资源简介

3.2 图形的旋转
课时1 旋转的概念及性质
1.通过具体实例认识旋转，掌握旋转的有关概念及基本性质.
2.能够根据旋转的基本性质进行相关的计算和证明.
学习目标
（1）上面场景中的转动现象，有什么共同特征？
（2）风力发电机的叶片、钟表的指针、摩天轮在转动过程中，其形状、大小、位置是否发生改变？
新课导入
在平面内，将一个图形绕一个定点按某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转.
旋转中心
旋转角
对应点
这个定点称为旋转中心.
转动的角称为旋转角.
转动的方向分为顺时针与逆时针.
旋转的概念
新课讲授
旋转不改变图形的形状和大小.
如图所示，△ABC绕点O按顺时针方向旋转一个角度，得到△DEF，点A，B，C分别旋转到了点D，E，F.
点A与点D是一组对应点，
线段AB与线段DE是一组对应线段，∠BAC与∠EDF是一组对应角.
在这一旋转过程中，点O是旋转中心，∠AOD，∠BOE，∠COF都是旋转角.
如图，两张透明纸上的四边形 ABCD 和四边形 EFGH 完全重合，在纸上选取旋转中心 O，并将其固定．把其中一张纸片绕点 O 旋转一定角度．
(1)观察右图的两个四边形，你能发现有哪些相等的线段和相等的角?
AB = EF， BC = FG， CD = GH，AD = EH;
∠A = ∠E，∠B= ∠F，∠C = ∠G，∠D = ∠H
操作·思考
（2）连接AO，BO，CO，DO，EO，FO，GO， HO ，你又能发现有哪些相等的线段和相等的角？
O
OA=OE，OB=OF， OC=OG ， OD=OH.
∠AOE=∠BOF=∠COG=∠DOH
（3）在图中再取一些对应点，画出它们与旋转中心所连成的线段，你又能发现什么？
对应点与旋转中心所连成的线段相等
旋转的性质:
1、旋转不改变图形的大小和形状．
2、对应线段相等，对应角相等.
3、对应点到旋转中心的距离相等.
4、任意一组对应点与旋转中心的连线所成的角都等于旋转角.
①△ABC≌△A'B'C'
②AO=A'O，BO=B'O，CO=C'O
③∠AOA'=∠BOB'=∠COC'
归纳总结
在下图（1）~（4）的四个三角形中，哪个不能由△ABC经过平移或旋转得到?
首先从平移考虑：图(1)可由△ABC平移得到；图(2)、图(3)、图(4)不能通过△ABC平移得到；其次从旋转角度考虑：无论△ABC以哪个点为旋转中心，都无法得到图(2)，图(3)、图(4)可以由△ABC经过旋转得到.
综合分析，只有图(2)无法通过△ABC平移或旋转得到.
新课讲授
例、如图，四边形ABCD 经过旋转后与四边形ADEF 重合.
(1)指出这一旋转的旋转中心和旋转角；
(2)写出图中相等的线段和相等的角.
C
E
解：(1)旋转中心为A；
旋转角有∠BAD，
∠CAE，∠DAF.
典例精析
(2)相等的线段：AB＝AD，AC＝AE，AD＝AF，
BC＝DE，CD＝EF，AB＝AF；
相等的角：∠BAC＝∠DAE，
∠BAD＝∠CAE＝∠DAF，∠CAD＝∠EAF，
∠ABC＝∠ADE，∠ADC＝∠AFE，
∠BCD＝∠DEF，∠BCA＝∠DEA，
∠ACD＝∠AEF.
旋转的性质的两种应用：
(1)根据旋转角相等，对应点与旋转中心的连线相等可得线段或角相等.
(2)根据旋转前后的图形与原来图形的形状、大小都相同可得图形的对应线段、对应角相等.
归纳总结
1.如图，若将△ABC 绕点O 逆时针旋转90°，则顶点B 的对应点B1的坐标为(　　)
A．(－4，2) B．(－2，4) C．(4，－2) D．(2，－4)
2.如图，将Rt△ABC 绕直角顶点C 顺时针旋转90°，得到△A′B′C，连接AA′，若∠1＝25°，则∠BAA′的度数是(　　)
A．55° B．60° C．65° D．70°
B
C
当堂检测
3. 如图,△ABC绕点A逆时针旋转30°得到△ADE,AB=5 cm,BC=8 cm,∠BAC=130°,则AD=　　　=　　 cm, DE= =　 cm,∠EAC=∠　　　=　　°.
