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2026年中考数学二轮复习之二元一次方程组
一．选择题（共10小题）
1．（2025秋 昌图县期末）《九章算术》中记载了这样一道题：牛5头和羊2只共值10金，牛2头和羊5只共值8金，问牛和羊各值多少金？设每头牛值x金，每只羊值y金，可列方程组为（　　）
A． B．
C． D．
2．（2025 衡阳校级一模）观察如表可知关于x，y的二元一次方程组的解为（　　）
a1x+b1y＝m的解 a2x+b2y＝n的解
x ﹣1 0 1 … x ﹣1 1 5 …
y 6 4 2 … y 3 2 0 …
A． B． C． D．
3．（2025 赤坎区校级四模）方程组的解是（　　）
A． B．
C． D．
4．（2025 沙坡头区四模）“九宫图”传说是远古时代洛河中的一个神龟背上的图案，故又称“龟背图”，中国古代数学史上经常研究这一神话．数学上的“九宫图”所体现的是一个3×3表格，其每行、每列、每条对角线上三个数字之和都相等，也称为三阶幻方，如图是一个三阶幻方，则2x+y的值为（　　）
A．﹣5 B．﹣4 C．4 D．5
5．（2025 长安区校级模拟）若关于x，y的二元一次方程组的解满足x+y＝1，则k的值为（　　）
A．0 B．1 C．2 D．﹣1
6．（2025 无锡一模）若是关于x，y的二元一次方程ax﹣y＝1的解，则a的值为（　　）
A．2 B．1 C．﹣1 D．﹣2
7．（2025 斗门区二模）《孙子算经》是我国古代数学经典著作，书中记载了这样一道题目：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．人与车各几何？其意思是：今有3个人坐一辆车，有2辆车是空的；2个人坐一辆车，有9个人需要步行．人与车各多少？若设有x人，车y辆，则可列方程组是（　　）
A． B．
C． D．
8．（2025 利通区校级二模）关于x，y的二元一次方程组的解为，则〇和☆代表的数分别为（　　）
A．﹣9和﹣1 B．9和1 C．﹣3和﹣1 D．﹣3和1
9．（2025 滨海新区二模）《算法统宗》是我国古代著名的数学典籍，其中有一道题：我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空，问房几间？客几何？意思是：李三公家开店，来了一批客人，一个房间住7位客人则多出7位客人，一个房间住9位客人则多出1个房间，问李三公家的店有多少个房间？来了多少位客人？设李三公家的店有x个房间，来了y位客人，则可以列出的方程组为（　　）
A． B．
C． D．
10．（2025 深圳校级二模）如图，在长为20，宽为15的长方形中，有形状、大小完全相同的5个小长方形，若求阴影部分的面积，应先求一个小长方形的面积，设小长方形的长为x，宽为y，根据题意，下列方程组正确的是（　　）
A． B．
C． D．
二．填空题（共5小题）
11．（2025 盐城）我国古代数学著作《算法统宗》中记载：“今有绫三尺，绢四尺，共价四钱八分；又绫七尺，绢二尺，共价六钱八分．问：绫、绢各价若干？”大意为：三尺绫和四尺绢共值四钱八分；七尺绫和二尺绢共值六钱八分．则绫、绢每尺各值多少？已知一钱等于十分，则每尺绢的价格是 　 　 分．
12．（2025 朝阳区校级三模）我国明代数学读本《算法统宗》中有一道题，其题意为：客人一起分银子，若每人7两，还剩4两；若每人9两，则差8两．在用二元一次方程组解决问题时，若已经列出的一个方程为7x+4＝y，则符合题意的另一个方程是　 　 ．
13．（2025 四川校级二模）对于一个四位自然数M，它的各个位置上的数字不同且都不为0．若它的千位数字比个位数字多6，百位数字比十位数字多2，则称M为“凤鸣数”．如：四位数8642，∵8﹣2＝6，6﹣4＝2，∴8642是“凤鸣数”．若四位自然数是“凤鸣数”，则这个数是　 　 ．
14．（2025 南通）把一根长10m的钢管截成3m长和1m长两种规格的钢管．为了不造成浪费，可能截得钢管的总根数为 　 　 （写出一种情况即可）．
