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2026年中考数学二轮复习之函数基础知识
一．选择题（共10小题）
1．（2026 黄石一模）如图①，在菱形ABCD中，∠B＝45°，动点P从点A出发，以每秒1个单位的速度沿线段AB运动到点B停止，同时动点Q从点B出发，以每秒2个单位的速度沿折线B﹣C﹣D运动到点D停止．图②是点P，Q运动时△BPQ的面积S与运动时间t的函数关系的图象，则m的值为（　　）
A．2 B． C． D．
2．（2026 哈尔滨模拟）如图1，在△ABC中，点P从点A出发向点C运动，在运动过程中，设x表示线段AP的长，y表示线段BP的长，y与x之间的关系如图2所示，下列结论不正确的是（　　）
A．AC＝4 B．BC＝2
C．tan∠BAP D．AB2+BC2＝AC2
3．（2026 浙江一模）如图1，在Rt△ABC中，D是边AB的中点．点E在斜边AC上，从点A出发，运动到点C时停止．设AE为x，DE2为y．如图2，y关于x的函数图象与y轴交于点P（0，100），且经过N（n﹣9，100）和最高点M（n，m）两点．下列选项正确的是（　　）
A．∠A＝30° B．m＝325
C．n＝24 D．y的最小值为64
4．（2025 武汉）如图1，在△ABC中，D是边AC上的定点．点P从点A出发，依次沿AB，BC两边匀速运动，运动到点C时停止．设点P运动的路程为x，DP的长为y，y关于x的函数图象如图2所示，其中M，N分别是两段曲线的最低点．点N的纵坐标是（　　）
A． B． C． D．
5．（2025 鲁山县三模）为了探究浮力的大小与哪些因素有关，物理实验小组进行了测浮力的实验．如图甲，先将一个长方体铁块放在玻璃烧杯上方，再向下缓缓移动，移动过程中记录弹簧测力计的示数F拉力（单位：N）与铁块下降的高度x（单位：cm）之间的关系如图乙所示．下列说法不正确的是（　　）
A．铁块的高度为4cm
B．铁块入水之前，烧杯内水的高度为10cm
C．当铁块下降的高度为8cm时，该铁块所受到的浮力为3.25N
D．当弹簧测力计的示数为3N时，此时铁块距离烧杯底
6．（2025 宁夏模拟）如图1，在矩形ABCD中，BC＝4，E是BC边上的一个动点，AE⊥EF，EF交CD于点F，设BE＝x，CF＝y，图2是点E从点B运动到点C的过程中，y关于x的函数图象，则AB的长为（　　）
A．5 B．6 C．7 D．8
7．（2025 东营）如图，在同一平面内放置的Rt△EFG和矩形ABCD，EG与AB重合，FG＝3cm，AB＝4cm，BC＝5cm，Rt△EFG以1cm/s的速度沿BC方向匀速运动，当点F与点C重合时停止，在运动过程中，Rt△EFG与矩形ABCD重叠部分的面积S（cm2）与运动时间t（s）之间的函数关系图象大致是（　　）
A． B．
C． D．
8．（2025 肥城市三模）兴趣小组同学借助数学软件探究函数的图象，输入了一组a，b的值，得到了它的函数图象，如图，借助学习函数的经验，可以推断输入的a，b的值应满足（　　）
A．a＜0，b＞0 B．a＞0，b＜0 C．a＞0，b＞0 D．a＜0，b＜0
9．（2025 哈尔滨）如图，在 ABCD中，∠A＝30°，AB＝6，AD＝3．点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿折线AD→DC运动，同时点Q从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿AB向点B运动，其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设△BPQ的面积为y，运动时间为x秒，则下列图象中大致反映y与x之间函数关系的是（　　）
A．B． C．D．
10．（2025 盐田区二模）为了准备参加深圳市马拉松比赛，茗茗和清清约定每周六同时从A地到相距6000米的B地匀速往返跑（中途不休息），茗茗的速度大于清清的速度．图中的折线表示从开始到第二次相遇截止时，两人的距离y（米）与跑步时间x（分）之间的关系的图象，下列结论错误的是（　　）
A．a＝1200 B．b＝1500 C．c＝45 D．
二．填空题（共5小题）
11．（2025 冠县一模）在马拉松、公路自行车等耐力运动的训练或比赛中，为合理分配体能，运动员通常会记录每行进1km所用的时间，即“配速”（单位：min/km）．小华参加5km的骑行比赛，他骑行的“配速”如图所示，则下列说法中正确的是　 　 ．
①第1km所用的时间最长；
②第5km的平均速度最大；
③第2km和第3km的平均速度相同；
④前2km的平均速度大于最后2km的平均速度．
12．（2025 淮北校级三模）在一个密闭的容器内装有一定质量的某种气体，当它的容积V改变时，气体的密度ρ也随之改变，ρ与V在一定范围内满足关系式（m是常数，且m≠0），它的图象如图所示，当ρ为3.6kg/m3时，V的值为　 　 ．
