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2026 年高二下学期开学收心考试 数学试卷
考试时间:120 分钟 满分:150 分
一、选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的.
1. 直线 的倾斜角 ( )
A. B. C. 120° D.
2. 抛物线 的准线方程为( )
A. B.
C. D.
3. 记正项等比数列 的前 项和为 ,且 ,则 ( )
A. 243 B. 81 C. 27 D. 9
4. 圆 与圆 的公切线条数为( )
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
5. 给如图所示的由 七个正六边形区域组成的平面图形涂色, 有四种不同的颜色可供选择，每个区域只涂一种颜色，有公共边的两个正六边形区域颜色不相同, 则不同的涂色方案种数为 ( )
A. 144 B. 288 C. 432 D. 576
6. 跑步运动越来越受大众喜爱. 据统计，某校有高一、高二、高三三个年级，这三个年级中喜欢跑步运动的教师分别占该年级教师人数的 40%, 30%, 35%，且这三个年级的教师人数之比为3:3:4, 现从这三个年级中随机抽取一名教师, 则该教师喜欢跑步的概率为 ( )
A. 0.42 B. 0.36 C. 0.35 D. 0.45
7. 我国古代数学名著《九章算术》中将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑.在鳖臑 中, 平面 ,且 分别为 的中点, 则异面直线 与 所成角的正弦值为( )
A. B. C. D.
8. 已知椭圆 的左、右焦点分别为 ,过 的直线与椭圆 交于 两点,若 且 ,则椭圆 的离心率为 ( )
A. B. C. D.
二、选择题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分.在每小题给出的选项中, 有 多项符合题目要求.全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 若随机变量 ,则下列选项中正确的是 ( )
A. B.
C. D.
10. 设圆 的圆心为 ,直线 过 ,且与圆 交于 两点,若 ，则直线 的方程可以为( )
A. B.
C. D.
11. 如图, 是双曲线 与椭圆 的公共焦点,点 是 在第一象限的公共点,设 方程为 ,则有( )
A.
B. 的内切圆与 轴相切于点
C. 若 ,则 的离心率为
D. 若 ,则椭圆方程为
三、填空题:本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 在 的展开式中常数项是_____. (用数字作答)
13. 已知椭圆 的左、右焦点分别为 ,若点 在椭圆上运动,则 的取值范围为_____.
14. 已知 ,且 ,记随机变量 为 中的最小值,则 _____. 四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分.解答应写出文字说明, 证明过程或演算步 骤.
15. 某工厂推出一款新产品，为了调查顾客对该新产品的满意程度，厂家分别对甲地的 300 名使用者和乙地的 200 名使用者进行问卷调查, 统计并得到如下列联表:
甲地使用者 乙地使用者 合计
不满意 100 50 150
满意 200 150 350
合计 300 200 500
(1)根据小概率值 的独立性检验，分析使用者的满意度是否与区域有关；
(2)从使用该产品不满意的顾客中，采用分层抽样的方法随机抽取 9 名使用者，再从这 9 名使用者中随机抽取 4 人进一步调研,记 4 人中乙地人数为 ,求 的分布列和数学期望.
附录: .
0.15 0.1 0.05 0.025 0.01 0.001
2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828
16. 已知数列 的前 项和 .
(1)求数列 的通项公式；
(2)求数列 的前 项和 .
17. 如图,在直三棱柱 中, .
(1)求证: 为直角三角形；
(2)若平面 与平面 所成角的正弦值为 ，求 的值.
18. 我们约定, 如果一个椭圆的长轴和短轴分别是另一条双曲线的实轴和虚轴, 则称它们互为“姊妹”圆锥曲线. 已知双曲线 与椭圆 是“姊妹”圆锥曲线， 分别为 和 的离心率, .
(1)求椭圆 的方程；
(2)试确定 的取值范围，使得椭圆 上有两个不同的点关于直线 对称；
(3)若 是椭圆 上的两动点( 两点不关于 轴对称)， 为坐标原点， 的斜率分别为 ,问是否存在非零常数 ,使得 时, 的面积 为定值 若存在, 求出 的值; 若不存在,请说明理由.
19. 某学校举办一项竞赛活动, 首先每个班级选出 7 位候选人, 然后在这 7 人中随机选出 3 人组成竞赛小组参加预赛，预赛通过后再进入决赛.