15．（2025 榆阳区校级模拟）《算法统宗》中记载了这样一道问题：牧童分杏各争竞，不知人数不知杏．三人五个多十个，四人八个两个剩．问：有几个牧童几个杏？其大意是：牧童们要分一堆杏，不知道人数也不知道有多少个杏．若3人一组，每组5个杏，则多10个杏；若4人一组，每组8个杏，则多2个杏．根据题意可得牧童的人数是 　 　 ．
三．解答题（共5小题）
16．（2025 武冈市校级模拟）解方程组：．
17．（2025 阎良区二模）中国航天实现历史性高质量跨越式发展．太空水稻有望实现优质增产，太空黄瓜、太空番茄等蔬菜备受好评．某校为激发学生对航空航天的兴趣，举行了航空航天知识竞赛，此次知识竞赛共25道题，答对一题得4分，答错或不答一题扣2分．已知张倩同学在该知识竞赛中的得分是70分，求她答对了多少道题？
18．（2025 琼海校级模拟）学校为了支持体育活动，鼓励同学们加强锻炼，准备购买一些羽毛球拍和乒乓球拍作为运动会奖品．根据图中信息，求出每支羽毛球拍和每支乒乓球拍的价格．
19．（2025 镜湖区校级二模）算盘起源于中国，以排列成串的算珠作为计算工具，成串算珠称为档，中间横梁把算珠分为上，下两部分，上半部分每算珠代表5，下半部分每算珠代表1．任意选定某档为个位，从该档开始从右至左依次代表十进位的个，十，百，千，万，……，不拨出算珠的空档表示0．某同学在百位拨了一颗上珠和三颗下珠，在构成的三位数中，百位数字等于十位数字与个位数字的和的2倍，十位数字减2等于个位数字，请求出这个三位数．
20．（2025 湛江一模）随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具，某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车尝试进行销售．据了解，2辆A型汽车、3辆B型汽车的进价共计80万元；3辆A型汽车、2辆B型汽车的进价共计95万元．
（1）求A、B两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？
（2）若该公司计划正好用200万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），若该汽车销售公司销售1辆A型汽车可获利8000元，销售1辆B型汽车可获利5000元，问：购进A型、B型各几辆，才能获得最大利润？最大利润是多少？
2026年中考数学二轮复习之二元一次方程组
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．（2025秋 昌图县期末）《九章算术》中记载了这样一道题：牛5头和羊2只共值10金，牛2头和羊5只共值8金，问牛和羊各值多少金？设每头牛值x金，每只羊值y金，可列方程组为（　　）
A． B．
C． D．
由实际问题抽象出二元一次方程组；数学常识．
一次方程（组）及应用；应用意识．
【答案】D
根据未知数，将今有牛5头，羊2头，共值10金；牛2头，羊5头，共值8金，两个等量关系具体化，联立即可．
【解答】解：设每头牛值x金，每头羊值y金，
∵牛5头，羊2头，共值10金；牛2头，羊5头，共值8金，
∴，
故选：D．
本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是找到等量关系，列出方程．
2．（2025 衡阳校级一模）观察如表可知关于x，y的二元一次方程组的解为（　　）
a1x+b1y＝m的解 a2x+b2y＝n的解
x ﹣1 0 1 … x ﹣1 1 5 …
y 6 4 2 … y 3 2 0 …
A． B． C． D．
二元一次方程组的解；解二元一次方程组．
一次方程（组）及应用；运算能力．
【答案】A
根据二元一次方程组解的定义进行判断即可．
【解答】解：由二元一次方程组解的定义可知，既满足二元一次方程a1x+b1y＝m，又满足a2x+b2y＝n的一对x、y的值为，
故选：A．
本题考查二元一次方程组的解，解二元一次方程组，理解二元一次方程组解的定义，掌握二元一次方程组的解法是正确解答的关键．
