端点按原来的方式连接，即可得到字母“A”平移后的图形.
(1)找出平移的方向和平移距离；
(2)找出构成图形的关键点；
(3)沿给定的方向和距离作出各个对应点；
(4)连接所作的各个对应点，标上相应的字母，所得图形即为所作.
作平移图形的步骤：
归纳总结
1.如图，△DEF是由△ABC平移得到的，AB=3cm，
则AB∥ ，DE= .
D
E
F
A
B
C
3cm
3cm
DE
2.如图，△DEF是由△ABC平移得到的，∠ABC=33°，∠ACB=70°，求△DEF各角的度数.
解：由∠ABC=33°，∠ACB=70°
所以∠BAC=77°.
由平移的性质，得
∠D=∠BAC=77°，
∠E=∠ABC=33°，
∠F=∠ACB=70°.
3.将图中的字母N沿水平方向向右平移3cm，作出平移后的图形.
①方向：向右平移，平移距离：3cm；
②找原图形的关键点；
③过关键点向右作3cm的线段；
④将所画线段的另几个端点，按原来方式依次连接,所得图形即为所求.
3cm
图形的平移
平移的定义：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移．
作平移图形的步骤：
平移的性质：
一个图形和它经过平移所得的图形中，对应点所连的线段平行(或在同一条直线上)且相等；对应线段平行(或在同一条直线上)且相等，对应角相等．
(1)找出平移的方向和平移距离；
(2)找出构成图形的关键点；
(3)沿给定的方向和距离作出各个对应点；
(4)连接所作的各个对应点，标上相应的字母，所得图形即为所作.
3.1 图形的平移
课时2 平移与坐标变化
配套北师大版
1.知道平面直角坐标系中点的左右或上下平移与点的坐标的
变化规律.
2.能根据要求在平面直角坐标系中画出一个简单图形平移后的图形，并写出各对应点的坐标.
动动你的大脑吧！
你会下象棋吗 如果下一步想“马走日”“象走田”应该走到哪里呢？你知道吗？
说一说，什么是平移？
　　在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移．
回顾旧知
图形平移的性质是什么？
A
F
E
C
D
B
G
H
对应点所连的线段平行且相等；
对应线段平行且相等，对应角相等；
图形的形状和大小不改变.
在平面直角坐标系中描出以下个点：
(0，0)，(5，4)，(3，0)，(5，1)，(5，–1)，(3，0)，(4，–2)，(0，0).
形状像条“鱼”
将图中的“鱼”向右平移5个单位长度，请你试着画出平移后的新“鱼”.
选几组对应点，并将它们的坐标写出来.
原来的“鱼” (0，0) (5，4) (3，0) (5，1) (5，–1) (4，–2) …
平移后的“鱼” …
(5，0)
(10，4)
(8，0)
(10，1)
(10，–1)
(9，–2)
这些对应点的坐标之间有什么关系？
纵坐标不变，横坐标增加5(+5)
1 3 5 7 9
–3 –1
–1
–3
5
3
1
想一想
在平面直角坐标系中描出以下个点：
(0，0)，(5，4)，(3，0)，(5，1)，(5，–1)，(3，0)，(4，–2)，(0，0).
形状像条“鱼”
如果将原来的“鱼”向左平移4个单位长度呢？
原来的“鱼” (0，0) (5，4) (3，0) (5，1) (5，–1) (4，–2) …
平移后的“鱼” …
(–4，0)
(1，4)
(–1，0)
(1，1)
(1，–1)
(0，–2)
纵坐标不变，横坐标减少4(–4)
1 3 5 7 9
–3 –1
–1
–3
5
3
1
在平面直角坐标系中描出以下个点：
(0，0)，(5，4)，(3，0)，(5，1)，(5，–1)，(3，0)，(4，–2)，(0，0).