(1)已知某班甲、乙、丙三人已经入围 7 位候选人之中，现从这 7 人中抽签随机选出 3 人组成竞赛小组去参加预赛，记甲、乙、丙 3 人中进入竞赛小组的人数为 ，求 的分布列与数学期望;
(2)预赛规则如下:竞赛小组每人相互独立同时做同一题，至少有两人做对该题方能进入决赛.若甲、乙、丙 3 人组成了竞赛小组，且甲、乙、丙能独立做对该题的概率分别为 ， ， ,求此竞赛小组能进入决赛的概率;
(3)假如只有 组与 组进入决赛，胜者获得冠军. 已知决赛规则如下:题库共有 道题， 两个小组同时做同一道题, 假设每道题都能做出, 且没有相同时间做出, 先做对该题的小组得 1 分,另一组不得分. 组每道题先做对的概率都为 组先做对的概率都为 ,且 ,各题做题结果相互独立.现在有两种赛制可以供 组选择,赛制一: 从题库中选出 道题,这 道题全部做完后,得分高的小组获得冠军; 赛制二: 做完 道题,得分高的小组获得冠军.你认为 组应该选择哪种赛制更有利于胜出 请说明理由并写出推导过程.
1. B
由 可得直线斜率 ,
又 ,
所以 .
故选: B
2. D
抛物线 的标准方程为: ,则焦点在 的正半轴,且 , 所以抛物线的准线方程为: ;
故选: D
3. A
设正项等比数列 的公比为 ,
且 ,则 ,
整理可得 ,解得 或 (舍去),
所以 .
故选: A.
4. A
圆 ,圆 ,
则 ,半径为 ,半径为 ,
则 ,
则两圆相离，故公切线条数为 4 .
故选: A
5. D
从四个不同的颜色中选出一种颜色给 涂色,有 4 种可能,再给 涂色,有 3 种可能,
给 涂色,有 2 种可能,给 涂色,有 2 种可能,给 涂色,有 3 种可能,
给 涂色,有 2 种可能,给 涂色,有 2 种可能,
这样给七个正六边形区域 涂色,
不同的涂色方案有 .
故选: D.
6. C
设事件 表示“随机抽取一名教师喜欢跑步”,事件 分别表示“抽到的教师来自高一、高二、高三年级”,
因为三个年级的教师人数之比为 ,
所以 ,
因为高一、高二、高三三个年级中喜欢跑步运动的教师分别占该年级教师人数的 40%, 30%, 35%,
所以 ,
根据全概率公式可得
故选:
7.
如图,作 ,以 为原点,建立空间直角坐标系,
不妨设 ,则 ,
因为 分别为 的中点,所以由中点坐标公式得 ,
则 ,设异面直线 与 所成角为 ,
可得 ,而 ,则 ,
由同角三角函数的基本关系得 ,解得 (负根舍去),
则异面直线 与 所成角的正弦值为 ，故 正确.
故选: C
8. A
如图所示,作 ,垂足为 .
,
点为 的中点.
.
,
,则 ,
.
在 Rt 中 ,
,
化简可得 ,解得 或 ,
又 ,所以 .
故选: A.
9.
由随机变量 可知 服从正态分布,正态密度曲线对称轴为 9,方差为 4,
所以 , A 说法正确;
说法正确;
说法正确;
说法错误;
故选: ABC
10. AC
圆 的圆心 ,半径 ,
当直线 的斜率不存在时,则直线方程为 ,
圆心 到直线 的距离为 1,满足 ,直线 符合题意;
当直线 的斜率存在时,设直线的方程为 ,即 ,
圆心 到直线 的距离 ,
此时直线 ，
所以直线的方程为 或 .
故选: AC
11. BCD
A. 由双曲线 ,所以 ,故 A 错误;
B. 设 的内切圆的圆心为 ,且圆心与边 相切于 ,
可得 ,
又因为 ,
所以 ,
又 ，解得: ， ，
可得 的横坐标为 1,即 的横坐标为 1,故 正确;
C. 在椭圆 中， ， ，
则 ,
由 ,得 ,得 ,
则 的离心率 ,故 正确;
D. 因为 ,
则 ,
若 ,则 ,
又 ,解得 ,
则椭圆方程为 ,故 正确.
故选: BCD
12. 14
设 项为常数项, ,
则有 ,解得 ,
故答案为: 14 .