3．（2025 赤坎区校级四模）方程组的解是（　　）
A． B．
C． D．
解二元一次方程组．
一次方程（组）及应用；运算能力．
【答案】B
用加减消元法解方程组即可．
【解答】解：将方程标号得，
②﹣①得x＝2，
将x＝2代入①得2+y＝6，
解得y＝4，
∴，
故选：B．
本题考查了解一元二次方程，熟练掌握该知识点是关键．
4．（2025 沙坡头区四模）“九宫图”传说是远古时代洛河中的一个神龟背上的图案，故又称“龟背图”，中国古代数学史上经常研究这一神话．数学上的“九宫图”所体现的是一个3×3表格，其每行、每列、每条对角线上三个数字之和都相等，也称为三阶幻方，如图是一个三阶幻方，则2x+y的值为（　　）
A．﹣5 B．﹣4 C．4 D．5
二元一次方程组的应用．
一次方程（组）及应用；运算能力；应用意识．
【答案】B
根据每行、每列、每条对角线上三个数字之和都相等，列出二元一次方程组，解方程组即可．
【解答】解：由题意得：，
解得：，
∴2x+y＝2×（﹣3）+2＝﹣4，
故选：B．
本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
5．（2025 长安区校级模拟）若关于x，y的二元一次方程组的解满足x+y＝1，则k的值为（　　）
A．0 B．1 C．2 D．﹣1
二元一次方程组的解．
一次方程（组）及应用；运算能力．
【答案】B
两式相加即可得到x+y1，进而求解即可．
【解答】解：，
方法一：①+②得，6x+6y＝5k+1，
∴x+y1，
解得k＝1；
方法二：①×2﹣②，得6x＝10k﹣13，
解得x③，
将③代入②，得4y＝5，
解得y，
∴原二元一次方程组是解为，
∵x+y＝1，
∴1，
∴k＝1．
故选：B．
本题考查二元一次方程组的解，掌握二元一次方程组和一元一次方程的解法是解题的关键．
6．（2025 无锡一模）若是关于x，y的二元一次方程ax﹣y＝1的解，则a的值为（　　）
A．2 B．1 C．﹣1 D．﹣2
二元一次方程的解．
一次方程（组）及应用；运算能力．
【答案】B
将代入关于x，y的二元一次方程ax﹣y＝1，可得关于a的一元一次方程，求解即可获得答案．
【解答】解：将代入关于x，y的二元一次方程ax﹣y＝1，
可得2a﹣1＝1，
解得a＝1．
故选：B．
本题主要考查了二元一次方程的解、解一元一次方程等知识，理解二元一次方程的解的定义是解题关键．
7．（2025 斗门区二模）《孙子算经》是我国古代数学经典著作，书中记载了这样一道题目：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．人与车各几何？其意思是：今有3个人坐一辆车，有2辆车是空的；2个人坐一辆车，有9个人需要步行．人与车各多少？若设有x人，车y辆，则可列方程组是（　　）
A． B．
C． D．
由实际问题抽象出二元一次方程组；数学常识．
一次方程（组）及应用；应用意识．
【答案】B
根据“3个人坐一辆车，有2辆车是空的；2个人坐一辆车，有9个人需要步行”，即可列出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．
【解答】解：∵3个人坐一辆车，有2辆车是空的，
∴x＝y﹣2；
∵2个人坐一辆车，有9个人需要步行，
∴y．
∴根据题意可列出方程组．
故选：B．
本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组以及数学常识，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
8．（2025 利通区校级二模）关于x，y的二元一次方程组的解为，则〇和☆代表的数分别为（　　）
A．﹣9和﹣1 B．9和1 C．﹣3和﹣1 D．﹣3和1
二元一次方程组的解．
一次方程（组）及应用；运算能力．
【答案】A
把y＝3代入2x+y＝1，求出x的值，再把x，y的值代入第一个方程中，进行求解即可．
【解答】解：由题意可得：把y＝3代入2x+y＝1，
得：2x+3＝1，
解得：x＝﹣1，
即：☆代表的数为﹣1，
