资源简介

2026年中考数学二轮复面直角坐标系
一．选择题（共10小题）
1．（2025 大连模拟）如图，在平面直角坐标系xOy中，长方形OABC的顶点A，C的坐标分别是（4，﹣2），（1，2），点B在x轴上，则点B的横坐标是（　　）
A．4 B． C． D．5
2．（2025 湖北模拟）如图，已知点A（﹣3，1），B（﹣3，﹣5），点C（x，y）在线段AB上运动，当OC＞OA时，y的取值范围为（　　）
A．﹣5≤y＜﹣1 B．y＜1 C．﹣1＜y＜1 D．﹣5＜y≤﹣1
3．（2025 海南）在如图所示的正方形网格中，若建立平面直角坐标系，使“少”“年”的坐标分别为（﹣1，0）、（1，1），则“强”的坐标为（　　）
A．（3，3） B．（2，3） C．（4，3） D．（4，5）
4．（2025 中山市校级二模）在平面直角坐标系中，过点A（2，﹣4）和点B（﹣4，﹣4）作直线，则直线AB（　　）
A．平行于x轴 B．平行于y轴 C．与x轴相交 D．经过原点
5．（2025 中山市校级模拟）在平面直角坐标系中，点（﹣1，m2+3）一定在（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
6．（2025 定西模拟）小青坐在教室的第4列第3行，用（4，3）表示，小明坐在教室的第3列第1行应表示为（　　）
A．（1，3） B．（3，1） C．（1，1） D．（3，3）
7．（2025 山东模拟）如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中“→”方向排列，如（0，1），（﹣1，2），（0，2），（1，2），（2，3），（1，3），（0，3），…，根据这个规律探索可得第2024个点的坐标是（　　）
A．（43，45） B．（44，45） C．（﹣43，45） D．（﹣42，45）
8．（2025 内江）对于正整数x，规定函数．在平面直角坐标系中，将点（m，n）中的m，n分别按照上述规定，同步进行运算得到新的点的横、纵坐标（其中m，n均为正整数）．例如，点（8，5）经过第1次运算得到点（4，16），经过第2次运算得到点（2，8），经过第3次运算得到点（1，4），经过有限次运算后，必进入循环圈．按上述规定，将点（2，1）经过第2025次运算后得到点是（　　）
A．（2，1） B．（4，2） C．（1，2） D．（1，4）
9．（2025 织金县模拟）如图是一片枫叶标本，其形状呈“掌状五裂型”，裂片具有少数突出的齿．将其放在平面直角坐标系中，叶片“顶部”A，B两点的坐标分别为（0，3），（﹣1，1），则叶杆“底部”点C的坐标为（　　）
A．（﹣2，4） B．（4，﹣2） C．（3，0） D．（﹣1，3）
10．（2025 湖北模拟）俄罗斯方块是一款经典休闲益智游戏，如图是小宇玩俄罗斯方块时某一时刻的截图，若在以O为原点建立的平面直角坐标系中，小宇将上方的方块先向左移动2个格子，再向下移动6个格子后，点A恰好落在点B（3，1）处，则上方的方块移动前点A所在位置的坐标为（　　）
A．（4，7） B．（5，6） C．（5，7） D．（7，5）
二．填空题（共5小题）
11．（2025 娄底三模）如图，在平面直角坐标系中，已知点A1（0，1），A2（2，0），过点A2作A2A3⊥A1A2交y轴于点A3；过点A3作A3A4⊥A2A3交x轴于点A4；过点A4作A4A5⊥A3A4交y轴于点A5；…按此规律进行下去，则点A9的坐标为 　 　 ．
12．（2025 东昌府区二模）在平面直角坐标系中，点M（x，y）经过某种变换后得到点M′（y+3，﹣x﹣1）．已知点M1经过此变换得到点M2，点M2经过此变换得到点M3，点M3经过此变换得到点M4，这样依次得到点M5，M6， ，Mn．若点M1的坐标为（2，1），则点M2025的坐标为　 　 ．
13．（2025 日照一模）平面直角坐标系中，我们把横，纵坐标都是整数，且横，纵坐标之和大于0的点称为“和点”．将某“和点”平移，每次平移的方向取决于该点横、纵坐标之和除以3所得的余数（当余数为0时，向右平移；当余数为1时，向上平移；当余数为2时，向左平移），每次平移1个单位长度．
例：“和点”P（2，1）按上述规则连续平移3次后，到达点P3（2，2），其平移过程如下：
