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2026年中考数学二轮复习之二次根式
一．选择题（共10小题）
1．（2026 遂宁一模）下列根式是最简二次根式的（　　）
A． B． C． D．
2．（2025 西藏）若代数式有意义，则实数x的取值范围是（　　）
A．x＞2 B．x≥2 C．x＜2 D．x≤2
3．（2025 安徽）下列计算正确的是（　　）
A．a B．a
C．a3 （﹣a）2＝a6 D．（﹣a2）3＝a6
4．（2025 长沙模拟）下列计算中，结果错误的是（　　）
A． B．
C． D．
5．（2025 铁西区校级一模）下列式子正确的是（　　）
A． B．
C． D．
6．（2025 淮北校级三模）已知，ab＝1，则a2+b2＝（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
7．（2025 莱芜区三模）下列代数式运算正确的是（　　）
A．
B．（﹣2b2）3＝﹣6b6
C．
D．（a﹣b）（a2+ab+b2）＝a3﹣b3
8．（2025 磁县校级四模）已知一个长方形面积是，宽是，则它的长是（　　）
A． B． C． D．
9．（2025 昌江区二模）若最简二次根式与能合并，则k的值是（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
10．（2025 东莞市校级模拟）化简：（　　）
A． B． C． D．
二．填空题（共5小题）
11．（2025 和平区二模）计算（4）（4）的结果等于　 　 ．
12．（2025 松江区二模）计算：　 　 ．
13．（2025 齐齐哈尔）若代数式（x﹣2025）0有意义，则实数x的取值范围是　 　 ．
14．（2025 榕城区二模）已知x，y为实数，若满足，则x+y的值为 　 　 ．
15．（2025 霸州市模拟）a，b均为正整数，且满足，则的值为　 　 ．
三．解答题（共5小题）
16．（2025 射洪市校级二模）先化简，再求值．
（6x）﹣（4y），其中x，y．
17．（2025 康巴什三模）计算
（1）；
（2）化简：．
18．（2025 琼山区校级二模）综合与实践：
【问题情境】
某班同学以“已知三角形三边的长度，求三角形面积”为主题开展了数学活动．
【操作发现】
第一小组的同学想到借助正方形网格解决问题．如图1是6×6的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点．在其中画出△ABC，其顶点A，B，C都是格点，同时构造正方形CDEF，使它的顶点都在格点上，且它的边DE，EF分别经过点A，B，他们借助此图求出了△ABC的面积．
（1）在图1中，所画的△ABC的三边长分别是AB＝　 　 ，BC＝　 　 ，AC＝　 　 ，△ABC的面积为　 　 ；
（2）在图2所示的正方形网格中画出△GHQ（顶点都在格点上），使GH，HQ，并求出△GHQ的面积；
【继续探究】
第二小组的同学想到借助曾经阅读的数学资料来解决问题．“已知三角形的三边长分别为a，b，c，求其面积”，古今中外的数学家曾经对此问题进行过深入的研究．古希腊几何学家海伦和我国南宋时期数学家秦九韶都给出过计算的公式：
海伦公式：S，其中p（a+b+c）；
秦九韶公式：S．
（3）一个三角形的三边长依次为，请你从上述材料中选用适当的公式求这个三角形的面积（写出计算过程）．
19．（2025 晋中二模）（1）计算：．
（2）习题课上，数学老师展示了两道习题及其错误的解答过程：
习题1：计算：． 解： …第一步 ＝1+a（a﹣1）…第二步 ＝1+a2﹣1…第三步 ＝a2．…第四步 习题2：解方程：． 解：方程两边同乘（x2﹣1），得 ，…第一步 1+x（x+1）＝x2﹣1，…第二步 x＝﹣2．…第三步 检验：当x＝﹣2时，x2﹣1≠0，…第四步 ∴原方程的解是x＝﹣2．…第五步
①习题1的解答过程是从第　 　 步开始出现错误的，习题2的解答过程是从第　 　 步开始出现错误的；