13．（2025 湖南）甲、乙两人在一次100米赛跑比赛中，路程s（米）与时间t（秒）的函数关系如图所示，填 　 　 （“甲”或“乙”先到终点）．
14．（2025 深圳二模）某科创实验小组根据小孔成像的科学原理设置了如图1所示的小孔成像实验．当像距（小孔到像的距离）和物高（蜡烛火焰高度）不变时，绘制了火焰的像高y（单位：cm）与物距（小孔到蜡烛的距离）x（单位：cm）的函数图象（如图2所示），为便于观察，在实验中要求火焰的像高不得低于4cm，求小孔到蜡烛的距离至多是 　 　 厘米．
15．（2025 龙凤区校级一模）如图1，点P从等边三角形ABC的顶点A出发，沿直线运动到三角形内部一点，再从该点沿直线运动到顶点B．设点P运动的路程为x，，图2是点P运动时y随x变化的关系图象，则等边三角形ABC的边长为　 　 ．
三．解答题（共5小题）
16．（2026 大渡口区模拟）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，点P从点C出发，以每秒1个单位长度的速度沿着C→A→B匀速运动，点P的运动时间为x秒，△PBC的面积为y1，BC与点P的运动路程的比为y2．
（1）请直接写出y1，y2分别关于x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围；
（2）在给定的平面直角坐标系中画出y1，y2的图象，并写出函数y1的一条性质；
（3）结合函数图象，请直接写出当y1≥y2时，x的取值范围．（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2）．
17．（2025 开封二模）如图，△ABC的顶点为网格线的交点，反比例函数的图象过格点A，B．将△ABC先向左平移5个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到点C的对应点C′．
（1）求过点C′的反比例函数解析式，并画出其图象（x＜0）．
（2）在过点C′的反比例函数图象上任取一点D，过点D向y轴作垂线，交的图象于点E，连接DO，EO，△ODE的面积会发生变化吗？若不变化，求出△ODE的面积；若变化，请说明理由．
18．（2025 重庆模拟）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，连接BD，动点P从点A出发沿折线A﹣B﹣D方向运动，同时动点Q沿射线CB方向运动，动点P，Q的运动速度均为每秒1个单位长度，当点P到达点D时，P，Q两点时同时停止运动，连接DP，DQ．设运动的时间为x秒（0＜x＜8），记△ADP的面积为y1，△BCD的面积与△DCQ的面积之比为y2．
（1）请直接写出y1，y2分别关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围；
（2）在给定的平面直角坐标系中画出函数y1，y2的图象，并写出y1的一条性质；
（3）结合函数图象，请直接写出y1＜y2时x的取值范围（结果保留小数点后一位，误差不超过0.2）．
19．（2025 海淀区一模）科学兴趣小组利用不同材料制作了A，B两种太阳能电池板，记录了在一定条件下，当光照强度为x（单位：klx）时，A电池板的输出电压y1（单位：V）和B电池板的输出电压y2（单位：V）．部分数据如下：
x/klx 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
y1/V 0 0.6 1.2 1.8 m 3.0 3.6 4.2 4.8 5.4 6.0
y2/V 0 2.4 3.8 4.6 5.0 5.3 5.5 5.7 5.8 5.6 6.0
通过分析数据发现，可以用函数刻画y1与x，y2与x之间的关系，回答下列问题：
（1）①y1可以看作是关于x的正比例函数，则m的值为　 　 ；
②当光照强度越大时，太阳能电池板的输出电压越高．请选出y2中不符合这条规律的数据，在表格中划“×”；
（2）结合（1）的研究结果，在给出的平面直角坐标系中画出y1，y2两个函数的图象；
（3）根据以上数据与函数图象，解决下列问题：
①当光照强度为55klx时，B电池板的输出电压与A电池板的输出电压之差约为　 　 V（结果保留小数点后一位）；
②如果想使两块电池板的输出电压之和不低于6.5V，则光照强度应至少达到　 　 klx（结果保留整数）．
20．（2025 昌邑区校级三模）如图①，这是一个可改变体积的密闭容器的简易图，在该容器内装有一定质量的氧气，当改变容器的体积时，气体的密度也会随之改变，随着容器体积的改变，该密闭容器内氧气的密度ρ（单位：kg/m3）随容器体积V（单位：m3）变化的关系图象如图②所示，结合如表信息窗中的内容，解答下列问题．
信息窗 ①（m表示物体的质量）． ②标准大气压下，氧气的密度约为1.43kg/m3．
（1）该容器内氧气的质量为　 　 kg．
（2）求容器内氧气的密度ρ关于体积V的函数解析式．
（3）若该容器的体积V为25m3，求氧气的密度ρ．
2026年中考数学二轮复习之函数基础知识