形状像条“鱼”
如果将原来的“鱼”向上平移3个单位长度呢？
原来的“鱼” (0，0) (5，4) (3，0) (5，1) (5，–1) (4，–2) …
平移后的“鱼” …
(0，3)
(5，7)
(3，3)
(5，4)
(5，2)
(4，1)
横坐标不变，纵坐标增加3(+3)
1 3 5 7 9
–3 –1
–1
–3
5
3
1
在平面直角坐标系中描出以下个点：
(0，0)，(5，4)，(3，0)，(5，1)，(5，–1)，(3，0)，(4，–2)，(0，0).
形状像条“鱼”
如果将原来的“鱼”向下平移2个单位长度呢？
原来的“鱼” (0，0) (5，4) (3，0) (5，1) (5，–1) (4，–2) …
平移后的“鱼” …
(0，–2)
(5，2)
(3，–2)
(5，–1)
(5，–3)
(4，–4)
横坐标不变，纵坐标减少2(–2)
1 3 5 7 9
–3 –1
–1
–3
5
3
1
P(x ， y)
向右平移h个单位
向左平移h个单位
向上平移k个单位
向下平移k个单位
点的坐标平移规律：
归纳总结
P1(xh ，y)
P2(xh ，y)
P3(x ， yk)
P4(x ，yk)
将图中“鱼”的每个“顶点”的纵坐标保持不变，横坐标分别加3，再将得到的点用线段依次连接起来，从而画出一条新“鱼”，这条新“鱼”与原来的“鱼”相比有什么变化？如果纵坐标保持不变，横坐标分别减2呢？
图形的大小不变，
整体向右平移了3个单位长度.
图形的大小不变，
整体向左平移了2个单位长度.
1 3 5 7 9
–3 –1
–1
–3
5
3
1
尝试·思考
将图中“鱼”的每个“顶点”的横坐标保持不变，纵坐标分别加3，所得的新“鱼”与原来的“鱼”相比有什么变化？如果横坐标保持不变，纵坐标分别减2呢？
图形的大小不变，
整体向上平移了3个单位长度.
图形的大小不变，
整体向下平移了2个单位长度.
1 3 5 7 9
–3 –1
–1
–3
5
3
1
图形的平移实际上是图形上各点的平移
在平面直角坐标系中，一个图形沿x轴方向平移a(a>0)个单位长度后的图形与原图形对应点的坐标之间有什么关系？如果图形沿y轴方向平移a(a>0)个单位长度呢？与同伴交流
图形沿x轴方向，向右或向左平移a个单位，就是图形上点纵坐标不变，横坐标分别增加(减少)a个单位；
图形沿y轴方向，向上或向下平移a个单位，就是图形上点横坐标不变，纵坐标分别增加(减少)a个单位.
思考·交流
例 如图，点A的坐标为(-3，4)，点B的坐标为(3，2)，将线段AB沿x轴方向向左平移4个单位长度，得到线段A'B'，分别求点A'与B'的坐标，并画出线段A'B'.
分析：根据点的坐标平移规律，先确定点A，B向左平移4个单位长度后的A'，B'，再连接A'B'，线段A'B'即为所画.
A'(-7，4)
B'(-1，2)
例 如图，点A的坐标为(-3，4)，点B的坐标为(3，2)，将线段AB沿x轴方向向左平移4个单位长度，得到线段A'B'，分别求点A'与B'的坐标，并画出线段A'B'.
解：将线段AB沿x轴方向
向左平移4个单位长度，得到线段A'B'，
点A'，B'的坐标分别为A'(-3-4，4)，B'(3-4，2)，即A'(-7，4)，B'(-1，2).
作出点A'(-7，4)，B'(-1，2)，
连接A'B',如图.
线段A'B'就是要求画的线段.
A'(-7，4)
B'(-1，2)
1.将点A(3，2)向上平移2个单位长度，得到A1 ，则A1的坐
标为______.
2.将点A(3，2)向左平移4个单位长度，得到A3 ，则 A3的坐
标为______.
