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第二十章 勾股定理单元测试B卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
评卷人得分
一、单选题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（本题3分）（25-26八年级上·河南南阳·月考）在中，若，则（ ）
A． B． C． D．不能确定哪个角是直角
2．（本题3分）（2025八年级下·全国·专题练习）在平面直角坐标系中，点A的坐标是，若点P在坐标轴上，且是等腰三角形，则点P的坐标不可能是（　　）
A． B． C． D．
3．（本题3分）（24-25八年级下·安徽亳州·期末）如图，在网格中，点，，都是网格线的交点，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
4．（本题3分）（18-19八年级下·全国·单元测试）如图,小巷左右两侧是竖直的墙,一架梯子斜靠在左墙时,梯子底端到左墙的距离为0.7米,顶端距离地面2.4米．若保持梯子底端位置不动,将梯子斜靠在右墙时,顶端距离地面1.5米,则小巷的宽度为（ ）
A．1.8米 B．2米 C．2.5米 D．2.7米
5．（本题3分）（25-26八年级上·江苏盐城·期中）如图，在中，．以，两边为边分别向外作正方形，它们的面积分别为，，若，则的值为（ ）
A．6 B．9 C．12 D．15
6．（本题3分）（24-25九年级上·黑龙江绥化·月考）如图，以点为圆心，的长为半径画弧，交数轴于点，则点表示的数为（ ）
A． B． C． D．
7．（本题3分）（25-26八年级上·全国·单元测试）将挂好彩旗的旗杆垂直插在操场上，旗杆从旗顶到地面的高度为，在无风的天气里，彩旗自然下垂，如图①．彩旗完全展平时的尺寸（单位：）如图②的长方形，则彩旗下垂时最低处离地面的最小高度h是（ ）
A． B． C． D．
8．（本题3分）（25-26八年级上·陕西西安·开学考试）在中，、、的对应边分别是，，．下列条件中，不能判断是直角三角形的是（ ）
A． B．
C． D．
9．（本题3分）（24-25八年级下·湖北孝感·期中）体育公园边有一块如图所示的地，其中，，则这块地的面积为（ ）．
A．216 B．270 C．432 D．540
10．（本题3分）（11-12九年级上·浙江绍兴·期中）如图，中，的中垂线交于E，交于D，若，则的周长为（　　 ）
A．14 B．16 C．20 D．18
11．（本题3分）（25-26八年级上·江苏宿迁·期中）如图，三角形纸片中，点是边上一点，连接，把沿着直线翻折，得到，交于点，连接交于点，若，，，的面积为，则的长是（ ）
A． B． C． D．
12．（本题3分）（25-26八年级上·河南郑州·期中）如图，，过点P作且，再过点，作且，又过点作且，…依此法继续作下去，则的长度为（ ）
A． B． C． D．
评卷人得分
二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
13．（本题3分）（22-23八年级上·北京·期末）在中，，若，则______．
14．（本题3分）（13-14九年级·浙江温州·周测）如图，长方形的顶点，在数轴上，点表示若以点为圆心，对角线长为半径作弧，交数轴正半轴于点，则点所表示的数为______．
15．（本题3分）（21-22八年级下·全国·单元测试）已知：如图，四边形， ， ，，且．则四边形的面积为_______．

16．（本题3分）（22-23八年级下·重庆九龙坡·期中）如图，某会展中心准备将高，长，宽的楼道铺上地毯，若地毯每平方米元，则铺完这个楼道至少需要______元．
评卷人得分
三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（本题6分）（19-20八年级上·广西玉林·期中）如图，在△ABC中，，于点D，，，．请求出△ABC的面积和CD的长．
18．（本题6分）（21-22八年级下·辽宁大连·期末）《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺．问折高者几何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈＝10尺），一阵风将竹子折断，其竹稍恰好抵地，抵地处离竹子底部3尺远，问折断处离地面的高度是多少？