13.
由题可知 ,
令 ,则 ,
因为 ,所以 ,即 ,
所以 ,
当 或 5 时, 取到最小值为 5 ; 当 时, 取到最大值为 9,
即 的取值范围是 .
故答案为:
14.
由 ,且 ,相当于 7 个 1 之间的 6 和空隙中插入两个挡板, 所以共有 种情况,
因为随机变量 为 中的最小值,所以随机变量 为 1 或 2,
当最小数字为 1 时, 可分为两种情况:
①三个数字中只有一个 1 时, 设其中一个数为 1 ,
则另两数之和为 6 , 且均不小于 2 , 这两个数可以是 (2,4) 或 (3,3) ,
当三个数为 时,有 种排列,
当三个数为 时,有 种排列. 故共有 种情况;
②三个数字中有两个 1 时，有 种情况，
所以概率为 ;
当最小数字为 2 时,则三个数字为2,2,3,有 种情况,
所以概率为 ,
则 ,
则 .
故答案为: .
15. (1)零假设 为:使用者的满意度与区域无关，代入 列联表中的数据可得:
根据小概率值 的独立性检验,没有充分证据推断 不成立,因此可以认为 成立, 故可认为使用者的满意度与区域无关.
(2)从使用该产品不满意的顾客中，采用分层抽样的方法，得到甲地使用者与乙地使用者的抽样比为 ,
则 9 名使用者中甲地 6 人、乙地 3 人.
因为 4 人中乙地人数为 ,所以 的可能取值为0,1,2,3,其对应的概率分别为:
的分布列为:
0 1 2 3
5 42 5 14
故数学期望为 .
16.
(2)
(1) 因为 ,
所以当 时, ,
又 时, 满足上式,
故 .
(2)
.
17. (1)在直三棱柱 中， ，则有 ，
又 ,
在 中，由余弦定理 可得:
解得: ,
有 ,所以 ,
在直三棱柱 中， 平面 ,
平面 ,所以 ,
平面 ,所以 平面 ,
平面 ,所以 为直角三角形.
(2)建立以 为原点，分别以 ， ， 所在直线为 ， ， 轴的空间直角坐标系，
设 ,则 ,
设平面 的一个法向量为 ,
则 ,令 ,则 ,即 ,
设平面 的一个法向量为 ,
则 ,令 ,则 ,即 ,
又面 与平面 所成角的正弦值为 ,
所以 ,
又因此 ,
即 ,两边平方可得: ,
即 ,求解可得: ,
即 或 (舍去).
18.
(3)存在, .
(1) 已知双曲线 ,由 “姊妹”圆锥曲线的定义,可设椭圆 的方程为
则 ,整理得 ,解得 ,
椭圆 的方程为 .
(2)
设椭圆 上 ,两点关于直线 对称,
设 的中点为 ,则 .
因为点 在椭圆上,所以 ,两式相减得 , 又因为 ,所以 即 ,所以 ,
又因为点 在直线 上,所以 ,即 ,所以 . 因为点 在椭圆 内部,所以 ,
得 ,即 .
所以 的取值范围为 .
(3)
存在非零常数 ,使 时, 的面积 为定值.
设存在这样的常数 ,使 时, 为定值.
设直线 的方程为 ,且直线 与 的交点坐标分别为 , ,
,
.
联立 ,得 ,
由韦达定理,可得 ,
,
即 ,因此 .
:点 到直线 的距离为 ，
,
.
要使得 的面积 为定值，只需 ，得 ，
即 ,解得 ,
此时 ,即 ,
故存在非零常数 ,使得 时, 的面积 为定值 1 .
19. (1) 由题意知随机变量 的取值可以为0,1,2,3,
所以 的分布列为
0 1 2 3
18 12 35
的数学期望 ;
(2)设甲、乙、丙能独立做对该题的事件分别为 ，
则至少有两人做对该题的事件为:
，所以竞赛小组能进入决赛的概率为
;
(3)按照赛制一，设做完选定的 题后， 组的得分为 ，则 ，
组取得胜利的概率为 ;
按照赛制二,可以认为在赛制一的基础上再把剩下的两道题做完,
不妨设做完 题, 组取得胜利的概率为 ,
则 ,
已知 ，所以 ，
所以 ,因此 组采用赛制二更有利于胜出.

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