AB
5
BC
8
BAD
30
4. 如图，Rt△ABC中，已知∠C＝90°，∠B＝50°，点D在边BC上，BD＝2CD．把 △ABC绕着点D逆时针旋转m(0＜m＜180)度后，如果点B 恰好落在初始Rt△ABC的边上，那么m＝ ________ .
80或120
5.如图，在△ABC 中，AB＝AC＝1，∠BAC＝45°，△AEF 是由△ABC 绕点A 按顺时针方向旋转得到的，连接BE，CF 相交于点D.
(1)求证：BE＝CF；
(2)当四边形ACDE 的四边相等且AC∥DE 时，求BD 的长．
解：（1）∵△AEF 是由△ABC 绕点A 按顺时针方向旋转得到的，
∴AE＝AB，AF＝AC，∠EAF＝∠BAC.
∴∠EAF＋∠BAF＝∠BAC＋∠BAF，
即∠EAB＝∠FAC.
∵AB＝AC，∴AE＝AF.
∴△AEB ≌ △AFC.
∴BE＝CF.
(2)∵四边形ACDE 的四边相等，AB＝AC＝1，
∴DE＝AE＝AC＝AB＝1.
∴∠AEB＝∠ABE.
∵AC∥DE，
∴∠ABE＝∠BAC＝45°.
∴∠AEB＝∠ABE＝45°.
∴△ABE 为等腰直角三角形．
∴BE＝????????2+????????2=12+12=2
∴BD＝BE－DE＝2－1.
?
旋转
定义
三要素：旋转中心，旋转方向和旋转角度
性质
旋转前后的图形全等；
对应点到旋转中心的距离相等;
对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角
课堂总结
3.2 图形的旋转
课时2 旋转作图
1. 能够根据旋转的基本性质进行作图.
2. 能够根据旋转前后的图形确定旋转中心.
回顾 旋转的概念和性质是什么？
旋转的概念：在平面内，将一个图形绕一个定点按某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转，这个定点称为旋转中心，转动的角称为旋转角. 旋转不改变图形的形状和大小.
旋转的性质：一个图形和它经过旋转所得的图形中，对应点到旋转中心的距离相等，任意一组对应点与旋转中心的连线所成的角都等于旋转角；对应线段相等，对应角相等.
在图中，画出线段AB绕点A按顺时针方向旋转60°后的线段.
``
B
A
X
60°
?
?
C
解: (1)如图，以AB为一边按顺时针方向画∠BAX，使得∠BAX=60°.
(2)在射线AX上取点C，使得 AC=AB.
线段AC就是线段AB绕点A按顺时针方向旋转60后的线段.
旋转中心
旋转方向
旋转角
如图，△ABC绕点O按逆时针方向旋转后，顶点A旋转到了点D.
(1)指出这一旋转的旋转角.
A
B
C
D
O
∠AOD就是旋转角.
操作·交流
(2)画出旋转后的三角形.
A
B
C
D
O
以OB为一边按逆时针方向画∠BOX=∠AOD，
在射线OX上取点E，使得 OB=OE;
以OC为一边按逆时针方向画∠COY=∠AOD，
在射线OY上取点F，使得 OC=OF;
连接DF、DE、EF，
△DEF即为旋转后的三角形.
X
E
Y
F
(3)与同伴交流你的画法，你们的画法都一样吗? 还有其他画法吗?
A
B
C
D
O
以O为圆心，OB为半径画弧，
以OB为一边按逆时针方向画∠BOX=∠AOD，
交弧于点E，此时OB=OE，
则点E为B点的对应点.
X
E
(3)与同伴交流你的画法，你们的画法都一样吗? 还有其他画法吗?
A
B
C
D
O
以O为圆心，OC为半径画弧，
以OC为一边按逆时针方向画∠COY=∠AOD，
交弧于点F，此时OC=OF，
则点E为B点的对应点；
连接DF、DE、EF，
△DEF即为旋转后的三角形.
X
E
Y
F
思考 连接BE，△OBE是什么三角形? 点O和线段BE有什么关系?
A
B
C
D
O
X
E
Y
F
△ OBE为等腰三角形.
点O在线段BE的垂直平分线上.
旋转中心在对应点之间所连线段的垂直平分线上.
变式 如图，线段AB经过旋转后，旋转到了线段CD的位置，C点为A点的对应点，请找出旋转中心O.
A
B
C
D
连接AC、BD，
做AC、BD的垂直平分线交于点O，
点O为旋转中心.
O
确定一个图形旋转后的位置，需要哪些条件? 你的依据是什么?
与同伴进行交流.