若“和点”Q按上述规则连续平移16次后，到达点Q16（﹣1，9），则点Q的坐标为　 　 ．
14．（2025 桓台县二模）已知一次函数的图象与y轴相交于点A1，以OA1为边作等边△OA1B1，点B1在第一象限内，过点B1作y轴的平行线与该一次函数的图象交于点A2，与x轴交于点C1，以C1A2为边作等边△C1A2B2（点B2在点B1的右边），以同样的方式依次作等边△C2A3B3，等边△C3A4B4， ，则点A2025的纵坐标为 　 　 ．
15．（2025 驿城区校级模拟）如图，已知点A的坐标为（﹣2，0），点B的坐标为（﹣1，0），以点O为圆心，OB为半径构造圆，点M为圆周上一点，在x轴上方取点N，使得△MAN是以∠MAN为直角的等腰直角三角形，若点M从点B出发，按照顺时针方向以每秒个单位长度的速度运动，则第2026秒时，点N的坐标是　 　 ．
三．解答题（共5小题）
16．（2025 长安区校级模拟）已知点P（2a﹣3，a+6），解答下列各题：
（1）若点Q的坐标为（3，3），且直线PQ∥y轴，求出点P的坐标；
（2）若点P在第二象限，且它到x轴、y轴的距离相等，求出点P的坐标．
17．（2025 铜陵三模）小明用一些边长为1的小正方形按一定规律摆放得到创意广告墙图案．
（1）观察以上图形，完成下列表格：
图形 图1 图2 图3 图4 …
小正方形的个数 6 12 20 　 　 …
（2）将图n如图放置到平面直角坐标系xOy中，则点An的坐标是 　 　 ；
（3）不难发现点A0，A1，A2，A3，…An在同一直线上，连接A0An，利用面积法求图n需要小正方形的个数．
18．（2025 宿豫区二模）通过学习，同学们发现在正方形网格中（设每个小正方形的边长都为1），构造某些图形可以发现和解决一些数学问题．
【阅读材料】
例如，比较与的大小．
解：在正方形网格中，如图1，构造△ABC（点A、B、C都为小正方形的顶点）．
∵△ABC（构造图形），
∴AB+BC＞AC（三角形任意两边之和大于第三边）
∵（勾股定理），
∴．
【问题解决】
（1）在上面解决问题的过程中，体现了初中数学的一种重要的基本思想是　 　 （填写正确选项的字母代号）；
A．类比思想
B．整体思想
C．分类讨论思想
D．数形结合思想
（2）参考“例子”中的方法，在图2中，构造图形，比较与的大小，并说明理由；
【拓展探究】
（3）问题：当x为　 　 时，的值最小，且最小值为A．
（要求：直接写出结果，并在图3中，画出所构造的图形）
19．（2025 南通模拟）在平面直角坐标系xOy中，对于两个点P，Q和图形W，如果在图形W上存在点M，N（M，N可以重合）使得PM＝QN，那么称点P与点Q是图形W的一对相好点．
（1）如图1，已知点A（1，3），B（4，3）．
①设点O与线段AB上一点的距离为d，则d的最小值为 　 　 ，最大值为 　 　 ．
②在P1（2.5，0），P2（2，4），P3（﹣2，0）这三个点中，与点O是线段AB的一对相好点的是　 　 ．
（2）直线l平行AB所在的直线，且线段AB上任意一点到直线l的距离都是1，若点C（x，y）是直线l上的一动点，且点C与点O是线段AB的一对相好点，求x的取值范围．
20．（2024 奉贤区三模）国际象棋玩过么？国王走一步能够移动到相邻的8个方格中的随意一个，那么国王从格子 （x1，y1） 走到格子 （x2，y2） 的最少步数就是数学的一种距离，叫“切比雪夫距离”．在平面直角坐标系中，对于任意两点P1（x1，y1）与P2（x2，y2） 的“切比雪夫距离”，给出如下定义：若|x1﹣x2|≥|y1﹣y2|，则点P1（x1，y1） 与P2（x2，y2）的“切比雪夫距离”为|x1﹣x2|；若|x1﹣x2|＜|y1﹣y2|，则点P1（x1，y1） 与P2（x2，y2） 的“切比雪夫距离”为|y1﹣y2|；
（1）已知A（0，2），
①若B的坐标为（3，1），则点A与B的“切比雪夫距离”为 　 　 ；
②若C为x轴上的动点，那么点A与 C“切比雪夫距离”的最小值为 　 　 ；
（2）已知，N（1，﹣1），设点M与N的“切比雪夫距离”为d，若a≥0，求d（用含a的式子表示）．
2026年中考数学二轮复面直角坐标系
