资源简介

中小学教育资源及组卷应用平台
中小学教育资源及组卷应用平台
第二十章 勾股定理单元测试A卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
评卷人得分
一、单选题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（本题3分）（20-21八年级上·陕西咸阳·期末）下列各组数中，是勾股数的一组是（ ）
A．2，3，4 B．，， C．4，4，7 D．5，，
2．（本题3分）（25-26八年级上·福建三明·月考）在中，，且，，则的值是（ ）
A．1 B． C．5 D．7
3．（本题3分）（25-26八年级上·全国·随堂练习）如图，的周长为，，且，则的长为（ ）
A．9 B．12 C．15 D．18
4．（本题3分）（23-24八年级下·黑龙江·期中）如图是以直角三角形各边为边在三角形外部画正方形得到的．每个正方形中的数字及字母表示所在正方形的面积，其中的值为（ ）
A．6 B．5 C．8 D．7
5．（本题3分）（21-22八年级下·河北邢台·期末）课堂上，王老师要求学生设计图形来证明勾股定理，同学们经过讨论，给出两种图形，能证明勾股定理的是（ ）
A．①行，②不行 B．①不行，②行 C．①，②都行 D．①，②都不行
6．（本题3分）（25-26八年级上·贵州贵阳·期中）如图，圆柱形玻璃杯，高为，底面周长为，在杯内的点处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在蜂蜜相对的正上方的点处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为（ ）
A． B． C． D．
7．（本题3分）（25-26八年级上·上海·期中）如图，在中，，点是、平分线的交点，且，，则点到边的距离为（ ）
A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm
8．（本题3分）（21-22七年级下·广东佛山·期末）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，则和的关系为（ ）
A． B． C． D．
9．（本题3分）（25-26八年级上·甘肃武威·期末）如图，在中，，，，是边上的高，将沿射线方向平移得到，与交于点，且，连接，下列判断错误的是（ ）
A． B．平分
C． D．
10．（本题3分）（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，在四边形中，，，，，，那么四边形的面积是（ ）
A．10 B． C． D．
11．（本题3分）（25-26八年级上·广东深圳·期中）一艘轮船从A港向南偏西方向航行到达B岛，再从B岛沿方向航行到达C岛，A港到航线的最短距离是．则岛和港之间的距离（ ）
A． B． C． D．
12．（本题3分）（2025·安徽芜湖·二模）如图，中为上的中线，，垂足为，，，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
评卷人得分
二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
13．（本题3分）（19-20七年级下·福建厦门·月考）如图，点A表示的实数是___．
14．（本题3分）（10-11九年级下·北京昌平·月考）如图，在的正方形网格中标出了和，则_____．
15．（本题3分）（15-16八年级上·江苏扬州·期中）如图是一个三级台阶它的每一级的长、宽和高分别等于和，A和B这个的两个相对的端点，A点上有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，这只蚂蚁从A点出发，沿着面爬到B点，最短线路为______．
16．（本题3分）（24-25九年级下·四川绵阳·开学考试）如图，，，，，，则这个图形的面积为______．
评卷人得分
三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（本题6分）（25-26八年级上·陕西汉中·期中）在中，，，，求的面积．
18．（本题6分）（23-24八年级下·浙江台州·期中）如图，有两棵树，分别记为，．其中一棵树高12米，另一棵树高6米，两棵树相距8米．若一只小鸟从树梢A飞到树梢C，求小鸟飞行的最短距离．
19．（本题6分）（25-26八年级上·吉林长春·开学考试）如图，在四边形中，，点在边上，连接．
(1)求证：；
(2)当，时，求的长．
20．（本题8分）（25-26八年级上·江西鹰潭·期中）如图，正方形方格中的每个小正方形的边长都是1，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）．
(1)在图1中，作一个直角三角形，使得三角形的顶点都在格点上，且三边都为有理数．
(2)在图2中，作一个直角三角形，使得三角形的顶点都在格点上，且斜边的长为，另两条直角边均为无理数．
21．（本题8分）（25-26八年级上·浙江杭州·月考）已知：如图，在中，，，，是斜边上的高．
(1)求的长；
(2)求的长．
22．（本题6分）（25-26八年级上·湖南永州·期末）如图，点B， C表示两地， 点A表示供水站，千米，千米，千米．为了方便供水站A往B，C两地供水，现有两种管道铺设方案．
方案一：从供水站A直接铺设管道到B，C两地，即铺设的管道总长为；
方案二：过点A作，垂足为点D，从供水站A铺设管道到点D，再从点D分别铺设管道到点B，C两地，即铺设的管道总长为．
(1)试判断图中构成的的形状，请说明理由；