(3 ，4)
3.点A1(6 ，3)是由点A(-2 ，3)经过 得
到的，点B(4 ，3)经过 得到B1(4 ，1).
向右平移8个单位长度
向下平移2个单位长度
(-1 ，2)
4.如图，点A，B的坐标分别为(-3，-2)，(-1，2).
(1)将线段AB沿x轴方向向右平移4个单位长度得到线段CD，分别求点C，D的坐标，并在该直角坐标系中画出线段CD；
D(3,2)
C(1,-2)
解：将线段AB沿x轴方向
向右平移4个单位长度，得到线段CD，
点C，D的坐标分别为
C(-3+4，-2)，D(-1+4，2)，
即C(1，-2)，D(3，2).
作出点C(1，-2)，D(3，2)，
连接CD,如图.
线段CD就是要求画的线段.
4.如图，点A，B的坐标分别为(-3，-2)，(-1，2).
(2)将线段AB沿y轴方向向下平移2个单位长度得到线段EF，分别求点E，F的坐标，并在该直角坐标系中画出线段EF.
D(3，2)
C(1，-2)
解：将线段AB沿y轴方向
向下平移2个单位长度，得到线段EF，
点E，F的坐标分别为
E(-3，-2-2)，F(-1，2-2)，
即E(-3，-4)，F(-1，0).
作出点E(-3，-4)，F(-1，0)，
连接EF.如图，线段EF就是要求画的线段.
E(-3，-4)
F(-1，0)
图形的平移
点的坐标平移规律：
图形的平移对应点的坐标规律：
图形沿x轴方向，向右或向左平移a个单位，就是图形上点纵坐标不变，横坐标分别增加(减少)a个单位；
图形沿y轴方向，向上或向下平移a个单位，就是图形上点横坐标不变，纵坐标分别增加(减少)a个单位.
图形的平移实际上是图形上各点的平移
3.1 图形的平移
课时3 图形在平面直角坐标系中的平移
1.在平面直角坐标系中会根据给定的平移方法求平移后图形的对应点坐标，并会正确画图.
2.根据平移前后两图会求其平移方向和平移距离.
3.在直角坐标系中探索并了解将一个多边形依次沿两个坐标轴方向平移后所得到的图形与原来的图形具有平移关系，体会图形顶点坐标的变化.
一个图形沿x轴方向平移h(h>0)个单位长度:
(x，y)
(x+h，y)
向右平移h个单位
向左平移h个单位
(x-h，y)
一个图形沿y轴方向平移k(k>0)个单位长度:
(x，y)
(x，y+k)
向上平移k个单位
向下平移k个单位
(x，y-k)
说一说，点A (x，y)怎么平移到点C(x-3，y+4)？
A ( x，y )
B (x-3，y)
向左平移3个单位
向上平移4个单位
C (x-3，y+4)
A
B
C
A经过两次平移到C，能否经过 一次平移到C呢？
在平面直角坐标系中，将(0，0)， (5，4)， (3，0)， (5，1)，(5，-1)，(3，0)， (4，-2)， (0，0)的点用线段依次连接得到了“鱼”F.
(1)在图所示的平面直角坐标系中画出“鱼” F .
F
将图中的“鱼” F向下平移2个单位长度，再向右平移3个单位得到新“鱼” F .
F
F
F
(2)能否将“鱼” F 看成“鱼” F经过一次平移得到的？如果能，请指出平移的方向和平移的距离.
O′
解：
能.
沿着O(0，0)到O′(3，-2)的方向，平移的距离为 .
F
F
(3)在“鱼”F“鱼” F 中，对应点的坐标之间有什么关系？
“鱼” Ⅱ和“鱼” Ⅰ的对应点相比，横坐标分别增加了3，纵坐标分别减小了2.
改变“鱼” F的最初平移方向和平移距离，再试一试.