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．（2025 大连模拟）如图，在平面直角坐标系xOy中，长方形OABC的顶点A，C的坐标分别是（4，﹣2），（1，2），点B在x轴上，则点B的横坐标是（　　）
A．4 B． C． D．5
坐标与图形性质；全等三角形的判定与性质．
平面直角坐标系；图形的全等；推理能力．
【答案】D
分别过点A、C作AE⊥x轴，CD⊥x轴于点E、D，证明△AEB≌△CDO，得BE＝OD，从而可得OB，即可解答此题．
【解答】解：过点A、C作AE⊥x轴，CD⊥x轴于点E、D，如图：
∴∠AEB＝∠CDO＝90°，
∵点A的坐标是（4，﹣2），点C的坐标是（1，2）
∴OD＝1，OE＝4，
∵四边形OABC是矩形，
∴AB＝CO，AB∥CO（矩形的性质），
∴∠COD＝∠ABE（两直线平行，内错角相等），
在△CDO和△AEB中
，
∴△CDO △AEB（AAS），
∴BE＝OD＝1（全等三角形对应边相等），
∴OB＝OE+BE＝4+1＝5，
∴点B的横坐标是5，
故选：D．
此题主要考查了坐标与图形的性质，全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线构造全等三角形是解答此题的关键．
2．（2025 湖北模拟）如图，已知点A（﹣3，1），B（﹣3，﹣5），点C（x，y）在线段AB上运动，当OC＞OA时，y的取值范围为（　　）
A．﹣5≤y＜﹣1 B．y＜1 C．﹣1＜y＜1 D．﹣5＜y≤﹣1
坐标与图形性质．
平面直角坐标系；运算能力．
【答案】A
作点A关于x轴的对称点A′，则A′（﹣3，﹣1）．再结合图象即可直接确定y的取值范围．
【解答】解：如图，作点A关于x轴的对称点A′，则A′（﹣2，﹣1）．
∵OC＞OA，
∴点C在A′B上，且不与A′重合．
∵B（﹣3，﹣5），
∴y的取值范围为﹣5≤y＜﹣1．
故选：A．
本题考查坐标与图形，轴对称的性质．利用数形结合的思想是解题关键．
3．（2025 海南）在如图所示的正方形网格中，若建立平面直角坐标系，使“少”“年”的坐标分别为（﹣1，0）、（1，1），则“强”的坐标为（　　）
A．（3，3） B．（2，3） C．（4，3） D．（4，5）
点的坐标．
平面直角坐标系；几何直观．
【答案】B
根据已知建立适当的平面直角坐标系，即可解答．
【解答】解：建立适当的平面直角坐标系如图所示：
则“强”的坐标为（2，3），
故选：B．
本题考查了点的坐标，建立适当的平面直角坐标系是解题的关键．
4．（2025 中山市校级二模）在平面直角坐标系中，过点A（2，﹣4）和点B（﹣4，﹣4）作直线，则直线AB（　　）
A．平行于x轴 B．平行于y轴 C．与x轴相交 D．经过原点
坐标与图形性质．
平面直角坐标系；几何直观．
【答案】A
根据平行于坐标轴的直线上点的坐标特征即可解决问题．
【解答】解：因为平行于x轴的直线上的点，纵坐标均相等；
平行于y轴的直线上的点，横坐标均相等，
又A（2，﹣4），B（﹣4，﹣4），
则A，B两点的纵坐标相等，
所以直线AB平行于x轴．
故选：A．
本题考查坐标与图形性质，熟知平行于坐标轴的直线上点的坐标特征是解题的关键．
5．（2025 中山市校级模拟）在平面直角坐标系中，点（﹣1，m2+3）一定在（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
点的坐标．
平面直角坐标系；运算能力．
【答案】B
先根据偶次方的非负性判断m2+3的正负，然后根据点的坐标正负判断点的位置即可．
【解答】解：∵m2≥0，
∴m2+3＞0，
∴点（﹣1，m2+3）一定在第二象限，
故选：B．
本题主要考查了点的坐标，解题关键是熟练掌握平面直角坐标系中各个象限点的坐标特征．
6．（2025 定西模拟）小青坐在教室的第4列第3行，用（4，3）表示，小明坐在教室的第3列第1行应表示为（　　）
A．（1，3） B．（3，1） C．（1，1） D．（3，3）
坐标确定位置．
平面直角坐标系；符号意识．
【答案】B
根据用数对表示位置和数对的写法即可得出答案．
【解答】解：小明坐在教室的第3列第1行应表示为（3，1）．
故选：B．
本题考查了坐标确定位置，解题的关键是根据列数是横坐标，行数是纵坐标来解答．