(2)两种方案中，哪一种方案铺设管道总长较短 请通过计算说明．
23．（本题10分）（25-26八年级下·全国·单元测试）如下图，，，，点在边上，点在边上，交于点．若，，求的长．
24．（本题10分）（25-26八年级上·宁夏银川·期中）“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢．”某校八（1）班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度（如图），他们进行了如下操作：
①测得水平距离的长为8米；
②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为17米；
③牵线放风筝的小明的身高为米．
(1)求风筝的垂直高度．
(2)如果小明想让风筝沿方向下降5米，那么他应该往回收线多少米？
25．（本题12分）（25-26八年级上·陕西渭南·期中）如图，两村庄相距，为供气站，，，为了方便供气，现有两种方案铺设管道．
方案一：从供气站直接铺设管道分别到村和村（即管道总长为）；
方案二：过点作的垂线，垂足为点，先从铺设管道到点处，再从点处分别向、两村铺设管道（即管道总长为）．
(1)是直角三角形吗？为什么？
(2)在这两种方案中，哪一种方案铺设的管道总长度较短？请通过计算说明理由．
中小学教育资源及组卷应用平台
中小学教育资源及组卷应用平台
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
《第二十章 勾股定理单元测试A卷》
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D B A D A B C C B B
题号 11 12
答案 C D
1．D
【分析】本题考查了勾股树（数）问题，解题关键是掌握勾股树（数）并能运用求解．
根据勾股数的意义，通过计算对四组作出判断．
【详解】解：，故A不符合；
勾股数是整数，，，不是整数，故B不符合；
，故C不符合；
，故D符合，
故选：D．
2．B
【分析】本题考查了勾股定理，正确应用勾股定理确定各边长度是解题关键．
直接利用勾股定理得出的值即可．
【详解】解：在中，，且，，
∴，
故选：B．
3．A
【分析】本题考查勾股定理，根据，设，根据勾股定理求出的长，再根据三角形的周长列出方程进行求解即可．
【详解】解：∵，
∴设，，
∵，
∴，
∵的周长为，
∴，
解得：，
∴；
故选：A．
4．D
【分析】本题主要考查了勾股定理，根据勾股定理可知面积为4和面积为3的正方形的边长的平方和等于面积为S的正方形边长的平方，据此可得答案．
【详解】解：每个正方形中的数及字母S表示所在正方形的面积，
每个正方形中的数字以及字母S表示所在正方形的边长的平方，
∴由勾股定理得：；
故选：D．
5．A
【分析】根据图①可以得到（a+b）2＝ab×4+c2，然后化简即可；根据图①，无法确定a、b、c的关系．
【详解】解：由图①可得，
（a+b）2＝ab×4+c2，
化简，得：a2+b2＝c2，
故图①可以证明勾股定理；
根据图②中的条件，无法证明勾股定理；
故选：A．
【点睛】本题考查勾股定理的证明，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
6．B
【分析】本题考查了勾股定理的应用，将玻璃杯侧面展开，结合勾股定理计算即可得解，熟练掌握此知识点并灵活运用是解此题的关键．
【详解】解：将玻璃杯侧面展开如图所示：
由题意可得：，，，
∴，
故选：B．
7．C
【分析】本题主要考查了角平分线的性质应用，利用等面积法计算是解题的关键．
根据已知条件求出，过点作，，，根据等面积法计算即可；
【详解】过点作，，，连接，
，，，
，
平分，平分，
，
，
，
,
，
点到边的距离为．
故选．
8．C
【分析】本题考查了正方形网格，全等三角形的判定和性质，邻补角的性质，通过三角形全等求解是解题的关键．通过全等三角形的性质，邻补角的性质即可求解．
【详解】解：如图，在和中，
，
，
，
，
，
故选：C．
，
9．B
【分析】本题考查平移的性质，角平分线的性质，等腰三角形的判定，勾股定理．由平移的性质得到，，由角平分线性质定理的逆定理推出平分，勾股定理求出，由平行线的性质和角平分线定义推出，得到，因此．
【详解】解：由平移的性质得到，，故选项A正确；
∴，，
∴，
∵，，
∴平分，
∴，
∴，
∴，
∴．故选项D正确；
∵，，，
∴；故选项C正确；
无法得到平分；故选项B错误；
故选B．
10．B
【分析】本题考查了勾股定理与勾股定理的逆定理．
根据勾股定理求出的长，再利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，然后利用进行计算即可解答．
【详解】解：如图：
∵，，，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∴是直角三角形，
∴，
∴
．
故选：B．
11．C
【分析】本题主要考查勾股定理的应用．根据题意，利用勾股定理求出的长度，再求出的长度，再用勾股定理求出的长度即可．
【详解】解：由题意，得：，，
中，，
由，
∴，
中，，
答：C岛和A港之间的距离．
故选：C．
12．D
【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，能得出是直角三角形是解此题的关键．
首先由勾股定理的逆定理可判定是直角三角形，再根据勾股定理即可求得的长，最后根据三角形的面积公式即可求出．
【详解】解：∵，中为上的中线，
∴，
∵，
∴，
∴，
在中，，
，
，
∴，