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．（2026 黄石一模）如图①，在菱形ABCD中，∠B＝45°，动点P从点A出发，以每秒1个单位的速度沿线段AB运动到点B停止，同时动点Q从点B出发，以每秒2个单位的速度沿折线B﹣C﹣D运动到点D停止．图②是点P，Q运动时△BPQ的面积S与运动时间t的函数关系的图象，则m的值为（　　）
A．2 B． C． D．
动点问题的函数图象．
一次函数及其应用；运算能力；推理能力．
【答案】C
根据题意可得AB＝BC＝CD＝6，分当点Q在BC上时，即0≤t＜3时和当点Q在CD上时，即3≤t≤6时，分别表示出S△BPQ，分析可知当点Q到达点C时，S＝m，此时t＝3，代入进行计算即可得到答案．
【解答】解：由题图2得，t＝6时，点P停止运动，
∴点P以每秒1个单位速度从点A运动到点B用了6秒，
∴AB＝BC＝CD＝6，
由点P和点Q的运动可知，AP＝t，BP＝6﹣t，
当点Q在CD上时，即3≤t≤6时，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB∥CD，
∴，
过点P作PM⊥BC交BC于M，，
当点Q在BC上时，即0≤t＜3时，BQ＝2t，
过点P作PM⊥BC交BC于M，
∵∠B＝45°，
∴，
∴，
由上可知，当点Q到达点C时，S＝m，
即当t＝3时，，
故选：C．
本题考查了动点函数的图象，菱形的性质，解直角三角形，解决本题的关键是由点的运动结合图2得出AB、BC的长．
2．（2026 哈尔滨模拟）如图1，在△ABC中，点P从点A出发向点C运动，在运动过程中，设x表示线段AP的长，y表示线段BP的长，y与x之间的关系如图2所示，下列结论不正确的是（　　）
A．AC＝4 B．BC＝2
C．tan∠BAP D．AB2+BC2＝AC2
动点问题的函数图象．
函数及其图象；运算能力；应用意识．
【答案】C
分析当点P在点A处、点P到达AC边高（BH）的位置、AP到达点C处，P点的位置对应2个图中的位置关系，即可求解．
【解答】解：如图所示，
①当点P在点A处时，即当AP＝0时，AB＝2，
②当点P到达AC边高（BH）的位置时，AH＝1，此时BP最小，即BH，
③当AP＝4时，点P对应图2末端x＝4时，即AC＝4，则HC＝AC﹣AH＝4﹣1＝3，
则：BC，
∴，
∴AB2+BC2＝AC2，
∴．
综上所述，选项A、B、D不合题意，选项C符合题意．
故选：C．
本题考查的是动点的函数图象，此类题目的核心是在图形和图象上，找到动点位置在两个图上的对应位置关系，这类题目有一定的难度．
3．（2026 浙江一模）如图1，在Rt△ABC中，D是边AB的中点．点E在斜边AC上，从点A出发，运动到点C时停止．设AE为x，DE2为y．如图2，y关于x的函数图象与y轴交于点P（0，100），且经过N（n﹣9，100）和最高点M（n，m）两点．下列选项正确的是（　　）
A．∠A＝30° B．m＝325
C．n＝24 D．y的最小值为64
动点问题的函数图象．
二次函数图象及其性质；运算能力；推理能力．
【答案】B
结合图象可求出AB的长，过点D作DF⊥AC交AC于点F，由图2知，点M（n，m）为最高点，当点E和点C重合时，DE最大，根据三角函数和勾股定理可求出n和m，进而判断选项B和选项C；用cosA的值可判断选项A；当DE⊥AC，即点E和点F重合时，DE有最小值，进而判断选项D．
【解答】解：由图2可知，当x＝0时，y＝100，即AD2＝100，
∴AD＝10，
∵D是边AB的中点，
∴AB＝20；
∵N（n﹣9，100），
即DE2＝100，DE＝10，x＝n﹣9，
此时AD＝10＝DE，AE＝n﹣9，
如图，过点D作DF⊥AC交AC于点F，则有△ADE为等腰三角形，
∴，，
由图2知，点M（n，m）为最高点，
∵当点E和点C重合时，DE最大，
∴AC＝n，DC2＝m，
∴，
∴，
整理得n2﹣9n﹣400＝0，
解得n＝25或﹣16（负值舍去），故选项C错误；
∴AC＝25，，
∴DC2＝DB2+BC2＝102+152＝325＝m，，故选项B正确；
∴∠A≠30°，故选项A错误；
由上图可知，当DE⊥AC，即点E和点F重合时，DE有最小值，即y＝DE2最小，
此时，
∴DF2＝AD2﹣AF2＝102﹣82＝36，
∴y的最小值为36，故选项D错误．
故选：B．
本题考查了动点问题、勾股定理、二次函数、解直角三角形，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
4．（2025 武汉）如图1，在△ABC中，D是边AC上的定点．点P从点A出发，依次沿AB，BC两边匀速运动，运动到点C时停止．设点P运动的路程为x，DP的长为y，y关于x的函数图象如图2所示，其中M，N分别是两段曲线的最低点．点N的纵坐标是（　　）
A． B． C． D．
动点问题的函数图象．
几何动点问题；运算能力．
【答案】B