19．（本题6分）（20-21七年级下·安徽·月考）在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方，这个定理称为“勾股定理”．即在直角三角形中（如右图），．两条直角边分别为，，斜边为．则．利用勾股定理解答下列问题：
(1)在直角三角形中，，，，求的长．
(2)如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的的网格中，每个小格的顶点叫做格点．
①在图中，利用勾股定理求线段的长度．
②在图中，画一条格点线段，使．
20．（本题6分）（22-23八年级上·河南开封·期末）某条高速公路限速，如图，一辆大巴车在这条道路上沿直线行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪C处的正前方的B处，过了，大巴车到达A处，此时测得大巴车与车速检测仪间的距离为．
(1)求的长．
(2)这辆大巴车超速了吗
21．（本题8分）（24-25八年级下·重庆·月考）山青林场准备对一块四边形空地进行绿化改造，某中学数学兴趣小组的同学们帮助工作人员进行了测量，得到如下数据：，从点A修一条垂直的小路(垂足为点E)， ，点E恰好是的中点．
(1)求边的长；
(2)求空地的面积．
22．（本题8分）（24-25八年级下·陕西渭南·期末）如图，在中，，平分交于点，点为上一点，，连接．
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
23．（本题10分）（20-21八年级上·福建泉州·期末）有一块四边形草地（如图），测得，，，．
(1)求的度数；
(2)求四边形草地的面积．
24．（本题10分）（24-25八年级下·辽宁铁岭·月考）【初步感知】
（1）如图1，在三角形纸片中，，，点，分别在边，上，将沿折叠，使点与点重合．，求的长；
【深入探究】
（2）如图2．将长方形纸片沿对角线折叠，使点C落在点处，交于点E．若，，求的长．
25．（本题12分）（24-25八年级下·河北保定·期末）综合与实践
问题情境：某小区的社区管理人员计划在临街的拐角建造一块绿化地（阴影部分），现面向小区居民征集设计方案，欣欣和强强合作一起完成了绿化地和引水灌溉方案的设计．
欣欣设计的绿化地及浇灌点方案如下：如图，，在上选取两点E，F为浇灌点，从水源点G处铺设管道引水．
强强设计的铺设管道方案如下：
方案一：从水源点G处直接铺设管道分别到浇灌点E，F；
方案二：过点G作的垂线，垂足为H，先从水源点G处铺设管道到点H处，再从点H处分别向浇灌点E，F铺设管道．
社区管理人员按照欣欣设计的绿化地及浇灌点方案施工，施工人员在只有卷尺的情况下，通过测量某两点之间的距离，就确定了．
(1)施工人员测量的是点 与点 之间的距离．
(2)若绿化地建造每平方米的费用为100元，求建造绿化地的费用．
(3)若，，管道铺设费用为50元/米，请比较强强设计的两种铺设管道方案所花的费用，并求出铺设管道所需的最少费用．
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《第二十章 勾股定理单元测试B卷》
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A B B D B B A D A A
题号 11 12
答案 A B
1．A
【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，解题的关键是掌握勾股定理的逆定理．
根据勾股定理的逆定理，若三角形中两边的平方和等于第三边的平方，则第三边所对的角是直角．
【详解】解：∵，
∴为斜边，且对边是，
∴．
故选A．
2．B
【分析】本题考查的是等腰三角形的定义，勾股定理的应用，二次根式的化简，将四个选项中的点的坐标分别代入逐一判断即可得出结论．
【详解】解：当时，
，，
∴，
∴是等腰三角形，故选项A不符合题意；
当时，
，
∴是等腰三角形，故选项D不符合题意；
当时，
，
∴是等腰三角形，故选项C不符合题意；
当时无法得出是等腰三角形，故选项B符合题意，
故选：B．
3．B
【分析】本题考查的是勾股定理及勾股定理的逆定理的应用，熟悉“利用勾股定理的逆定理判断直角三角形”是解题的关键．先利用勾股定理分别求解 ，，，再证明，，从而可得答案．
【详解】解：如图，连接，
由勾股定理得：，，，
，，
，，
故选B．
4．D
【分析】此题考查的是勾股定理的应用，掌握勾股定理的内容是解决此题的关键．先根据题意求得，再求得，，，从而利用勾股定理求得的长；然后再利用勾股定理求得的长，进而利用线段的和差关系，求得即可．
【详解】解：如图，，，，，
在中，
∵，