7．（2025 山东模拟）如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中“→”方向排列，如（0，1），（﹣1，2），（0，2），（1，2），（2，3），（1，3），（0，3），…，根据这个规律探索可得第2024个点的坐标是（　　）
A．（43，45） B．（44，45） C．（﹣43，45） D．（﹣42，45）
规律型：点的坐标．
猜想归纳；推理能力．
【答案】C
根据所给点的排列顺序，发现点的横纵坐标的变化规律即可解决问题．
【解答】解：由所给图形可知，
从下往上看，
第一行有1个点，
第二行有3个点，
第三行有5个点，
…，
第n行有（2n﹣1）个点．
所以前n行点的总个数为：1+3+5+…+2n﹣1＝n2（n为正整数），
当n＝45时，
n2＝2025，2×45﹣1＝89，
所以前45行一共有2025个点，且第45行有89个点．
又因为第n行的纵坐标为n，且n为奇数时，点是从右向左依次排列的，
所以（89﹣1）÷2＝44，
则第2025个点的坐标为（﹣44，45），
所以第2024个点的坐标为（﹣43，45）．
故选：C．
本题考查点的坐标变化规律，能根据题意发现前n行点的总数及每行点的排列规律是解题的关键．
8．（2025 内江）对于正整数x，规定函数．在平面直角坐标系中，将点（m，n）中的m，n分别按照上述规定，同步进行运算得到新的点的横、纵坐标（其中m，n均为正整数）．例如，点（8，5）经过第1次运算得到点（4，16），经过第2次运算得到点（2，8），经过第3次运算得到点（1，4），经过有限次运算后，必进入循环圈．按上述规定，将点（2，1）经过第2025次运算后得到点是（　　）
A．（2，1） B．（4，2） C．（1，2） D．（1，4）
规律型：点的坐标；一次函数的性质；一次函数图象上点的坐标特征．
规律型．
【答案】A
求函数值，通过计算点（2，1）每次运算后的结果，发现其变化呈现周期性循环，周期为3次．利用周期性规律，确定第2025次运算后的结果．
【解答】解：初始点：（2，1）（第0次运算）．
第1次：横坐标2为偶数，，纵坐标1为奇数，f（1）＝3×1+1＝4；，得到点（1，4）．
第2次：横坐标1为奇数，f（1）＝3×1+1＝4，纵坐标4为偶数，，得到点（4，2）．
第3次：横坐标4为偶数，，纵坐标2为偶数，，得到点（2，1），与初始点相同，即三次一循环，
∴2025÷3＝675，
∴第2025次运算后对应点与第3次运算后的点相同，即（2，1）．
故选：A．
本题考查了数字类规律探究，点的坐标规律，正确找出规律是解题的关键．
9．（2025 织金县模拟）如图是一片枫叶标本，其形状呈“掌状五裂型”，裂片具有少数突出的齿．将其放在平面直角坐标系中，叶片“顶部”A，B两点的坐标分别为（0，3），（﹣1，1），则叶杆“底部”点C的坐标为（　　）
A．（﹣2，4） B．（4，﹣2） C．（3，0） D．（﹣1，3）
坐标确定位置．
平面直角坐标系；几何直观．
【答案】B
根据A，B两点的坐标分别为（0，3），（﹣1，1），可以判断原点的位置，然后确定C点坐标即可．
【解答】解：如图所示，
∴C（4，﹣2），
故选：B．
本题主要考查了坐标确定位置，解题的关键是根据已知点的坐标确定原点的坐标．
10．（2025 湖北模拟）俄罗斯方块是一款经典休闲益智游戏，如图是小宇玩俄罗斯方块时某一时刻的截图，若在以O为原点建立的平面直角坐标系中，小宇将上方的方块先向左移动2个格子，再向下移动6个格子后，点A恰好落在点B（3，1）处，则上方的方块移动前点A所在位置的坐标为（　　）
A．（4，7） B．（5，6） C．（5，7） D．（7，5）
坐标确定位置．
平面直角坐标系；推理能力．
【答案】C
上下平移只改变点的纵坐标，上加下减；左右平移只改变点的横坐标，左减右加，据此求解即可．
【解答】解：根据坐标平移的性质，
∵点A先向左移动2个格子，再向下移动6个格子后的位置为点B，
∴将点B（3，1）先向上移动6个格于，再向右移动2个格子后得到点A，
∴上方的方块移动前点A所在位置的坐标为（5，7），
综上所述，只有选项C正确，符合题意，
故选：C．
本题考查了坐标确定位置，关键是坐标平移的性质的熟练掌握．
二．填空题（共5小题）