由图2可知AD、CD、BD的长度及点D到AB的距离，点N的纵坐标表示点D到BC的距离，再根据勾股定理及其逆定理、三角形面积公式求出点D到BC的距离即可．
【解答】解：根据图2，AD＝20，CD＝8，BD＝15，点D到AB的距离DE＝12，点N的纵坐标表示点D到BC的距离DF．如图：
在Rt△ADE中利用勾股定理，得AE16，
在Rt△BDE中利用勾股定理，得BE9，
则AB＝AE+BE＝16+9＝25，
∵AD2+BD2＝202+152＝625，AB2＝252＝625，
∴AD2+BD2＝AB2，
∴∠ADB＝90°，
∴∠BDC＝180°﹣∠ADB＝90°，
在Rt△BCD中利用勾股定理，得BC17，
则BD CDBC DF，
解得DF，
∴点N的纵坐标是．
故选：B．
本题考查动点问题的函数图象，根据图2得到AD、CD、BD的长度及点D到AB的距离，点N的纵坐标表示点D到BC的距离，掌握勾股定理及其逆定理、三角形面积计算公式是解题的关键．
5．（2025 鲁山县三模）为了探究浮力的大小与哪些因素有关，物理实验小组进行了测浮力的实验．如图甲，先将一个长方体铁块放在玻璃烧杯上方，再向下缓缓移动，移动过程中记录弹簧测力计的示数F拉力（单位：N）与铁块下降的高度x（单位：cm）之间的关系如图乙所示．下列说法不正确的是（　　）
A．铁块的高度为4cm
B．铁块入水之前，烧杯内水的高度为10cm
C．当铁块下降的高度为8cm时，该铁块所受到的浮力为3.25N
D．当弹簧测力计的示数为3N时，此时铁块距离烧杯底
动点问题的函数图象．
函数及其图象．
【答案】C
用到的知识点为：浮力＝重力﹣拉力．图2中点（0，4）表示铁块未移动时，拉力为4N，那么铁块的重力为4N，此时铁块下表面与烧杯上端平齐；因为水平面保持不变．那么AB段铁块移动的距离即为铁块的高度，为10﹣6＝4cm，可判断A正确，不符合题意；（6，4）表示铁块向下移动6cm时，拉力为4N，此时铁块下表面与水面平齐；铁块继续向下移动，水向外流出，水平面保持不变．（10，2.5）表示铁块上表面刚好浸入水中，拉力为2.5N．烧杯高度为16cm，铁块从烧杯口到下表面接触水时移动了6cm，所以烧杯内水的高度为10cm，可判断B正确，不符合题意；当铁块下降高度为8cm时，由于出水口的存在，由图2可知，铁块的一半刚好浸入水中，拉力的大小为，那么所受到的浮力＝重力﹣拉力为4﹣3.25＝0.75N，故C错误，符合题意；设F＝kx+b，代入（6，4），（10，2.5），得，将F＝3代入，得，，故D正确，不符合题意．
【解答】解：∵烧杯有出水口，
∴水平面在铁块下移过程中保持不变．
∴铁块的高度为AB段铁块移动的距离为10﹣6＝4cm，故A正确，不符合题意；
∵烧杯高度为16cm，铁块从烧杯口到下表面接触水时移动了6cm，
∴烧杯内水的高度为10cm，故B正确，不符合题意；
∵当铁块下降高度为8cm时，铁块的一半刚好浸入水中，
∴拉力的大小为，
∵铁块的重力为4N，
∴铁块所受到的浮力为4﹣3.25＝0.75N，故C错误，符合题意．
设F＝kx+b，代入（6，4），（10，2.5），得，将F＝3代入，得，，故D正确，不符合题意，
故选：C．
本题考查函数图象．关键是得到图象中关键点表示的意义．
6．（2025 宁夏模拟）如图1，在矩形ABCD中，BC＝4，E是BC边上的一个动点，AE⊥EF，EF交CD于点F，设BE＝x，CF＝y，图2是点E从点B运动到点C的过程中，y关于x的函数图象，则AB的长为（　　）
A．5 B．6 C．7 D．8
动点问题的函数图象．
函数及其图象；几何直观；推理能力．
【答案】A
首先推导出△AEB∽△EFC，利用三角形相似求出y关于x的函数关系式y，根据函数关系式进行分析求解．
【解答】解：∵BC＝4，BE＝x，
∴CE＝BC﹣BE＝4﹣x．
∵AE⊥EF，
∴∠AEB+∠CEF＝90°．
∵∠CEF+∠CFE＝90°，
∴∠AEB＝∠EFC．
∵∠B＝∠C＝90°，
∴△AEB∽△EFC，
∴，
设AB＝m，则，
整理得y，
由图象可知，点E从点B运动到点C的过程中，y关于x的函数图象为抛物线，且顶点坐标为（2，），
∴设抛物线的解析式为y＝a（x﹣2）2，
∵抛物线过点（4，0），
∴4a0，
解得a，
∴y，
∴m＝5，
∴AB＝5；
解法二：∵BC＝4，BE＝x，
∴CE＝BC﹣BE＝4﹣x．
∵AE⊥EF，
∴∠AEB+∠CEF＝90°．
∵∠CEF+∠CFE＝90°，
∴∠AEB＝∠EFC．
∵∠B＝∠C＝90°，
∴△AEB∽△EFC，
∴，
把x＝2，y＝0.8代入得：
，
解得：AB＝5；
故选：A．
本题考查了动点问题的函数图象问题，根据题意求出函数关系式是解题关键．
7．（2025 东营）如图，在同一平面内放置的Rt△EFG和矩形ABCD，EG与AB重合，FG＝3cm，AB＝4cm，BC＝5cm，Rt△EFG以1cm/s的速度沿BC方向匀速运动，当点F与点C重合时停止，在运动过程中，Rt△EFG与矩形ABCD重叠部分的面积S（cm2）与运动时间t（s）之间的函数关系图象大致是（　　）
A． B．
C． D．