(5，4)
(8，2)
F
先将图中“鱼”F的每个“顶点”的横坐标分别加2，纵坐标保持不变，得到“鱼”G；再将“鱼” G的每个“顶点”的横坐标保持不变，纵坐标分别减3，得到“鱼”H.
G
H
(1)“鱼”H与原来的“鱼”F相比有什么变化？
“鱼”IV与原来的“鱼”F相比，形状、大小相同，只是位置发生了变化：先向右平移了2个单位长度，再向下平移了3个单位长度.
先将图中“鱼”F的每个“顶点”的横坐标分别加2，纵坐标保持不变，得到“鱼”G；再将“鱼” G的每个“顶点”的横坐标保持不变，纵坐标分别减3，得到“鱼”H.
(2)能否将“鱼”H看成是原来的“鱼” F经过一次平移得到的？
能，平移方向是点(0，0)到点(2，-3)的方向，平移距离为 .
先将图中“鱼”F的每个“顶点”的横坐标分别加2，纵坐标保持不变，得到“鱼”G；再将“鱼” G的每个“顶点”的横坐标保持不变，纵坐标分别减3，得到“鱼”H.
(3)如果将“鱼”F的每个“顶点”的横坐标分别加2，纵坐标分别减3，得到的“鱼” 与“鱼” H相比，你有什么发现？
得到的“鱼” 与“鱼” H相比，形状、大小相同，位置也相同.
先将图中“鱼”F的每个“顶点”的横坐标分别加2，纵坐标保持不变，得到“鱼”G；再将“鱼” G的每个“顶点”的横坐标保持不变，纵坐标分别减3，得到“鱼”H.
一个图形依次沿x轴方向、y轴方向平移后所得图形与原来的图形相比，位置有什么变化？它们对应点的坐标之间有怎样的关系？
平移方向和平移距离 对应点的坐标
向右平移a个单位长度，向上平移b个单位长度
向右平移a个单位长度，向下平移b个单位长度
向左平移a个单位长度，向上平移b个单位长度
向左平移a个单位长度，向下平移b个单位长度
(x+a ， y+b)
(x+a ， y-b)
(x-a ， y+b)
(x-a ， y-b)
一个图形依次沿x轴方向、y轴方向平移后所得图形，可以看成是由原来的图形经过一次平移得到的.
归纳总结
例1 如图，四边形A'B'C'D'各顶点的坐标分别为A(-3，5)，B(-4，3)，C(-1，1)，D(-1，4)，将四边形ABCD先向上平移3个单位长度，再向右平移4个单位长度，得到四边形A'B'C'D'.
(1)四边形A'B'C'D'与四边形ABCD对应点的横坐标有什么关系？纵坐标呢？分别写出点A'，B'，C'，D'的坐标；
(2)如果将四边形A'B'C'D'看成由四边形ABCD对经过一次平移的到的，请指出这一平移的平移方向和平移距离.
分析：(1) 由题意易知由四边形A'B'C'D'到四边形ABCD，对应点的横、纵坐标分别增加了4、增加了3，然后再直接写出坐标.
A'
B'
C'
D'
A
B
C
D
1 3 5
7
5
3
1
-5 -3 -1
(2)连接其中任意一组对应点，计算其长度即可.
解：(1)四边形A'B'C'D'与四边形ABCD相
比，对应点的横坐标分别增加了4，纵坐
标分别增加了3；
A'(1，8)， B'(0，6)， C'(3，4)， D'(3，7)
例1 如图，四边形A'B'C'D'各顶点的坐标分别为A(-3，5)，B(-4，3)，C(-1，1)，D(-1，4)，将四边形ABCD先向上平移3个单位长度，再向右平移4个单位长度，得到四边形A'B'C'D'.