11．（2025 娄底三模）如图，在平面直角坐标系中，已知点A1（0，1），A2（2，0），过点A2作A2A3⊥A1A2交y轴于点A3；过点A3作A3A4⊥A2A3交x轴于点A4；过点A4作A4A5⊥A3A4交y轴于点A5；…按此规律进行下去，则点A9的坐标为 　（0，256）　 ．
规律型：点的坐标．
规律型；平面直角坐标系；运算能力．
【答案】（0，256）．
通过证明△A2OA3∽△A1OA2，得到，得出，同理可得：，，得出，代入n＝9求出OA9的长，再根据坐标系得出点A9落在y轴的正半轴，即可求解．
【解答】解：由条件可知OA1＝1，OA2＝2，
∴∠A1A2A3＝90°，
∴∠A1A2O+∠A3A2O＝90°，
∵∠A2A3O+∠A3A2O＝90°，
∴∠A2A3O＝∠A1A2O，
又∵∠A2OA3＝∠A1OA2，
∴△A2OA3∽△A1OA2，
∴，
∴；
同理可得：，， ，
∴依此类推，，
∴当n＝9时，，
由坐标系可得，点A9落在y轴的正半轴，
∴点A9的坐标为（0，256）．
故答案为：（0，256）．
本题考查了点坐标的规律探索、相似三角形的性质与判定，根据点坐标的变化找出变化规律是解题的关键．
12．（2025 东昌府区二模）在平面直角坐标系中，点M（x，y）经过某种变换后得到点M′（y+3，﹣x﹣1）．已知点M1经过此变换得到点M2，点M2经过此变换得到点M3，点M3经过此变换得到点M4，这样依次得到点M5，M6， ，Mn．若点M1的坐标为（2，1），则点M2025的坐标为　（2，1）　 ．
规律型：点的坐标．
规律型；平面直角坐标系；推理能力．
【答案】（2，1）．
根据变换点的定义，得到M1（2，1），M2（4，﹣3），M3（0，﹣5），M4（﹣2，﹣1），M5（2，1），从而得到每4次一个循环，即可得出结论．
【解答】解：根据题意，
M1（2，1），
M2（4，﹣3），
M3（0，﹣5），
M4（﹣2，﹣1），
M5（2，1），
，
∵2025÷4＝506…1，
∴若点M1的坐标为（2，1），则点M2025的坐标为（2，1），
故答案为：（2，1）．
本题考查了点的坐标规律，找到规律，掌握相关知识是解题的关键．
13．（2025 日照一模）平面直角坐标系中，我们把横，纵坐标都是整数，且横，纵坐标之和大于0的点称为“和点”．将某“和点”平移，每次平移的方向取决于该点横、纵坐标之和除以3所得的余数（当余数为0时，向右平移；当余数为1时，向上平移；当余数为2时，向左平移），每次平移1个单位长度．
例：“和点”P（2，1）按上述规则连续平移3次后，到达点P3（2，2），其平移过程如下：
若“和点”Q按上述规则连续平移16次后，到达点Q16（﹣1，9），则点Q的坐标为　（5，1）或（7，1）　 ．
规律型：点的坐标；坐标与图形变化﹣平移．
规律型；平面直角坐标系；运算能力．
【答案】（5，1）或（7，1）．
先分别计算余0，1，2的平移，得出规律点Q先向右平移1个单位，再按照向上、向左，向上、向左不断重复的规律平移，由此计算即可得解．
【解答】解：发现规律为：若“和点”横、纵坐标之和除以3所得的余数为0时，先向右平移1个单位，再按照向上、向左，向上、向左不断重复的规律平移；
若“和点”Q按上述规则连续平移16次后，到达点Q16（﹣1，9），则按照“和点”Q16反向运动16次即可，可以分为两种情况：
①Q16先向右1个单位得到Q15（0，9），此时横、纵坐标之和除以3所得的余数为0，应该是Q15向右平移1个单位得到Q16，故矛盾，不成立；
②Q16先向下1个单位得到Q15（﹣1，8），此时横、纵坐标之和除以3所得的余数为1，则应该向上平移1个 单位得到Q16，故符合题意，
∴点Q16先向下平移，再向右平移，当平移到第15次时，共计向下平移了8次，向右平移了7次，此时坐标为（﹣1+7，9﹣8），即（6，1），
∴最后一次若向右平移则为（7，1），若向左平移则为（5，1），
故答案为：（7，1）或（5，1）．
本题考查了点的坐标规律探索，正确得出规律是解此题的关键．
14．（2025 桓台县二模）已知一次函数的图象与y轴相交于点A1，以OA1为边作等边△OA1B1，点B1在第一象限内，过点B1作y轴的平行线与该一次函数的图象交于点A2，与x轴交于点C1，以C1A2为边作等边△C1A2B2（点B2在点B1的右边），以同样的方式依次作等边△C2A3B3，等边△C3A4B4， ，则点A2025的纵坐标为 　　 ．