∴，
∴
∴，即小巷的宽度为2.7米．
故选：D．
5．B
【分析】本题考查的是勾股定理，熟练掌握勾股定理与正方形面积的关系是解题的关键．根据正方形面积与边长的关系，结合勾股定理得，推导出关系，进而求出结果．
【详解】解：由正方形的面积计算可知，，
在中，，
，
故选：B．
6．B
【分析】本题考查勾股定理、在数轴上表示无理数、基本尺规作图-作相等线段等知识，熟练掌握勾股定理求线段长是解决问题的关键．
先由勾股定理求出，再由基本尺规作图得到，则，从而得到答案．
【详解】解：如图所示：于，
在中，，，，则由勾股定理可得，
以点为圆心，的长为半径画弧，交数轴于点，
，
则，
点表示的数为，
故选：B．
7．A
【分析】本题考查了勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
先理解题意，得，再结合勾股定理得，故，再把数值代入进行计算，即可作答．
【详解】如图，连接．
依题意，
∵，
∵在中，，
∴，
∴．
故选：A．
8．D
【分析】本题考查了直角三角形的判定，涉及勾股定理的逆定理、三角形的内角和等知识，根据所给的条件，结合勾股定理逆定理、三角形内角和定理逐项判断即可作答．
【详解】解：∵，则，
∴是直角三角形，故 A 选项不符合题意；
∵，
∴可设，
∴，
即，
∴是直角三角形，故B选项不符合题意；
∵，且，
∴，
∴是直角三角形，故C选项不符合题意；
∵，
∴最大角，
∴不是直角三角形，故D选项符合题意，
故选：D．
9．A
【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理，先利用勾股定理求出，再证明，，据此根据这块地的面积列式求解即可．
【详解】解；如图所示，连接，
在中，由勾股定理得，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴这块地的面积，
故选：A．
10．A
【分析】本题主要考查勾股定理及线段垂直平分线的性质，熟练掌握勾股定理及线段垂直平分线的性质是解题的关键；先根据勾股定理求出的长，再由线段垂直平分线的性质得出，即，再由即可求出答案．
【详解】解：∵中，，，
∴，
∵是线段的垂直平分线，
∴，
∴，即，
∴的周长．
故选：A．
11．A
【分析】先由沿着直线翻折，得到，证明垂直平分，再由，根据勾股定理求得，再由，得，则，即可列面积等式求得，则，再根据勾股定理求得．
【详解】解：∵沿着直线翻折，得到，
∴垂直平分，
∴，，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的长是，
故选A．
【点睛】本题考查了轴对称的性质、勾股定理的应用、根据面积等式求线段的长度等知识与方法，根据勾股定理求得，再列面积等式求得是解题的关键．
12．B
【分析】本题考查了勾股定理，找到图形变化的规律是解题的关键．由勾股定理求出，，的长，依此类推可知，即可求解．
【详解】解：在直角三角形中，由勾股定理得：，
在直角三角形中，由勾股定理得：，
在直角三角形中，由勾股定理得：，
…，
依此类推，为正整数，
当时，，
故选：
13．
【分析】利用勾股定理得，再代入计算即可．
【详解】解：在中，，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理解题的关键．
14．
【分析】本题考查实数与数轴，勾股定理等知识；先利用勾股定理求出，根据，点M表示的数为，由此即可解决问题．
【详解】解：由已知可得，
在中，，
，
点M表示的数为
故答案为：．
15．
【分析】本题主要考查的是勾股定理的逆定理：已知的三边满足，则是直角三角形．连接，由已知条件结合勾股定理求得、的面积，从而求得四边形的面积．
【详解】解：连接，

∵，
∴是直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∵在中，，
∴是直角三角形，
∴，
∴四边形的面积为，
故答案为：．
16．
【分析】本题考查了勾股定理的应用，利用勾股定理可得，即得地毯的长为，进而可得地毯的面积，再乘以单价即可求解，掌握勾股定理的应用是解题的关键．
【详解】解：由勾股定理得，，
∴地毯的长为，
∴地毯的面积为，
∴铺完这个楼道至少需要元，
故答案为：．
17．△ABC的面积为，CD的长为cm
【分析】根据直角三角形面积公式即可求解三角形的面积，再根据直角三角形面积的两种计算方法求出斜边上的高．
【详解】解：∵∠ACB=90
∴
∵
∴
∴
答：△ABC的面积为，CD的长为cm．
【点睛】本题考查直角三角形的性质及其面积公式，解题的关键是熟知三角形面积不变．