把x＝﹣1，y＝3代入3x﹣2y＝〇，
得：〇＝3×（﹣1）﹣2×3＝﹣9；
故选：A．
本题考查二元一次方程组的解，正确进行是解题关键．
9．（2025 滨海新区二模）《算法统宗》是我国古代著名的数学典籍，其中有一道题：我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空，问房几间？客几何？意思是：李三公家开店，来了一批客人，一个房间住7位客人则多出7位客人，一个房间住9位客人则多出1个房间，问李三公家的店有多少个房间？来了多少位客人？设李三公家的店有x个房间，来了y位客人，则可以列出的方程组为（　　）
A． B．
C． D．
由实际问题抽象出二元一次方程组．
一次方程（组）及应用；应用意识．
【答案】C
根据“一个房间住7位客人则多出7位客人，一个房间住9位客人则多出1个房间”，即可列出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．
【解答】解：∵一个房间住7位客人则多出7位客人，
∴7x+7＝y；
∵一个房间住9位客人则多出1个房间，
∴9（x﹣1）＝y．
∴根据题意可列出方程组．
故选：C．
本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
10．（2025 深圳校级二模）如图，在长为20，宽为15的长方形中，有形状、大小完全相同的5个小长方形，若求阴影部分的面积，应先求一个小长方形的面积，设小长方形的长为x，宽为y，根据题意，下列方程组正确的是（　　）
A． B．
C． D．
由实际问题抽象出二元一次方程组．
一次方程（组）及应用；应用意识．
【答案】C
根据大矩形的长及其内小长方形各边间的关系，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．
【解答】解：∵大矩形的长为20，
∴x+2y＝20；
观察图形，可知：x＝3y，
∴根据题意可列方程组，
故选：C．
本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系是解题的关键．
二．填空题（共5小题）
11．（2025 盐城）我国古代数学著作《算法统宗》中记载：“今有绫三尺，绢四尺，共价四钱八分；又绫七尺，绢二尺，共价六钱八分．问：绫、绢各价若干？”大意为：三尺绫和四尺绢共值四钱八分；七尺绫和二尺绢共值六钱八分．则绫、绢每尺各值多少？已知一钱等于十分，则每尺绢的价格是 　6　 分．
二元一次方程组的应用．
一次方程（组）及应用；运算能力；应用意识．
【答案】6．
设每尺绫的价格是x分，每尺绢的价格是y分，根据三尺绫和四尺绢共值四钱八分；七尺绫和二尺绢共值六钱八分；列出二元一次方程组，解方程组即可．
【解答】解：设每尺绫的价格是x分，每尺绢的价格是y分，
根据题意得：，
解得：，
即每尺绢的价格是6分，
故答案为：6．
本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
12．（2025 朝阳区校级三模）我国明代数学读本《算法统宗》中有一道题，其题意为：客人一起分银子，若每人7两，还剩4两；若每人9两，则差8两．在用二元一次方程组解决问题时，若已经列出的一个方程为7x+4＝y，则符合题意的另一个方程是　9x﹣8＝y ．
由实际问题抽象出二元一次方程；二元一次方程组的应用．
一次方程（组）及应用；运算能力．
【答案】9x﹣8＝y．
设客人为x人，银子为y两，根据银两相同列出方程组即可．
【解答】解：根据题意得：
，
故答案为：9x﹣8＝y．
本题考查了二元一次方程组的应用，熟练掌握方程组的应用是解题的关键．
13．（2025 四川校级二模）对于一个四位自然数M，它的各个位置上的数字不同且都不为0．若它的千位数字比个位数字多6，百位数字比十位数字多2，则称M为“凤鸣数”．如：四位数8642，∵8﹣2＝6，6﹣4＝2，∴8642是“凤鸣数”．若四位自然数是“凤鸣数”，则这个数是　7421　 ．
解二元一次方程组．
方程与不等式；运算能力．