规律型：点的坐标；两条直线相交或平行问题．
猜想归纳；推理能力．
【答案】
根据题意，依次求出点A1，A2，A3，…，的纵坐标，发现规律即可解决问题．
【解答】解：由题知，
将x＝0代入得，
y＝1，
所以点A1的纵坐标为1．
因为△OA1B1是等边三角形，
所以点B1的横坐标为，
将x代入得，
y，
所以点A2的纵坐标为．
同理可得，点A3的纵坐标为，点A4的纵坐标为，…，
所以点An的纵坐标可表示为．
当n＝2025时，
点A2025的纵坐标为．
故答案为：．
本题主要考查了点的坐标变化规律及两条直线相交或平行问题，能通过计算发现点An的纵坐标可表示为是解题的关键．
15．（2025 驿城区校级模拟）如图，已知点A的坐标为（﹣2，0），点B的坐标为（﹣1，0），以点O为圆心，OB为半径构造圆，点M为圆周上一点，在x轴上方取点N，使得△MAN是以∠MAN为直角的等腰直角三角形，若点M从点B出发，按照顺时针方向以每秒个单位长度的速度运动，则第2026秒时，点N的坐标是　（﹣2，3）　 ．
规律型：点的坐标．
规律型；推理能力．
【答案】（﹣2，3）．
由题意可得点M每4秒运动一周，即得第2026秒时与第2秒时的位置相同，再画出图形即可求解．
【解答】解：已知点A的坐标为（﹣2，0），点B的坐标为（﹣1，0），如图，点M从点B出发，按照顺时针方向以每秒个单位长度的速度运动，
∴，
∴每4秒运动一周，
∵2026÷4＝506 2，
∴第2026秒时与第2秒时的位置相同，
如图，
∵△MAN是以∠MAN为直角的等腰直角三角形，
∴AM＝AN＝3，
∴点N的坐标是（﹣2，3）．
故答案为：（﹣2，3）．
本题考查规律型：点的坐标，解题的关键是理解题意，确定第2026秒时点M的位置．
三．解答题（共5小题）
16．（2025 长安区校级模拟）已知点P（2a﹣3，a+6），解答下列各题：
（1）若点Q的坐标为（3，3），且直线PQ∥y轴，求出点P的坐标；
（2）若点P在第二象限，且它到x轴、y轴的距离相等，求出点P的坐标．
坐标与图形性质．
平面直角坐标系；应用意识．
【答案】（1）点P的坐标为（3，9）；
（2）点P的坐标为（﹣5，5）．
（1）根据与y轴平行的直线上的点横坐标相等求解即可；
（2）根据在第二象限的点的坐标特征和点P到x轴、y轴的距离相等列出方程，解出a的值，再代入所求式子计算即可．
【解答】解：（1）∵点Q的坐标为（3，3），直线PQ∥y轴，
∴2a﹣3＝3，
解得：a＝3，
∴a+6＝3+6＝9，
∴点P的坐标为（3，9）；
（2）∵点P在第二象限，且它到x轴、y轴的距离相等，
∴3﹣2a＝a+6，
解得：a＝﹣1，
此时2a﹣3＝﹣5，a+6＝5，
∴点P的坐标为（﹣5，5）．
本题主要考查坐标与图形性质，解题关键是：（1）熟知与y轴平行的直线上的点横坐标相等；（2）熟知在第二象限的点的坐标特征，点到x轴、y轴的距离相等即纵坐标与横坐标的绝对值相等．
17．（2025 铜陵三模）小明用一些边长为1的小正方形按一定规律摆放得到创意广告墙图案．
（1）观察以上图形，完成下列表格：
图形 图1 图2 图3 图4 …
小正方形的个数 6 12 20 　30　 …
（2）将图n如图放置到平面直角坐标系xOy中，则点An的坐标是 　（2n，n+2）　 ；
（3）不难发现点A0，A1，A2，A3，…An在同一直线上，连接A0An，利用面积法求图n需要小正方形的个数．
规律型：点的坐标．
规律型；推理能力．
【答案】（1）30；
（2）（2n，n+2）；
（3）（n2+3n+2）个．
（1）观察前三个图，找到规律，即可求解；
（2）观察前三个点的坐标，找到规律，即可求解；
（3）根据图形，找到规律，即可求解．
【解答】解：（1）图1，小正方体的2×3＝6个，
图2，小正方体的3×4＝12个，
图3，小正方体的4×5＝20个，
图4，小正方体的5×6＝30个，
故答案为：30；
（2）A1（2，3），A2（4，4），A3（6，5），
观察得到规律：每个点的横坐标是其角标的2倍，横坐标是其角标加2，
∴An（2n，n+2），
故答案为：（2n，n+2）；
（3）如图，
图1，小正方体的面积2×3＝6，小正方体的个数6个，
图2，小正方体的面积3×4＝12，小正方体的个数12个，