(1)四边形A'B'C'D'与四边形ABCD对应点的横坐标有什么关系？纵坐标呢？分别写出点A'，B'，C'，D'的坐标；
(2)如果将四边形A'B'C'D'看成由四边形ABCD对经过一次平移的到的，请指出这一平移的平移方向和平移距离.
A'
B'
C'
D'
A
B
C
D
1 3 5
7
5
3
1
-5 -3 -1
解：(2)如图，连接AA'，则有AA'==5.
所以，如果将四边形A'B'C'D'看成是由四边形ABCD经过一次平移的到的，那么这一平移方向是由A到A'的方向，平移的距离是5个单位长度.
例1 如图，四边形A'B'C'D'各顶点的坐标分别为A(-3，5)，B(-4，3)，C(-1，1)，D(-1，4)，将四边形ABCD先向上平移3个单位长度，再向右平移4个单位长度，得到四边形A'B'C'D'.
(1)四边形A'B'C'D'与四边形ABCD对应点的横坐标有什么关系？纵坐标呢？分别写出点A'，B'，C'，D'的坐标；
(2)如果将四边形A'B'C'D'看成由四边形ABCD对经过一次平移的到的，请指出这一平移的平移方向和平移距离.
A'
B'
C'
D'
A
B
C
D
1 3 5
7
5
3
1
-5 -3 -1
例2 如图，图中的图案是从一个正方形中挖去一个半圆和一个等腰直角三角形得到的，已知这个图案上的点M(0，3)经过平移后的对应点是M'(5，0).
(1)分别写出点A，B，C，D平移后得到的点A'，B'，C'，D'的坐标.
分析：点M(0，3)平移到点M'(5，0)时，横坐标增加了5，纵坐标减少了3，所以图案上的任意点的横坐标增加了5，而纵坐标分别减少了3.
B'(5，2)
A'(3，0)
C'(3，4)
D'(1，2)
例2 如图，图中的图案是从一个正方形中挖去一个半圆和一个等腰直角三角形得到的，已知这个图案上的点M(0，3)经过平移后的对应点是M'(5，0).
(2)画出该图案平移后的图案.
B'(5，2)
A'(5，0)
C'(3，4)
D'(1，2)
(3)说明上述图案是通过怎样的平移得到的，计算平移的距离，并与同伴交流.
(-2，7)
平移方向是点C(-2，7)到点C'(3，4)的方向，平移距离为 .
解：
1.将点A(3，2)向上平移2个单位长度，向左平移4个单位长度得到A1，则A1的坐标为______.
(-1，4)
2.如图，A，B的坐标为(2，0)，(0，1)，若将线段AB平移至A1B1，则a+b的值为(　　)
A.2 B.3 C.4 D.5
B
3.已知△AOC的顶点坐标分别为A(-3，0)，O(0，0)，C(-1，3)，将△AOC平移后顶点A的对应点是A'(0，-1)，分别写出其他对应顶点的坐标
解：点A(-3，0)平移到点A'(0，-1)时，
横坐标增加了3，纵坐标减少了1，
所以O'，C'两点的横坐标比O，
C两点的横坐标也应分别增加3，而纵坐标分别减少1.
所以O'(0+3，0-1)，C'(-1+3，3-1)
即O'(3，-1)，C'(2，2).
4.如图，长方形的顶点坐标分别为A(7，3)，B(7，5)，C(2，5)，D(2，3)，将点A，B，C，D的横坐标分别减3，纵坐标分别减2，再将所得的点用线段顺次连接起来，你得到一个怎样的图形？它可以看成是长方形ABCD经过怎样的平移得到的？
B1(4，3)
A1(4，1)
C1(-1，3)
D1(-1，1)
解：如图，得到与长方形ABCD全等的图形.
可以看成是长方形ABCD沿着点A(7，3)到点A1(4，1)的方向，平移 .
图形的平移
沿x轴、y轴的两次平移：
一个图形依次沿x轴方向、y轴方向平移后所得图形，可以看成是由原来的图形经过一次平移得到的.

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