【答案】7421
根据“凤鸣数”的定义可得m﹣1＝6，4﹣n＝2，求出m，n的值即可得这个数．
【解答】解：∵是“凤鸣数”，
∴m﹣1＝6，4﹣n＝2，
解得：m＝7，n＝2，
∴这个数是7421．
故答案为：7421．
本题考查了解二元一次方程组，掌握解二元一次方程组的步骤是关键．
14．（2025 南通）把一根长10m的钢管截成3m长和1m长两种规格的钢管．为了不造成浪费，可能截得钢管的总根数为 　8或6或4　 （写出一种情况即可）．
二元一次方程的应用．
一次方程（组）及应用；运算能力；应用意识．
【答案】8或6或4．
设可以截成x根3m长的钢管，y根1m长的钢管，根据把一根长10m的钢管截成3m长和1m长两种规格的钢管，列出二元一次方程，求出正整数解，即可解决问题．
【解答】解：设可以截成x根3m长的钢管，y根1m长的钢管，
根据题意得：3x+y＝10，
∴y＝10﹣3x，
又∵x、y均为正整数，
∴或或，
∴共有3种不同的截法，x+y＝8或6或4，
∴可能截得钢管的总根数为8或6或4，
故答案为：8或6或4．
本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键．
15．（2025 榆阳区校级模拟）《算法统宗》中记载了这样一道问题：牧童分杏各争竞，不知人数不知杏．三人五个多十个，四人八个两个剩．问：有几个牧童几个杏？其大意是：牧童们要分一堆杏，不知道人数也不知道有多少个杏．若3人一组，每组5个杏，则多10个杏；若4人一组，每组8个杏，则多2个杏．根据题意可得牧童的人数是 　24人　 ．
二元一次方程组的应用．
一次方程（组）及应用；运算能力；应用意识．
【答案】24人．
设牧童的人数是x人，杏有y个，根据若3人一组，每组5个杏，则多10个杏；若4人一组，每组8个杏，则多2个杏；列出二元一次方程组，解方程组即可．
【解答】解：设牧童的人数是x人，杏有y个，
根据题意得：，
解得：，
即牧童的人数是24人，
故答案为：24人．
本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
三．解答题（共5小题）
16．（2025 武冈市校级模拟）解方程组：．
解二元一次方程组．
一次方程（组）及应用；运算能力．
【答案】．
利用加减消元法解二元一次方程组即可得．
【解答】解：①×2﹣②×3得：8x﹣9x＝2﹣（﹣3），
解得x＝﹣5，
将x＝﹣5代入①得：﹣5×4﹣3y＝1，
解得y＝﹣7，
所以．
本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握加减消元法是解题关键．
17．（2025 阎良区二模）中国航天实现历史性高质量跨越式发展．太空水稻有望实现优质增产，太空黄瓜、太空番茄等蔬菜备受好评．某校为激发学生对航空航天的兴趣，举行了航空航天知识竞赛，此次知识竞赛共25道题，答对一题得4分，答错或不答一题扣2分．已知张倩同学在该知识竞赛中的得分是70分，求她答对了多少道题？
二元一次方程组的应用．
一次方程（组）及应用；运算能力．
【答案】她答对了20道题．
设她答对了x道题，则她答错或不答一题为（25﹣x）道，根据题意4x﹣2（25﹣x）＝70，解得x＝20，即可得到答案．
【解答】解：设她答对了x道题，根据题意得4x﹣2（25﹣x）＝70，
解得x＝20，
答：她答对了20道题．
本题考查了一元一次方程的应用，根据题意正确列出方程是解题的关键．
18．（2025 琼海校级模拟）学校为了支持体育活动，鼓励同学们加强锻炼，准备购买一些羽毛球拍和乒乓球拍作为运动会奖品．根据图中信息，求出每支羽毛球拍和每支乒乓球拍的价格．
二元一次方程组的应用．
一次方程（组）及应用；运算能力．
【答案】每支羽毛球拍的价格为80元，每支乒乓球拍的价格为70元．
设每支羽毛球拍的价格为x元，每支乒乓球拍的价格为y元，根据图片中的信息列出方程组求解即可
【解答】解：设每支羽毛球拍的价格为x元，每支乒乓球拍的价格为y元，
根据题意列二元一次方程组得：
，
解得：，
即每支羽毛球拍的价格为80元，每支乒乓球拍的价格为70元，