故选：D．
13．
【分析】本题考查的是实数与数轴，勾股定理，从数轴上获取已知信息是解题的关键．
根据数轴上获取的条件和数轴上两点间的距离公式计算即可．
【详解】解：根据数轴可知，，
∴点A表示的实数是：，
故答案为：．
14．
【分析】本题考查勾股定理及其逆定理，等腰直角三角形的判定和性质．根据题意，作出合适的辅助线，然后根据勾股定理的逆定理即可解答本题．
【详解】解：如图所示，作，连接，

则，
设每个小正方形的边长为，
则，，，
，，
是等腰直角三角形，，
，
，
，
故答案为：．
15．13
【分析】考查了利用台阶的平面展开图求最短路径问题，根据题意判断出长方形的长和宽是解题关键．只需要将其展开便可直观的得出解题思路．将台阶展开得到的是一个长方形，蚂蚁要从A点到B点的最短距离，便是长方形的对角线，利用勾股定理即可解出答案．
【详解】解：将台阶展开，如下图，
因为，
所以，
所以，
所以蚂蚁爬行的最短线路为．
故答案为：．
16．24
【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理的运用，三角形面积的求法．关键是掌握勾股定理与逆定理．连接，在中，，，可求；在中，由勾股定理的逆定理可证为直角三角形，利用两个直角三角形的面积差求图形的面积．
【详解】解：连接，在中，，
，
在中，
，
为直角三角形；
图形面积为：
故答案为：．
17．54
【分析】本题考查勾股定理，熟练掌握勾股定理的内容是解题的关键．
根据勾股定理求出的长度，再根据三角形的面积公式计算即可．
【详解】解：在中，，，
根据勾股定理可得：
即
解得
因此
答：的面积为．
18．小鸟飞行的最短路程为10米
【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，根据“两点之间线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的顶端进行直线飞行，所行的路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出．解题的关键是将现实问题建立数学模型，运用数学知识进行求解．
【详解】解：如图，过点作于点，则四边形是长方形，连接．
∵米，米，米，
∴米，米，米，
在中，(米)，
故小鸟飞行的最短路程为10米．
19．(1)证明见解析
(2)5
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键．
（1）根据条件由即可证明全等；
（2）根据全等三角形得到，再由勾股定理即可求解．
【详解】（1）∵ ，
；
（2）∵，
20．(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理，熟知勾股定理及其逆定理是解题的关键．
（1）作一个两直角边的长分别为3和4的直角三角形即可；
（2）作一个三边长分别为，和的三角形即可．
【详解】（1）解：如图所示，即为所求；
（2）解：如图所示，即为所求．
21．(1)25
(2)12
【分析】本题主要考查了勾股定理：
（1）根据勾股定理即可求解；
（2）根据，即可求解．
【详解】（1）解：在中，∵，，，
∴；
（2）解：∵是斜边上的高，，
∴，
∵，，，
∴，
解得：．
22．(1)是直角三角形，见解析
(2)方案一所铺设的管道总长较短，见解析
【分析】此题考查了勾股定理的逆定理的应用，线段的和差计算等知识，证明是直角三角形是解题的关键．
（1）利用勾股定理的逆定理进行证明即可；
（2）分别求出两种方案的管道总长度，即可得到结论．
【详解】（1）解：是直角三角形．
理由如下：因为，
所以，所以是直角三角形；
（2）因为的，
所以（千米）．
方案一：铺设的管道总长为：（千米）；
方案二：铺设的管道总长为： （千米），
因为千米＜千米，所以方案一所铺设的管道总长较短．
23．
【分析】本题主要考查了勾股定理，平行线的性质，三角形内角和定理，等腰三角形的性质与判定等知识，证明为等腰直角三角形是解题的关键．
根据平行线的性质可得，进而可求出，从而为等腰直角三角形，利用勾股定理即可得出答案．
【详解】解：，，
．
，
，
，
为等腰直角三角形，
，
．
24．(1)风筝的垂直高度为米
(2)如果小明想让风筝沿方向下降5米，那么他应该往回收线米
【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握此知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）由题意可得，米，，，米，米，则，再由勾股定理求出的长即可得解；
（2）在上取点，使得米，连接，则米，在中，由勾股定理得出的长，即可得解．
【详解】（1）解：由题意可得：，米，，，米，米，
∴，
∴米，
∴米，
即风筝的垂直高度为米；
（2）解：如图：在上取点，使得米，连接，
，
则米，
在中，由勾股定理可得米，
∴（米），
故如果小明想让风筝沿方向下降5米，那么他应该往回收线米．
25．(1)是直角三角形．理由见解析
(2)方案一所修的管道较短，理由见解析
【分析】本题考查了勾股定理的逆定理、三角形面积的计算．
（1）由勾股定理的逆定理即可得出是直角三角形；
（2）由的面积求出，得出，即可得出结果．
【详解】（1）解：是直角三角形．理由如下：
，，
，
是直角三角形；
（2）解：方案一所铺设的管道较短,理由如下：
的面积，
，
，，
∵
方案一所铺设的管道较短．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
21世纪教育网(www.21cnjy.com)

展开更多......

收起↑