动点问题的函数图象．
函数及其图象；推理能力．
【答案】B
观察四个选项，可以看出四个函数图象在0≤t≤3范围内对应的函数图象各不相同，所以只需得到当0≤t≤3时，S与t之间的函数关系式，即可作出判断．
【解答】解：当0≤t≤3时，如图1所示，
此时，
当3＜t≤5时，如图2所示，
此时．
当5＜t≤8时，如图3所示，
此时．
故选：B．
本题考查动点函数图象问题，掌握动点函数图象是解题的关键．
8．（2025 肥城市三模）兴趣小组同学借助数学软件探究函数的图象，输入了一组a，b的值，得到了它的函数图象，如图，借助学习函数的经验，可以推断输入的a，b的值应满足（　　）
A．a＜0，b＞0 B．a＞0，b＜0 C．a＞0，b＞0 D．a＜0，b＜0
函数的图象．
函数及其图象；几何直观；应用意识．
【答案】D
由两支曲线的分界线在y轴左侧可以判断a的正负，由x＞0时的函数图象判断b的正负．
【解答】解：∵y，
∴x的取值范围是x≠﹣a，
由图可知，两支曲线的分界线位于y轴的右侧，
∴﹣a＞0，
∴a＜0，
由图可知，当x＞0时的函数图象位于x轴的下方，
∴当x＞0时，y＜0，
又∵当x＞0时，（x+a）2＞0，
∴b＜0，
故选：D．
本题考查了函数的图象与系数之间的关系，能够从函数的图象中获取信息是解题的关键．
9．（2025 哈尔滨）如图，在 ABCD中，∠A＝30°，AB＝6，AD＝3．点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿折线AD→DC运动，同时点Q从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿AB向点B运动，其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设△BPQ的面积为y，运动时间为x秒，则下列图象中大致反映y与x之间函数关系的是（　　）
A． B．
C． D．
动点问题的函数图象．
函数及其图象；运算能力；应用意识．
【答案】A
依据题意，根据动点的运动规律分两种情形分析判断列出函数关系式，从而可以判断得解．
【解答】解：由题意，∵AB＝6，AD＝3，
∴Q从A到B需要3秒，P从A到D需要1秒，从D到C需要2秒．
①当0＜x＜≤1时，如图，过P作PH⊥AB于H，
∴AP＝3x，AQ＝2x．
∴BQ＝AB﹣AQ＝6﹣2x．
又∵∠A＝30°，
∴PHAPx．
∴S△BPQBQ PHx（6﹣2x）x2x，即yx2x．
②当1＜x＜3时，如图，如图，过P作PG⊥AB于G，DH⊥AB，
∵AB∥CD，
∴DH＝PG．
∵∠A＝30°，AD＝3，
∴PG＝DH．
∴S△BPQBQ PG（6﹣2x）x，即yx．
故选：A．
本题主要考查了动点问题的函数图象，解题时要熟练掌握并能根据题意列出关系式是关键．
10．（2025 盐田区二模）为了准备参加深圳市马拉松比赛，茗茗和清清约定每周六同时从A地到相距6000米的B地匀速往返跑（中途不休息），茗茗的速度大于清清的速度．图中的折线表示从开始到第二次相遇截止时，两人的距离y（米）与跑步时间x（分）之间的关系的图象，下列结论错误的是（　　）
A．a＝1200 B．b＝1500 C．c＝45 D．
函数的图象．
函数及其图象；数据分析观念．
【答案】C
分析各个转折点所表示的实际意义即可得解．
【解答】解：如图所示，
先分析图象，A点之前两人距离一直变大，A点之后两人距离变小，
则说明A点表示茗茗达到B地的时间为40分钟，此时两人的距离为a米，
∴茗茗的速度为：150米/分；
C点表示在茗茗返回过程中，两人相遇时的时间；
很明显CB段比BE段更陡，则可说明CB段是相遇之后茗茗从往A地返回，清清继续往B地去，
∴B点表示清清达到B地的时间为50分钟，此时两人相距b米，
∴清清的速度为120米/分；
E点则表示茗茗返回A时间，D点第二次相遇时的时间，
∴a＝（150﹣120）×40＝1200，
故A选项正确；
当清清到达B地时，茗茗距离B地：（50﹣40）×150＝1500米，
即b＝1500，
故B选项正确；
两人第一次相遇时：150（x﹣40）+120x＝6000，
解得x，即c，
故C选项错误；
∴d＝2c，
故D选项正确；
故选：C．
本题主要考查了函数图象分析等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键．
二．填空题（共5小题）
11．（2025 冠县一模）在马拉松、公路自行车等耐力运动的训练或比赛中，为合理分配体能，运动员通常会记录每行进1km所用的时间，即“配速”（单位：min/km）．小华参加5km的骑行比赛，他骑行的“配速”如图所示，则下列说法中正确的是　①②③　 ．
①第1km所用的时间最长；
②第5km的平均速度最大；
③第2km和第3km的平均速度相同；
④前2km的平均速度大于最后2km的平均速度．
函数的图象．
函数及其图象；应用意识．
【答案】①②③．
根据“速度＝路程÷时间”解答即可．
【解答】解：由图象可知，