图3，小正方体的面积4×5＝20，小正方体的个数20个，
图4，小正方体的面积5×6＝30，小正方体的个数30个，
…，
图n，小正方体的面积（n+1）（n+2）＝n2+3n+2，小正方体的个数（n2+3n+2）个，
答：图n需要小正方形的个数为（n2+3n+2）个．
本题考查图形变化的规律，能根据所给图形发现小正方形个数变化的规律是解题的关键．
18．（2025 宿豫区二模）通过学习，同学们发现在正方形网格中（设每个小正方形的边长都为1），构造某些图形可以发现和解决一些数学问题．
【阅读材料】
例如，比较与的大小．
解：在正方形网格中，如图1，构造△ABC（点A、B、C都为小正方形的顶点）．
∵△ABC（构造图形），
∴AB+BC＞AC（三角形任意两边之和大于第三边）
∵（勾股定理），
∴．
【问题解决】
（1）在上面解决问题的过程中，体现了初中数学的一种重要的基本思想是D （填写正确选项的字母代号）；
A．类比思想
B．整体思想
C．分类讨论思想
D．数形结合思想
（2）参考“例子”中的方法，在图2中，构造图形，比较与的大小，并说明理由；
【拓展探究】
（3）问题：当x为　　 时，的值最小，且最小值为A．
（要求：直接写出结果，并在图3中，画出所构造的图形）
两点间的距离公式；勾股定理；实数大小比较．
实数；等腰三角形与直角三角形；几何直观；运算能力．
【答案】（1）D；（2），理由见解析；（3）．
（1）依据题意，上面解决问题的过程中，体现了初中数学的一种重要的基本思想是数形结合思想，故可得解；
（2）依据题意，在正方形网格中，构造线段AB、BC、CD、AD，再利用两点之间，线段最短，从而可以判断得解；
（3）依据题意，构造AB＝3，BD＝3，CD＝2，点P是BD上一点，A'是A关于BD的对称点，A'C与BD交于点F，设BP＝x，则PD＝3﹣x，从而AP，CP，A'C，又A'是A关于BD的对称点，故PA＝PA'，再根据两点之间线段最短，A'P+PC≥A'C，可得当P在F时，取最小值为，又DF∥AE，可得，从而DF，进而可以判断得解．
【解答】解：（1）由题意，上面解决问题的过程中，体现了初中数学的一种重要的基本思想是数形结合思想．
故答案为：D．
（2）由题意，在正方形网格中，如图1，构造线段AB、BC、CD、AD．
∵两点之间，线段最短，
∴AB+BC+CD＞AD．
∵AB，BC，CD，AD，
∴．
∴．
（3）由题意，如图2，构造AB＝3，BD＝3，CD＝2，点P是BD上一点，A'是A关于BD的对称点，A'C与BD交于点F，设BP＝x，则PD＝3﹣x，
∴AP，CP，A'C．
又∵A'是A关于BD的对称点，
∴PA＝PA'．
又根据两点之间线段最短，A'P+PC≥A'C，
∴．
∴．
∴当P在F时，取最小值为．
∵DF∥AE，
∴．
∴．
∴DF．
∴BF＝BD﹣DF＝3．
∴当x时，取最小值为．
故答案为：．
本题主要考查了两点间的距离公式、实数大小比较、勾股定理，解题时要熟练掌握并能灵活运用数形结合是关键．
19．（2025 南通模拟）在平面直角坐标系xOy中，对于两个点P，Q和图形W，如果在图形W上存在点M，N（M，N可以重合）使得PM＝QN，那么称点P与点Q是图形W的一对相好点．
（1）如图1，已知点A（1，3），B（4，3）．
①设点O与线段AB上一点的距离为d，则d的最小值为 　　 ，最大值为 　5　 ．
②在P1（2.5，0），P2（2，4），P3（﹣2，0）这三个点中，与点O是线段AB的一对相好点的是P1，P3 ．
（2）直线l平行AB所在的直线，且线段AB上任意一点到直线l的距离都是1，若点C（x，y）是直线l上的一动点，且点C与点O是线段AB的一对相好点，求x的取值范围．
两点间的距离公式．
线段、角、相交线与平行线；运算能力；推理能力．
【答案】（1）①，5；
②P1，P3；
（2）4≤x≤4或1x≤1．．
（1）根据平面直角坐标系内两点间的距离公式，即可求解；
（2）根据相好点的定义，即可求解；
（3）根据题意，点C在直线y＝4或y＝2上，根据相好点的定义，得到，CB≤5或CA≤5，CB，分别设C（x，4），求出x的取值范围，即可求解．
【解答】解：（1）①由题意可得：，，
∴d的最小值为，最大值为5；
故答案为：，5；
②∵P1（2.5，0），P2（2，4），P3（﹣2，0），