②从以上两道习题中任选一题，写出正确的解答过程．
20．（2025 蜀山区校级三模）某同学根据学习“数与式”积累的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律．下面是他的探究过程，请补充完整：
（1）具体运算，发现规律．
特例1：，
特例2：，
特例3：，
特例4： 　 　 ．
（2）观察、归纳，得出猜想．
如果n为正整数，按此规律第n个式子可以表示为：　 　 ．
（3）应用运算规律：
①化简： 　 　 ；
②若（a，b均为正整数），则 a+b＝ 　 　 ．
2026年中考数学二轮复习之二次根式
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．（2026 遂宁一模）下列根式是最简二次根式的（　　）
A． B． C． D．
最简二次根式．
二次根式；运算能力．
【答案】A
当二次根式满足：①被开方数不含开的尽方的数或式；②根号内面没有分母．即为最简二次根式，由此即可求解．
【解答】解：A选项：，是最简二次根式，故该选项符合题意；
B选项：，不是最简二次根式，故该选项不符合题意；
C选项：，不是最简二次根式，故该选项不符合题意；
D选项：，不是最简二次根式，故该选项不符合题意．
故选：A．
本题考查了最简二次根式，掌握最简二次根式的定义是关键．
2．（2025 西藏）若代数式有意义，则实数x的取值范围是（　　）
A．x＞2 B．x≥2 C．x＜2 D．x≤2
二次根式有意义的条件．
二次根式；推理能力．
【答案】D
根据二次根式有意义进行判断即可．
【解答】解：∵有意义，
∴2﹣x≥0，
∴x≤2，
故选：D．
本题考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式有意义是解题的关键．
3．（2025 安徽）下列计算正确的是（　　）
A．a B．a
C．a3 （﹣a）2＝a6 D．（﹣a2）3＝a6
二次根式的性质与化简；立方根；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方．
整式；二次根式；运算能力．
【答案】B
利用二次根式的性质，立方根的定义，同底数幂乘法及幂的乘方法则逐项判断即可．
【解答】解：|a|，则A不符合题意，
a，则B符合题意，
a3 （﹣a）2＝a3 a2＝a5，则C不符合题意，
（﹣a2）3＝﹣a6，则D不符合题意，
故选：B．
本题考查二次根式的性质，立方根，同底数幂乘法及幂的乘方，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
4．（2025 长沙模拟）下列计算中，结果错误的是（　　）
A． B．
C． D．
二次根式的混合运算．
计算题；二次根式；运算能力．
【答案】A
利用二次根式的加减法的法则，二次根式的乘除法和乘方法则对各项进行运算即可．
【解答】解：A、与不属于同类二次根式，不能运算，故A符合题意；
B、523，故B不符合题意；
C、，故C不符合题意；
D、（）2＝2，故D不符合题意；
故选：A．
本题主要考查二次根式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
5．（2025 铁西区校级一模）下列式子正确的是（　　）
A． B．
C． D．
二次根式的混合运算．
二次根式；运算能力．
【答案】D
根据算术平方根的定义对A选项进行判断；根据二次根式的性质对B选项进行判断；根据二次根式的加减法对C选项进行判断；根据二次根式的乘法法则对D选项进行判断．
【解答】解：A． 7，所以A选项不符合题意；
B． （）2＝3，所以B选项不符合题意；
C．2，所以C选项不符合题意；
D． ，所以D选项符合题意．
故选：D．
本题考查了二次根式的混合运算：熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则、除法法则是解决问题的关键．
6．（2025 淮北校级三模）已知，ab＝1，则a2+b2＝（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