1.需要确定旋转中心，它是图形旋转时围绕的固定点，图形上的所有点都绕着这个点进行旋转.
2.还需要确定旋转方向，分为顺时针方向和逆时针方向，明确旋转方向才能确定图形旋转后的具体方位.
3.还有图形绕旋转中心旋转的度数，也就是旋转角，它决定了图形旋转的幅度.
思考·交流
观察下图，甲图案进行怎样的运动变化可以与乙图案重合? 写出你的操作过程.
甲
乙
B
A
以点A为旋转中心，
将甲图案逆时针旋转，
使甲树干垂直于地面，
将旋转后的甲图案沿着AB平移，
直至与乙图案完全重合.
尝试·思考
旋转作图一般步骤：
1. 明确旋转中心、旋转方向和旋转角度；
2. 画出对应点的位置；
3. 连接线段.
注意：旋转中心在对应点之间所连线段的垂直平分线上. 可通过找两组对应点所连线段的垂直平分线的交点确定旋转中心.
归纳总结
1.将△ABC绕点A旋转180°得到△ADE，则下列作图正确的是(　　)
A． B．
C． D．
C
A
B
C
D
E
A
B
C
D
E
A
B
C
D
E
A
B
C
D
E
2.如图4×4的正方形网格中，其中一个三角形①绕某点旋转一定的角度，得到三角形②，则图中A，B，C，D四个点中是其旋转中心的点是________.
B
3.如图，将线段AB绕点P按顺时针方向旋转90°，得到线段A′B′，其中点A、B的对应点分别是点A′、B′，则点A′的坐标是_____________ ．
(5，-1)
4.如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点分别是A(-3，2)，
B(-1，4)，C(0，2)．
(1)将△ABC以点O为旋转中心旋转180°，
画出旋转后对应的△A1B1C1；
C1
A1
B1
解：(1)如图所示，△A1B1C1即为所求；
4.如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点分别是A(-3，2)，
B(-1，4)，C(0，2)．
(2)平移△ABC，若点A的对应点A2的坐标
为(-5，-2)，则平移距离为________ ，
画出平移后对应的△A2B2C2；
C2
A2
B2
C1
A1
B1
(2)△A2B2C2即为所求，
平移距离= = .
4.如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点分别是A(-3，2)，
B(-1，4)，C(0，2)．
(3)若将△△A1B1C1绕某一点旋转可以
得到△A2B2C2，请直接写出旋转中心
的坐标为________ .
C2
A2
B2
C1
A1
B1
(-1，2)
旋转作图
1.明确旋转中心、旋转方向和旋转角度；
2.画出对应点的位置；
3.连接线段.
作旋转图形
的一般步骤
找两组对应点所连线段的垂直平分线的交点.
确定旋转
中心的方法
3.2 图形的旋转
课时3 中心对称
1.理解中心对称的定义及性质,会识别中心对称图形.
2.会运用掌握中心对称及中心对称图形的性质解决实际问题.
魔术时间
桌上有四张牌，其中一张牌旋转 180° 后牌面图案没有发生变化，你很快能猜出是哪一张吗？
探究 观察左图，图 (1) 经过怎样的运动变化就可以与图 (2) 重合？观察右图，再试一试. 你还能举出一些类似的例子吗？与同伴交流.
知识点一：中心对称的概念及性质
如果把一个图形绕着某一点旋转 180°，它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或成中心对称，这个点叫作它们的对称中心.
知识要点
△ABC 与△A′B′C′ 成中心对称
“两个图形关于一个点对称”可以简称为“两个图形成中心对称”.
对称中心
自己画一个图形，选取一个旋转中心，把所画的图形绕旋转中心旋转 180°.
连接旋转前后一组对应点，你发现了什么？再选几组对应点试一试，
并与同伴交流.
练一练
A′
C
A
B
B′
C′
O
●
(1) 对应点到旋转中心的距离是否相等？
(2) 对应点与旋转中心所连线段的夹角是否等于旋转角？
相等.
全等.
(3) 旋转前、后的图形全等？
OA = OA′、OB = OB′、OC = OC′.
△ABC≌△A′B′C′.
相等.
(4) 和一般旋转的区别是什么？
线段 AA′、BB′、CC′ 相交于点 O，并且点 O 是中点.
∠AOA′ = ∠BOB′ = ∠COC′ = 180°.
1. 成中心对称的两个图形中，对应点所连线段经过对称中心（即对称点与对称中心三点共线），且被对称中心平分.
2. 成中心对称的两个图形是全等形.