答：每支羽毛球拍的价格为80元，每支乒乓球拍的价格为70元．
本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是根据等量关系列出方程组．
19．（2025 镜湖区校级二模）算盘起源于中国，以排列成串的算珠作为计算工具，成串算珠称为档，中间横梁把算珠分为上，下两部分，上半部分每算珠代表5，下半部分每算珠代表1．任意选定某档为个位，从该档开始从右至左依次代表十进位的个，十，百，千，万，……，不拨出算珠的空档表示0．某同学在百位拨了一颗上珠和三颗下珠，在构成的三位数中，百位数字等于十位数字与个位数字的和的2倍，十位数字减2等于个位数字，请求出这个三位数．
二元一次方程组的应用．
一次方程（组）及应用；运算能力．
【答案】831．
根据题意得出百位数8，设个位数字为x，十位数字为y，由题意列出方程组，解方程组，即可求解．
【解答】解：依题意，百位数为5+3＝8，设个位数字为x，十位数字为y，
由题意列二元一次方程组得：
，
解得：，
∴这个三位数为831，
答：这个三位数为831．
本题考查二元一次方程组的应用，关键是根据题意找到关系式．
20．（2025 湛江一模）随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具，某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车尝试进行销售．据了解，2辆A型汽车、3辆B型汽车的进价共计80万元；3辆A型汽车、2辆B型汽车的进价共计95万元．
（1）求A、B两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？
（2）若该公司计划正好用200万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），若该汽车销售公司销售1辆A型汽车可获利8000元，销售1辆B型汽车可获利5000元，问：购进A型、B型各几辆，才能获得最大利润？最大利润是多少？
二元一次方程组的应用；一次函数的应用．
一次方程（组）及应用；一次函数及其应用；应用意识．
【答案】（1）每辆A型汽车的进价是25万元，每辆B型汽车的进价是10万元；
（2）购进2辆A型汽车，15辆B型汽车时，才能获得最大利润，最大利润是91000元．
（1）设每辆A型汽车的进价是x万元，每辆B型汽车的进价是y万元，根据“2辆A型汽车、3辆B型汽车的进价共计80万元；3辆A型汽车、2辆B型汽车的进价共计95万元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设该公司购进m辆A型汽车，全部售出后获得的总利润为w元，则该公司购进辆B型汽车，利用总利润＝每辆A型汽车的销售利润×A型汽车的购进数量+每辆B型汽车的销售利润×B型汽车的购进数量，可找出w关于m的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题．
【解答】解：（1）设每辆A型汽车的进价是x万元，每辆B型汽车的进价是y万元，
根据题意得：，
解得：．
答：每辆A型汽车的进价是25万元，每辆B型汽车的进价是10万元；
（2）设该公司购进m辆A型汽车，全部售出后获得的总利润为w元，则该公司购进辆B型汽车，
根据题意得：w＝8000m+5000，
即w＝﹣4500m+100000，
∵﹣4500＜0，
∴w随m的增大而减小，
又∵m，均为正整数，
∴m的最小值为2，
∴当m＝2时，w取得最大值，最大值为﹣4500×2+100000＝91000（元），此时15（辆）．
答：购进2辆A型汽车，15辆B型汽车时，才能获得最大利润，最大利润是91000元．
本题考查了二元一次方程组的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，找出w关于m的函数关系式．

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