点P1（2.5，0）到线段AB的最小距离为3，最大距离为，
∴在线段AB上存在点M，N，使得P1M＝ON，故点P1与点O是线段AB的一对相好点，
点P2（2，4）到线段AB的最小距离为1，最大距离为，
∴在线段AB上不存在点M，N，使得P2M＝ON，故点P2与点O不是线段AB的一对相好点，
点P3（﹣2，0）到线段AB的最小距离为，
最大值为
∴在线段AB上存在点M，N，使得P3M＝ON，故点P3与点O是线段AB的一对相好点，
∴与点O是线段AB的一对相好点的是P1，P3；
故答案为：P1，P3；
（3）∵直线l平行AB所在的直线，且线段AB上任意一点到直线l的距离都是1，
∴直线l为y＝4或y＝2，
∵点C与点O是线段AB的一对相好点，，OB＝5，
当，CB≤5，即CA2≥10，CB2≤25，
设C（x，4），当点C在y＝4上时，
则，
解得：4≤x≤4，
当CA≤5，CB，即CA2≤25，CB2≥10，
则，
解得：1x≤1，
同理，当C在y＝2上时，4≤x≤4或1x≤1，
综上所述，x的取值范围是4≤x≤4或1x≤1．
本题主要考查了平面直角坐标系内两点间的距离，解不等式组，理解新定义是解题的关键．
20．（2024 奉贤区三模）国际象棋玩过么？国王走一步能够移动到相邻的8个方格中的随意一个，那么国王从格子 （x1，y1） 走到格子 （x2，y2） 的最少步数就是数学的一种距离，叫“切比雪夫距离”．在平面直角坐标系中，对于任意两点P1（x1，y1）与P2（x2，y2） 的“切比雪夫距离”，给出如下定义：若|x1﹣x2|≥|y1﹣y2|，则点P1（x1，y1） 与P2（x2，y2）的“切比雪夫距离”为|x1﹣x2|；若|x1﹣x2|＜|y1﹣y2|，则点P1（x1，y1） 与P2（x2，y2） 的“切比雪夫距离”为|y1﹣y2|；
（1）已知A（0，2），
①若B的坐标为（3，1），则点A与B的“切比雪夫距离”为 　3　 ；
②若C为x轴上的动点，那么点A与 C“切比雪夫距离”的最小值为 　2　 ；
（2）已知，N（1，﹣1），设点M与N的“切比雪夫距离”为d，若a≥0，求d（用含a的式子表示）．
两点间的距离公式；坐标与图形性质．
一次方程（组）及应用；运算能力．
【答案】（1）①3；②2；（2）
（1）①结合题意，根据“切比雪夫距离”的定义求解即可；②设点C（m，0），分|m|＞2和|m|≤2两种情况讨论，即可获得答案；
（2）结合已知条件，分两种情况讨论：当0≤a≤1时，由|2﹣a﹣1|＝1﹣a≤1，|1|1≥1，可确定此时点M与N的“切比雪夫距离”；当a＞1时，易得|2﹣a﹣1|＝a﹣1，|1|1，令a﹣11，解得a≤3，即当1＜a≤3时，点M与N的“切比雪夫距离”d1；当a＞3时，可有a﹣11，此时点M与N的“切比雪夫距离”d＝a﹣1．即可获得答案．
【解答】解：（1）①∵A（0，2），B（3，1），
又∵|0﹣3|＝3，|2﹣1|＝1，
∴|0﹣3|＞|2﹣1|，
∴根据“切比雪夫距离”的定义，点A与B的“切比雪夫距离”为3．
②若C为x轴上的动点，则可设点C（m，0），
当|m|＞2时，|0﹣m|＝|m|＞2，
又∵|2﹣0|＝2，
∴|0﹣m|＞|2﹣0|，
∴此时点A与C“切比雪夫距离”的值为|m|＞2；
当|m|≤2时，|0﹣m|＝|m|≤2，
又∵|2﹣0|＝2，
∴|0﹣m|≤|2﹣0|，
∴此时点A与C“切比雪夫距离”的值为2．
综上所述，若C为x轴上的动点，那么点A与C“切比雪夫距离”的最小值为2．
（2）根据已知条件，M（2﹣a，），N（1，﹣1），
则当0≤a≤1时，
|2﹣a﹣1|＝|1﹣a|＝1﹣a≤1，
|1|1≥1，
∴此时点M与N的“切比雪夫距离”d1；
当a＞1时，
可有|2﹣a﹣1|＝|1﹣a|＝a﹣1，|1|1，
令a﹣11，解得a≤3，
即当1＜a≤3时，可有a﹣11，此时点M与N的“切比雪夫距离”d1，
当a＞3时，可有a﹣11，此时点M与N的“切比雪夫距离”d＝a﹣1．
综上所述，点M与N的“切比雪夫距离”．
本题主要考查了新定义“切比雪夫距离”、平面直角坐标系中点的坐标特征、化简绝对值以及一元一次不等式的应用等知识，理解题意，灵活运用相关知识是解题关键．

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