第1km所用的时间最长，约4.5分钟，故①说法正确；
第5km所用的时间最长最小，即平均速度最大，故②说法正确；
第2km和第3km的平均速度相同，故③说法正确；
前2km的平均速度小于最后2km的平均速度，故④说法错误．
故答案为：①②③．
本题考查函数的图象，掌握时间、速度、路程之间的数量关系是解题的关键．
12．（2025 淮北校级三模）在一个密闭的容器内装有一定质量的某种气体，当它的容积V改变时，气体的密度ρ也随之改变，ρ与V在一定范围内满足关系式（m是常数，且m≠0），它的图象如图所示，当ρ为3.6kg/m3时，V的值为　2　 ．
函数的图象．
函数及其图象；运算能力；推理能力．
【答案】2．
先利用待定系数法求出，再求出当ρ＝3.6时，V的值即可得到答案．
【解答】解：把（4，1.8）代入中得m＝ρV＝4×1.8＝7.2，
∴，
在中，当ρ＝3.6时，
，
解得V＝2，
∴当ρ为3.6kg/m3时，V的值为2．
故答案为：2．
本题主要考查了反比例函数的实际应用，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．
13．（2025 湖南）甲、乙两人在一次100米赛跑比赛中，路程s（米）与时间t（秒）的函数关系如图所示，填 　甲　 （“甲”或“乙”先到终点）．
函数的图象．
函数及其图象；几何直观．
【答案】甲．
这次赛跑中先到达终点的是用时较少的，据此可得答案．
【解答】解：由图象可知，甲用了12秒，乙用了14秒，所以甲先到终点．
故答案为：甲．
本题主要考查了图象的读图分析能力，要能根据图象的性质和图象上的数据并结合实际意义得到正确的结论．
14．（2025 深圳二模）某科创实验小组根据小孔成像的科学原理设置了如图1所示的小孔成像实验．当像距（小孔到像的距离）和物高（蜡烛火焰高度）不变时，绘制了火焰的像高y（单位：cm）与物距（小孔到蜡烛的距离）x（单位：cm）的函数图象（如图2所示），为便于观察，在实验中要求火焰的像高不得低于4cm，求小孔到蜡烛的距离至多是 　6　 厘米．
函数的图象．
函数及其图象；应用意识．
【答案】6．
根据函数图象即可得出结论．
【解答】解：由函数图象可知，火焰的像高y（单位：cm）随物距（小孔到蜡烛的距离）x（单位：cm）的增大而减小，
由函数图象可得：当y≥4时x≤6，
∴小孔到蜡烛的距离至多是6厘米，
故答案为：6．
本题考查的是函数的图象，从图象上得出相关信息是解题关键．
15．（2025 龙凤区校级一模）如图1，点P从等边三角形ABC的顶点A出发，沿直线运动到三角形内部一点，再从该点沿直线运动到顶点B．设点P运动的路程为x，，图2是点P运动时y随x变化的关系图象，则等边三角形ABC的边长为　6　 ．
动点问题的函数图象．
函数及其图象；运算能力．
【答案】6．
依据题意，令点P从顶点A出发，沿直线运动到三角形内部一点O，再从点O沿直线运动到顶点B，结合图象可知，当点P在AO上运动时，PB＝PC，，易知∠BAO＝∠CAO＝30°，当点P在OB上运动时，可知点P到达点B时的路程为，可知，过点O作OD⊥AB，解直角三角形可得AD＝AO cos30°，进而得出等边三角形ABC的边长．
【解答】解：如图，令点P从顶点A出发，沿直线运动到三角形内部一点O，再从点O沿直线运动到顶点B，
结合图象可知，当点P在AO上运动时，，
∴PB＝PC，，
又∵△ABC为等边三角形，
∴∠BAC＝60°，AB＝AC，
∴△APB≌△APC（SSS），
∴∠BAO＝∠CAO＝30°．
当点P在OB上运动时，可知点P到达点B时的路程为，
∴，即，
∴∠BAO＝∠ABO＝30°．
过点O作OD⊥AB，垂足为D，
∴AD＝BD，
∴AD＝AO cos30°＝3．
∴AB＝AD+BD＝6，即等边三角形ABC的边长为6．
故答案为：6．
本题考查了动点问题的函数图象，解决本题的关键是综合利用两个图形给出的条件．
三．解答题（共5小题）
16．（2026 大渡口区模拟）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，点P从点C出发，以每秒1个单位长度的速度沿着C→A→B匀速运动，点P的运动时间为x秒，△PBC的面积为y1，BC与点P的运动路程的比为y2．
（1）请直接写出y1，y2分别关于x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围；
（2）在给定的平面直角坐标系中画出y1，y2的图象，并写出函数y1的一条性质；
（3）结合函数图象，请直接写出当y1≥y2时，x的取值范围．（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2）．
动点问题的函数图象；反比例函数与一次函数的交点问题；勾股定理．
一次函数及其应用；二次函数图象及其性质；等腰三角形与直角三角形；运算能力；推理能力．
【答案】（1），；
（2）函数图象如图所示：
，
性质：当x＝3时，y1有最大值（答案不唯一）；
（3）1.4≤x≤7.6．