二次根式的化简求值．
二次根式；运算能力．
【答案】B
根据完全平方公式（a+b）2＝a2+2ab+b2变形，计算即可得出答案．
【解答】解：由条件可得：
，
故选：B．
本题考查了利用完全平方公式进行计算、求代数式的值，熟练掌握以上知识点是关键．
7．（2025 莱芜区三模）下列代数式运算正确的是（　　）
A．
B．（﹣2b2）3＝﹣6b6
C．
D．（a﹣b）（a2+ab+b2）＝a3﹣b3
二次根式的加减法；幂的乘方与积的乘方；多项式乘多项式；分式的加减法．
整式；分式；二次根式；运算能力．
【答案】D
根据分式的加法法则、幂的乘方与积的乘方法则、二次根式的加减法则、多项式乘多项式法则分别计算判断即可．
【解答】解：A、，故此选项不符合题意；
B、（﹣2b2）3＝﹣8b6，故此选项不符合题意；
C、5与不能合并，故此选项不符合题意；
D、（a﹣b）（a2+ab+b2）＝a3﹣b3，故此选项符合题意；
故选：D．
本题考查了二次根式的加减法，幂的乘方与积的乘方，多项式乘多项式，分式的加减法，熟练掌握各运算法则是解题的关键．
8．（2025 磁县校级四模）已知一个长方形面积是，宽是，则它的长是（　　）
A． B． C． D．
二次根式的应用．
二次根式；运算能力．
【答案】A
依据题意，由一个长方形面积是，宽是，则它的长为：2，进而得解．
【解答】解：由题意，∵一个长方形面积是，宽是，
∴它的长为：2．
故选：A．
本题主要考查了二次根式的应用，解题时要熟练掌握并能根据题意列出关系式是关键．
9．（2025 昌江区二模）若最简二次根式与能合并，则k的值是（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
同类二次根式；最简二次根式．
二次根式．
【答案】C
根据能合并的二次根式是同类二次根式，即化为最简二次根式后被开方数相同，据此列方程求解即可．
【解答】解：，
∵最简二次根式与能合并，
∴8﹣3k＝2，
∴﹣3k＝2﹣8，
∴﹣3k＝﹣6，
∴k＝2．
故选：C．
本题考查了最简二次根式及同类二次根式的定义，熟知定义是解题的关键．
10．（2025 东莞市校级模拟）化简：（　　）
A． B． C． D．
二次根式的混合运算．
二次根式；运算能力．
【答案】B
先把括号里的二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式，再算除法即可得答案．
【解答】解：先把括号里的二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式，再算除法可得：
，
故答案为：B．
本题考查了二次根式的混合运算，正确的计算是解题的关键．
二．填空题（共5小题）
11．（2025 和平区二模）计算（4）（4）的结果等于　13　 ．
二次根式的混合运算；平方差公式．
二次根式；运算能力．
【答案】13．
应用平方差公式，求出计算（4）（4）的结果等于多少即可．
【解答】解：（4）（4）
＝42
＝16﹣3
＝13．
故答案为：13．
此题主要考查了二次根式的混合运算，以及平方差公式的应用，要熟练掌握．
12．（2025 松江区二模）计算：　12　 ．
二次根式的乘除法；二次根式的性质与化简．
二次根式；运算能力．
【答案】12．
利用二次根式的乘法法则及性质计算即可．
【解答】解：原式＝4×3＝12，
故答案为：12．
本题考查二次根式的性质及乘法法则，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
13．（2025 齐齐哈尔）若代数式（x﹣2025）0有意义，则实数x的取值范围是x＞3且x≠2025　 ．
二次根式有意义的条件；分式有意义的条件；零指数幂．
二次根式；推理能力．
【答案】x＞3且x≠2025．
由代数式有意义的条件可得：x﹣3＞0且x﹣2025≠0，求解即可得到答案．
【解答】解：∵代数式（x﹣2025）0有意义，
∴x﹣3＞0且x﹣2025≠0，