18．尺
【分析】设折断处离地的高度为尺，利用勾股定理建立方程，解方程即可得．
【详解】解：设折断处离地的高度为尺，
由勾股定理得：，
即，
解得，
答：折断处离地的高度为尺．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题关键．
19．(1)；
(2)①；②见详解．
【分析】该题考查了勾股定理．
（1）利用勾股定理，求解即可．
（2）①利用勾股定理求解即可．
②利用数形结合的思想解决问题即可．
【详解】（1）解：因为，
所以，
所以，
因为，所以．
（2）解：①，所以．
②如图2中，线段即为所求作．
20．(1)
(2)大巴车超速了
【分析】本题考查了将实际问题转化为直角三角形中的数学问题，理解题意是解题关键．
（1）在中，根据勾股定理即可求出的长；
（2）根据（1）中结果求出大巴车的速度，即可判断出结果．
【详解】（1）解：由题意可知，，，
，
（2）由（1）得：大巴车的速度为，
，
大巴车超速了．
21．(1)
(2)
【分析】本题考查垂线的定义，勾股定理，垂直平分线的判定与性质，掌握知识点是解题的关键．
(1)利用勾股定理求出即可求解；
(2)连接AC，由线段垂直平分线的性质得，进而由勾股定理的逆定理得是直角三角形，再根据计算即可求解．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴是直角三角形，
在中， ，
由勾股定理得：，
∵E是的中点，
∴；
（2）如图，连接AC，
∵，E是的中点，
∴是的垂直平分线，
∴，
∵，
∴，
即，
∴是直角三角形，，
∴，
答：空地ABCD的面积为．
22．(1)见解析
(2)
【分析】本题主要考查了勾股定理，全等三角形的性质与判定，证明是解题的关键．
（1）利用证明得到，则由勾股定理可证明结论；
（2）由全等三角形的性质得到，由勾股定理可得，设，则，由勾股定理可得，解方程即可得到答案．
【详解】（1））证明：平分，
∴，
又∵，，
∴，
，
；
（2）解：，
．
在中，由勾股定理可得，
设，则，
在中，由勾股定理可得，
∴．
解得，即的长为．
23．(1)
(2)
【分析】本题主要考查了勾股定理和逆定理的应用，
（1）连接，由等边三角形的判定证得是等边三角形，得到，再由勾股定理的逆定理证得，即可求得；
（2）过作于，由等腰三角形的性质求得，再由勾股定理求得，由三角形的面积公式可求得和，即可求得结论．
正确作出辅助线证得是等边三角形是解决问题的关键．
【详解】（1）解：连接，
，．
是等边三角形，
，，
在中，，，，
，
，
；
（2）过作于，
，
，
，
四边形草地的面积，
答：四边形草地的面积为．
24．（1）12；（2）3
【分析】此题考查了图形的翻折变换及其性质，勾股定理．
（1）先求出，由折叠性质得：，在中，由勾股定理即可求出的长；
（2）根据长方形性质得，，，由折叠性质得，，由此依据判定和全等得，设，则，，然后在中，由勾股定理求出，继而可得的长．
【详解】解：（1）在中，，，
∵，
∴，
由折叠性质得：，
在中，由勾股定理得：；
（2）∵四边形是长方形，，，
∴，，，
由折叠性质得：，，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴，
设，则，，
在中，由勾股定理得：，
∴，
解得：，
∴．
25．(1)A，C
(2)建造绿化地的费用为11400元
(3)方案一所花的费用700元方案二所花的费用740元，铺设管道所需的最少费用为700元
【分析】本题考查了勾股定理以及勾股定理的逆定理的实际应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）直接运用勾股逆定理进行列式计算，即可作答．
（2）直接运用勾股逆定理进行列式计算，得证，再计算， ，最后相加，即可作答；
（3）根据勾股定理得到，根据三角形的面积公式得到，求得方案一：铺设管道所花的费用（元），方案二：铺设管道所花的费用（元），于是得到结论．
【详解】（1）解：连接，
施工人员测量的是A，C两点之间的距离，
∵
∴，
∴，
即当测量A，C两点之间的距离为
∴满足勾股逆定理得；
∴，
故答案为：A，C；
（2）解：∵，，
∴，
∴，
∴，
∴
∴四边形的面积，
∴建造绿化地的费用（元）；
（3）解：∵，
∴
∵，
∴，
∴
∴求得方案一：铺设管道所花的费用（元），
方案二：铺设管道所花的费用（元），
∵
∴铺设管道所需的最少费用为700元．
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