（1）先求出AB＝5，S△ABC＝6，由题意得点P的运动路程为x，得到BC与点P的运动路程的比为；再根据当P在AC或AB上时分情况讨论求出y1＝S△PBC即可；
（2）根据描点法画函数图象，再根据函数图象写出函数y1的一条性质即可；
（3）根据函数图象可得，当y1＝y2时，x1≈1.4，x2≈7.6，结合函数图象，当y1≥y2时，x的取值范围为1.4≤x≤7.6．
【解答】解：（1）∵BC＝4，∠ACB＝90°，AC＝3，
∴，，
由题意得点P的运动路程为x，
∴BC与点P的运动路程的比为；
当P在AB上时，3＜x≤8，此时BP＝8﹣x，
当P在AC上时，0≤x≤3，此时PC＝x，，
∴由等高可以得，
∴，
综上所述，，；
（2）函数图象如图所示：
由函数图象可得，当x＝3时，y1有最大值；
（3）根据函数图象可得，当y1＝y2时，x1≈1.4，x2≈7.6，
∴结合函数图象，当y1≥y2时，x的取值范围为1.4≤x≤7.6．
本题考查动点问题的函数图象，勾股定理，一次函数与反比例函数交点问题，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．
17．（2025 开封二模）如图，△ABC的顶点为网格线的交点，反比例函数的图象过格点A，B．将△ABC先向左平移5个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到点C的对应点C′．
（1）求过点C′的反比例函数解析式，并画出其图象（x＜0）．
（2）在过点C′的反比例函数图象上任取一点D，过点D向y轴作垂线，交的图象于点E，连接DO，EO，△ODE的面积会发生变化吗？若不变化，求出△ODE的面积；若变化，请说明理由．
动点问题的函数图象；待定系数法求反比例函数解析式；三角形的面积；坐标与图形变化﹣平移．
反比例函数及其应用；几何直观；推理能力．
【答案】（1）过点C′的反比例函数解析式为，图象见解析；
（2）△ODE的面积不会发生变化，△ODE的面积为3．
（1）根据点坐标平移的特征确定C′（﹣1，3），即可确定过点C′的反比例函数解析式，继而画出相应图象；
（2）根据反比例函数系数的几何意义可得S△ODF，S△OEF，即可得出答案．
【解答】解：（1）如图1，C（4，4），
∵将△ABC先向左平移5个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到点C的对应点C′，
∴C′（﹣1，3），
设点C′的反比例函数解析式为，
∴，
∴k＝﹣3，
∴过点C′的反比例函数解析式为，其图象（x＜0）；
（2）△ODE的面积不会发生变化；理由如下：
如图2，设DE交y轴于点F，
∵DE⊥y轴，过点C′的反比例函数解析式为，反比例函数的图象过格点A，B，
∴S△ODF，S△OEF，
∴S△ODE＝S△ODF+S△OEF3，
∴△ODE的面积不会发生变化，△ODE的面积为3．
本题考查动点问题的函数图象，待定系数法求反比例函数解析式，三角形的面积，坐标与图形变化﹣平移，解题的关键是掌握：过反比例函数图象上任意一点作x轴、y轴的垂线，所得的矩形的面积为|k|．
18．（2025 重庆模拟）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，连接BD，动点P从点A出发沿折线A﹣B﹣D方向运动，同时动点Q沿射线CB方向运动，动点P，Q的运动速度均为每秒1个单位长度，当点P到达点D时，P，Q两点时同时停止运动，连接DP，DQ．设运动的时间为x秒（0＜x＜8），记△ADP的面积为y1，△BCD的面积与△DCQ的面积之比为y2．
（1）请直接写出y1，y2分别关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围；
（2）在给定的平面直角坐标系中画出函数y1，y2的图象，并写出y1的一条性质；
（3）结合函数图象，请直接写出y1＜y2时x的取值范围（结果保留小数点后一位，误差不超过0.2）．
动点问题的函数图象．
函数及其图象；推理能力．
【答案】（1）； ；
（2）图见解析，当0＜x＜3时，y1随着x的增大而增大；
（3）0＜x＜1.6或7.4＜x＜8．
（1）分0＜x≤3，3＜x＜8，根据三角形的面积公式求出y1关于x的函数表达式，根据同高三角形的面积比等于底边比，求出y2关于x的函数表达式，即可；
（2）列表，描点，连线画出函数图象，根据图象写出y1的一条性质即可；
（3）图象法求出自变量的取值范围即可．
【解答】解：（1）过点P作PE⊥AD于点E，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC＝4，∠BAD＝90°，
∴，
∴当0＜x≤3时，AP＝x，
∴，
当3＜x＜8时，DP＝3+5﹣x＝8﹣x，
作PE⊥AD，则，
∴（8﹣x）；
∵CQ＝x，
∴；
综上：； ；
（2）列表如下：
x 1 2 3 5 8
y1 2 1 6 0
y2 5 2.5 1