∴x＞3且x≠2025．
故答案为：x＞3且x≠2025．
本题考查了代数式有意义的条件，掌握分式有意义的条件与零指数幂的底数不能为零是解题的关键．
14．（2025 榕城区二模）已知x，y为实数，若满足，则x+y的值为 　5　 ．
二次根式有意义的条件．
二次根式；运算能力．
【答案】5．
根据二次根式有意义的条件求出x＝3，由此得到y的值，再进行计算即可．
【解答】解：由题可知知，
x﹣3≥0，3﹣x≥0，
∴x＝3，
∴，
∴x+y＝5．
故答案为：5．
本题考查二次根式有意义的条件，熟练掌握相关的知识点是解题的关键．
15．（2025 霸州市模拟）a，b均为正整数，且满足，则的值为　4或　 ．
二次根式的加减法．
二次根式；运算能力．
【答案】4或．
根据，得到与是同类二次根式，结合a，b均为正整数，进行求解即可．
【解答】解：∵，
∴与是同类二次根式，
∵，
∴a＝3，b＝12或a＝12，b＝3，
∴或；
故答案为：4或．
本题考查二次根式的加减运算，熟练掌握该知识点是关键．
三．解答题（共5小题）
16．（2025 射洪市校级二模）先化简，再求值．
（6x）﹣（4y），其中x，y．
二次根式的化简求值；分母有理化．
二次根式．
【答案】见试题解答内容
首先把二次根式进行化简，然后再去括号合并同类二次根式，再代入xy的值即可．
【解答】解：原式＝（63）﹣（46），
＝6346，
，
当x，y时，xy1，
则原式＝﹣1．
此题主要考查了二次根式的化简求值，关键是正确化简二次根式．
17．（2025 康巴什三模）计算
（1）；
（2）化简：．
二次根式的混合运算；分式的加减法．
分式；二次根式；运算能力．
【答案】（1）；
（2）．
（1）先利用平方差公式对二次根式进行化简，再进行运算即可；
（2）先提公因式，通分，平方差公式，利用分式的混合运算法则计算即可．
【解答】解：（1）原式
；
（2）
．
本题考查二次根式的混合运算，分式的混合运算，熟练掌握以上知识是解题关键．
18．（2025 琼山区校级二模）综合与实践：
【问题情境】
某班同学以“已知三角形三边的长度，求三角形面积”为主题开展了数学活动．
【操作发现】
第一小组的同学想到借助正方形网格解决问题．如图1是6×6的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点．在其中画出△ABC，其顶点A，B，C都是格点，同时构造正方形CDEF，使它的顶点都在格点上，且它的边DE，EF分别经过点A，B，他们借助此图求出了△ABC的面积．
（1）在图1中，所画的△ABC的三边长分别是AB＝　　 ，BC＝　　 ，AC＝　　 ，△ABC的面积为　3.5　 ；
（2）在图2所示的正方形网格中画出△GHQ（顶点都在格点上），使GH，HQ，并求出△GHQ的面积；
【继续探究】
第二小组的同学想到借助曾经阅读的数学资料来解决问题．“已知三角形的三边长分别为a，b，c，求其面积”，古今中外的数学家曾经对此问题进行过深入的研究．古希腊几何学家海伦和我国南宋时期数学家秦九韶都给出过计算的公式：
海伦公式：S，其中p（a+b+c）；
秦九韶公式：S．
（3）一个三角形的三边长依次为，请你从上述材料中选用适当的公式求这个三角形的面积（写出计算过程）．
二次根式的应用．
二次根式；运算能力；应用意识．
【答案】（1），，，3.5；（2）作图见解析；△GHQ的面积为3；（3）．
（1）依据题意，根据勾股定理分别求出AB、BC、AC，根据正方形的面积公式、三角形的面积公式求出△ABC的面积；
（2）依据题意，根据勾股定理画出△GHQ，根据矩形的面积公式、三角形的面积公式求出△GHQ的面积；
（3）依据题意，把三边长代入秦九韶公式，根据二次根式的性质化简即可．
【解答】解：（1）由题意，AB，BC，AC．
S△ABC＝S长方形DEFC﹣S△ADC﹣S△AEB﹣S△BCF
＝92×32×13×1
＝9﹣3﹣1﹣1.5
＝3.5．
故答案为：，，，3.5．
（2）由题意，可以作图如下．
S△GHQ＝S长方形ABQD﹣S△AGH﹣S△BGQ﹣S△DHQ