中心对称的性质
知识要点
例1 如图，已知四边形 ABCD 和点 O，试画出四边形 ABCD 关于点 O 成中心对称的图形 A'B'C'D'.
A
B
C
D
O
分析：要画出四边形 ABCD 关于点 O 成中心对称的图形，只要画出 A，B，C，D 四点关于点 O 的对称点，再顺次连接各对应点即可.
典型例题
A
B
C
D
O
作法：
1. 连接 AO 并延长到 A'，使 OA' = OA；
A'
B'
C'
D'
2. 同法，可作出点 B，C，D 的对应点 B'，C'，D'；
3. 顺次连接 A'，B'，C'，D'，则四边形 A'B'C'D' 即为所作.
解法1：根据观察，B、B′ 应是对应点，连接 BB′，用刻度尺找出 BB′ 的中点 O，则点 O 即为所求（如图）.
A
B
C
A′
B′
C′
O
1. 如图，已知 △ABC 与 △A′B′C′ 中心对称，找出它们的对称中心 O.
练一练
解法2：根据观察，B、B′ 及 C、C′ 应是两组对应点，连接 BB′、CC′，BB′、CC′ 相交于点 O，则点 O 即为所求（如图）.
A
B
C
A′
B′
C′
O
注意：如果限制只用直尺作图，我们用解法2.
轴 对 称
中心对称
1
有一条对称轴
——
直线
有一个对称中心
——
点
2
图形沿轴对折(翻转
180°
)
图形绕中心旋转
180°
3
翻转后和另一个图形重合
旋转后和另一个图形重合
O
中心对称与轴对称的异同
拓展提升
例2 如图，点 O 是线段 AE 的中点，以点 O 为对称中心，画出与五边形 ABCDE 成中心对称的图形.
知识点二：中心对称图形
解：如图，连接 BO 并延长至 B'，使得 OB' = OB；连接 CO 并延长至 C'，使得OC' = OC；连接 DO 并延长至 D'，使得OD' = OD；
顺次连接 E，B'，C'，D'，A.
图形 EB'C'D'A 就是以点 O 为对称中心、与五边形 ABCDE 成中心对称的图形.
A
B
C
D
E
O
C'
D'
B'
典型例题
观察下图，这些图形有什么共同特征?你还能举出一些类似的图形吗?
议一议
把一个图形绕某一个定点旋转 180°，如果旋转后的图形能和原来的图形重合，那么这个图形叫作中心对称图形，这个定点就是对称中心.
(1) 在你所学过的平面图形中，哪些图形是中心对称图形？
(2) 在上面例题中，图形 ABCDEB'C'D' 是中心对称图形吗？
边数是偶数的正多边形都是中心对称图形
图形 ABCDEB'C'D' 是中心对称图形
思考
图(1)
图(2)
解密魔术
1. 判断正误：
（1）轴对称的两个图形一定是全等形，但全等的两个图形不一定是轴对称的图形.（ ）
（2）成中心对称的两个图形一定是全等形，但全等的两个图形不一定是成中心对称的图形. （ ）
（3）全等的两个图形，不是成中心对称的图形，就是成轴对称的图形. （ ）
√
√
×
练一练
2. 如下所示的4组图形中，左边数字与右边数字成中心对称的有 （ ）


A. 1 组 B. 2 组 C. 3 组 D. 4 组
C
3. 如图，已知 △AOB 与 △DOC 成中心对称，△AOB 的面积是 6，AB＝3，则△DOC 中 CD边上的高是（ ）
A. 2　　　 B. 4　　　　　　
C. 6　　 D. 8
A
B
C
D
O
B
概念
旋转角是 180°
性质
对应点的连线经过对称中心，且被对称中心平分
作图
作中心对称图形； 找出对称中心
中心对称
定义
性质
应用
绕着某一点旋转 180° 能与本身重合的一个图形
经过对称中心的直线把原图形分成面积相等的两部分
美丽的中心对称图形在建筑物和工艺品等领域十分常见
中心对称和中心对称图形
中心对称图形
1. 世界上因为有了圆的图案，万物才显得富有生机，以下来自现实生活的图形中都有圆，它们看上去是那么美丽与和谐，这正是因为圆具有 轴对称和中心对称性.
请问以下三个图形中是轴对称图形的有 ，是中心对称图形的有 .
一石激起千层浪
①
汽车方向盘
②
铜钱
③
①
②
③
①
③
A′
B′
C′
O
A
B
C
2. 如图，已知等边三角形 ABC 和点 O，画△A′B′C′，使△A′B′C′ 和 △ABC 关于点 O 成中心对称.

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