描点，连线如下：
由图可知，当0＜x＜3时，y1随着x的增大而增大；
（3）由图象可知：y1＜y2时x的取值范围为0＜x＜1.6或7.4＜x＜8．
本题考查动点的函数图象，解直角三角形，正确的求出函数解析式是解题的关键．
19．（2025 海淀区一模）科学兴趣小组利用不同材料制作了A，B两种太阳能电池板，记录了在一定条件下，当光照强度为x（单位：klx）时，A电池板的输出电压y1（单位：V）和B电池板的输出电压y2（单位：V）．部分数据如下：
x/klx 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
y1/V 0 0.6 1.2 1.8 m 3.0 3.6 4.2 4.8 5.4 6.0
y2/V 0 2.4 3.8 4.6 5.0 5.3 5.5 5.7 5.8 5.6 6.0
通过分析数据发现，可以用函数刻画y1与x，y2与x之间的关系，回答下列问题：
（1）①y1可以看作是关于x的正比例函数，则m的值为　2.4　 ；
②当光照强度越大时，太阳能电池板的输出电压越高．请选出y2中不符合这条规律的数据，在表格中划“×”；
（2）结合（1）的研究结果，在给出的平面直角坐标系中画出y1，y2两个函数的图象；
（3）根据以上数据与函数图象，解决下列问题：
①当光照强度为55klx时，B电池板的输出电压与A电池板的输出电压之差约为　2.1　 V（结果保留小数点后一位）；
②如果想使两块电池板的输出电压之和不低于6.5V，则光照强度应至少达到　31　 klx（结果保留整数）．
函数的图象；一次函数的图象．
反比例函数及其应用；推理能力．
【答案】见试题解答内容
（1）①设y1＝k1x（k1≠0），利用待定系数法求出y1＝0.06x，再将x＝40代入计算即可得；
②根据当光照强度越大时，太阳能电池板的输出电压越高即可得；
（2）根据表格数据，描点画出函数图象即可得；
（3）①根据表格和函数图象求出当x＝55时，y1，y2的值，由此即可得；
②根据表格和函数图象求出当x＝31时，y1，y2的值，再根据y1，y2都是随x的增大而增大即可得．
【解答】解：（1）①由题意，设y1＝k1x（k1≠0），
将点（10，0.6）代入得：10k1＝0.6，
解得k1＝0.06，
则y1＝0.06x，
当x＝40时，m＝0.06×40＝2.4，
故答案为：2.4．
②当光照强度越大时，太阳能电池板的输出电压越高．选出y2中不符合这条规律的数据，在表格中划“×”如下：
x/klx 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
y1/V 0 0.6 1.2 1.8 m 3.0 3.6 4.2 4.8 5.4 6.0
y2/V 0 2.4 3.8 4.6 5.0 5.3 5.5 5.7 5.8 5.6 6.0
×
（2）在给出的平面直角坐标系中画出y1，y2两个函数的图象如下：
（3）①当x＝55时，y1＝0.06×55＝3.3，
由表格和函数图象可知，当x＝55时，，
则y2﹣y1≈2.1，
即当光照强度为55klx时，B电池板的输出电压与A电池板的输出电压之差约为2.1V，
故答案为：2.1；
②由表格数据可知，当x＝30时，y1+y2＝1.8+4.6＝6.4，
当x＝31时，y1＝0.06×31＝1.86，，
∴当x＝31时，y1+y2≈6.5，
∵y1，y2都是随x的增大而增大，
∴如果想使两块电池板的输出电压之和不低于6.5V，则光照强度应至少达到31klx，
故答案为：31．
本题考查了函数图象和正比例函数的应用，熟练掌握函数图象是解题关键．
20．（2025 昌邑区校级三模）如图①，这是一个可改变体积的密闭容器的简易图，在该容器内装有一定质量的氧气，当改变容器的体积时，气体的密度也会随之改变，随着容器体积的改变，该密闭容器内氧气的密度ρ（单位：kg/m3）随容器体积V（单位：m3）变化的关系图象如图②所示，结合如表信息窗中的内容，解答下列问题．
信息窗 ①（m表示物体的质量）． ②标准大气压下，氧气的密度约为1.43kg/m3．
（1）该容器内氧气的质量为　8　 kg．
（2）求容器内氧气的密度ρ关于体积V的函数解析式．
（3）若该容器的体积V为25m3，求氧气的密度ρ．
函数的图象；函数关系式．
函数及其图象；运算能力．
【答案】（1）8；
（2）；
（3）氧气的密度ρ为0.32kg/m3．
（1）根据代入ρ，V，可求m；
（2）运用待定系数法求解即可；
（3）把V＝25m3代入（2）中解析式可求结果．
【解答】解：（1）根据代入ρ，V可得：m＝2×4＝8（kg），
故答案为：8；
（2）根据题意，设所求的函数解析式为，
由图可知，该函数过点（4，2），
∴k＝xy＝4×2＝8．
∴所求函数的解析式为．
（3）由条件可知．
答：氧气的密度ρ为0.32kg/m3．
本题考查了反比例函数的应用，正确进行计算是解题关键．

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