＝82×12×24×1
＝8﹣1﹣2﹣2
＝3．
答：△GHQ的面积为3．
（3）由题意，令，b，，
∴a2＝5，b2＝6，c2＝7．
∴
．
本题主要考查了勾股定理、二次根式的化简、三角形的面积计算，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．
19．（2025 晋中二模）（1）计算：．
（2）习题课上，数学老师展示了两道习题及其错误的解答过程：
习题1：计算：． 解： …第一步 ＝1+a（a﹣1）…第二步 ＝1+a2﹣1…第三步 ＝a2．…第四步 习题2：解方程：． 解：方程两边同乘（x2﹣1），得 ，…第一步 1+x（x+1）＝x2﹣1，…第二步 x＝﹣2．…第三步 检验：当x＝﹣2时，x2﹣1≠0，…第四步 ∴原方程的解是x＝﹣2．…第五步
①习题1的解答过程是从第　一　 步开始出现错误的，习题2的解答过程是从第　二　 步开始出现错误的；
②从以上两道习题中任选一题，写出正确的解答过程．
二次根式的混合运算；解分式方程；完全平方公式；分式的加减法；负整数指数幂．
二次根式；运算能力．
【答案】（1）；
（2）①一；二；
②习题1：
．
习题2：方程两边同乘（x2﹣1），得
1+x（x﹣1）＝x2﹣1．
1+x2﹣x＝x2﹣1
1﹣x＝﹣1
﹣x＝﹣2
x＝2．
经检验，当x＝2时，x2﹣1≠0．
∴原分式方程的解是x＝2．
（1）利用负整数指数幂，去绝对值，完全平方差公式的运算法则进行求解即可；
（2）①根据解分式方程和分式加法计算的步骤一步步检查即可．
②按照解分式方程和分式加法计算的步骤进行计算即可．
【解答】解：（1）
．
（2）①习题1的解答过程是从第一步开始出现错误的，习题2的解答过程是从第二步开始出现错误的；
故答案为：一；二；
②习题1：
．
习题2：方程两边同乘（x2﹣1），得
1+x（x﹣1）＝x2﹣1，
1+x2﹣x＝x2﹣1，
1﹣x＝﹣1，
﹣x＝﹣2，
x＝2．
经检验，当x＝2时，x2﹣1≠0．
∴原分式方程的解是x＝2．
本题主要考查了实数的运算，负整数指数幂，去绝对值，完全平方差公式，解分式方程和分式加法，计算分式加减法时第一步是通分，解分式方程的第一步是去分母，去分母时要给方程左右两边的每一项都要乘最简公分母，这是解题的关键．
20．（2025 蜀山区校级三模）某同学根据学习“数与式”积累的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律．下面是他的探究过程，请补充完整：
（1）具体运算，发现规律．
特例1：，
特例2：，
特例3：，
特例4： 　5　 ．
（2）观察、归纳，得出猜想．
如果n为正整数，按此规律第n个式子可以表示为：　（n+1）（n为正整数）　 ．
（3）应用运算规律：
①化简： 　2025　 ；
②若（a，b均为正整数），则 a+b＝ 　22　 ．
二次根式的混合运算；规律型：数字的变化类．
二次根式；运算能力．
【答案】（1）5；
（2）（n+1）（n为正整数）；
（3）2025；
（4）22．
（1）根据二次根式的性质和乘法法则，按照前面的特例变形得到特例4；
（2）根据前面特例中数据与序号数的关系写出第n个式子；
（3）先根据（2）中的规律变形前面的二次根式，然后根据二次根式的乘法法则运算；
（4）利用特例中数据与序号数的关系先确定a的值，然后确定b的值，最后计算它们的和．
【解答】解：（1）5；
故答案为：5；
（2）第n个式子可以表示为：（n+1）（n为正整数）；
故答案为：（n+1）；
（3）原式＝202520252025；
故答案为：2025；
（4）∵（a，b均为正整数），
∴a＝11﹣1＝10，
∴b＝10+2＝12，
∴a+b＝10+12＝22．
故答案为：22．
本题考查了二次根式的混合运算：熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则和除法法则是解决问题的关键．

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