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高二开学摸底检测 数学
分值: 150 分 时间: 120 分钟
一、选择题: 本大题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分.每小题四个选项中只有一 项符合题目要求.
1. 已知直线经过点 ,下列向量不是该直线的方向向量的为( )
A. B. C. D.
2. 已知 . 若 ，则 的值为( )
A. -2 B. 2
C. D.
3. 已知直线 过直线 和 的交点,且与直线 垂直,则直线 的方程为( )
A. B.
C. D.
4. 圆心为 ,且经过原点的圆的方程是( )
A. B.
C. D.
5. 若椭圆 的左焦点的坐标为 ，则 的值为( )
A. 1 B. 1 或 5 C. 5 D. 3 或 5
6. 已知点 在平面 内,点 在平面 外,且平面 的一个法向量为 ,则点 到平面 的距离为 ( )
A. B. C. D.
7. 圆 与圆 的位置关系是( )
A. 内含 B. 内切 C. 外离 D. 相交
8. 已知双曲线 的离心率为 ,则双曲线 的渐近线方程为 ( )
A. B. C. D.
二、选择题, 本大题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分.在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要求.全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 以直线 与坐标轴的交点为焦点的抛物线的标准方程为( )
A. B.
C. D.
10. 已知等差数列 的通项公式为 ，则()
A. B. C. D.
11. 若方程 所表示的曲线为 ,则( )
A. 曲线 可能是圆 B. 当 时,表示焦点在 轴上的椭圆,焦距为
C. 若 ,则 为椭圆 D. 若 为椭圆,且焦点在 轴上,则
三、填空题:本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 在棱长为 2 的正方体 中， 为棱 上任意一点，则 _____.
13. 若圆 与圆 没有公共点,则实数 的取值范围为_____.
14. 设椭圆 的左右焦点为 ,椭圆上点 满足 ,则 的面积为_____.
四、解答题:本大题共 5 小题, 共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算 步骤.
15. 已知圆 与 轴相切于点 ,圆心在经过点 与点 的直线 上.
(1)求圆 的方程；
(2)圆 与圆 相交于 ， 两点，求两圆的公共弦 的直线方程.
16.(1)已知椭圆的对称轴为坐标轴，离心率 ，短轴长为 ，求椭圆的方程；
(2)已知椭圆的两焦点为 ，点 在椭圆上，若 面积的最大值为 12， 求此椭圆的方程.
17. 已知公差不为零的等差数列 的前 3 项和为 3,且 成等比数列.
(1)求 的通项公式；
(2)设 ，求数列 的前 项和 .
18. 如图,四棱锥 的底面是边长为 4 的菱形, , 是 的中点.
(1)证明:平面 平面 .
(2)求平面 与平面 的夹角的余弦值.
19. 已知抛物线 与直线 相交于 两点.
(1)求证: ；
(2)当 的面积等于 时，求 的值.
1. A
直线经过点 ,
与向量 共线的非零向量均为该直线的方向向量,
选项 A: 假设向量 与 共线,则 ,
由 得 得 ,故不存在唯一的 ,使得 成立,
故向量 不是该直线的方向向量;
选项 B:假设向量 与 共线，则 ，解得 ，
故向量 是该直线的方向向量；
选项 C: 假设向量 与 共线,则 ,解得 ,
故向量 是该直线的方向向量;
选项 D: 假设向量 与 共线,则 ,解得 ,
故向量 是该直线的方向向量.
故选: A.
2. C
因为 ,
所以 .
故选:
3. A
联立 ,解得 ,
直线 和 的交点为 ,
又直线 和直线 垂直,
直线 的斜率为 -3 .
则直线 的方程为 ,即 .
故选: A.
4. A
因为圆心为 ,所以设圆的方程为 , 因为圆经过原点,所以 ,解得 所以所求圆的方程为 .
故选: A
5. C
根据左焦点的坐标为 ,可得 ,且焦点在 轴上,
结合椭圆标准方程可得 ,故 .
故选: C.
6. A
因为 ,
所以点 到平面 的距离为 .
故选: A.
7. D
的圆心和半径为 的圆心和半径为 ,
故 ,故两圆相交,
故选: D
8. A
因为双曲线 的离心率为 ,所以 ,可得
故双曲线 的渐近线方程为 .
故选: A.
9. BD
直线 与坐标轴的交点为 ,
故以 和 为焦点的抛物线标准方程分别为 和 .
故选: BD.
10. AD
令 ,则 ;
公差 .
故选: AD.
11. AD
对于 ,当 ,解得 ,此时方程为 ,表示圆,故 正确; 对于 ,当 时,方程为 表示焦点在 轴上的椭圆,
且 ,所以 ,解得 ,焦距为 ,故 错误;
对于 ,由 知, 表示圆,故 错误;
对于 ,若 为椭圆,且焦点在 轴上,则 ,解得 ,故 正确. 故选: AD.
12. 4
由题意,
在正方体 中,棱长为 2,
, 故答案为: 4 .
13.
由已知得 ,半径 ,半径 .
因为 ,两圆没有公共点,
所以两圆的位置关系为外离或内含,
所以 或 ,
即 或 ,
所以 或 ,即 或 或 .
所以实数 的取值范围为 .
故答案为:
14. 12
由椭圆定义可得 ,
则有 ,即 ,
又 ,
由 ,故 ,
故 .
故答案为: 12 .
15. ;
(2)
(1) 经过点 与点 的直线方程为 .
由题意可得,圆心在直线 上,
由 ,解得圆心坐标为 ,
故圆 的半径为 4 .
则圆 的方程为 ;
(2) 圆 的方程为
即 ,
圆 ,
两式作差可得两圆公共弦所在直线方程为 .
16. (1) 或 ; (2)
(1) 因为椭圆离心率 ,所以设 ,
因为在椭圆中 ,所以 ,所以 ,
因为短轴长为 ,所以 ,所以 ,即 ,
所以 ,所以 ,
所以 ,所以 ,
因为椭圆焦点位置不确定,所以当椭圆焦点在 轴上时,椭圆方程为 ,
当椭圆焦点在 轴上时,椭圆方程为 ,
所以,椭圆的方程为 或 .
(2)设点 坐标为 ，因为椭圆的两焦点为 ，
所以 ,则 ,
所以当 最大时， 的面积的最大，且 ，所以 ，
因为点 在椭圆上，所以 点坐标为 ，所以 ，
所以 ,且 ,即 ,
因为在椭圆中 ,所以 ,
所以椭圆的方程为 .
17. (1) ；(2) .
(1)设 的公差为 ，
因为等差数列 的前 3 项和为 3,且 成等比数列,
所以
解得
.
(2) ,
,
数列 是首项为 ,公比为 9 的等比数列,
.
18.
(1) 由题可得 ,
所以在 中由余弦定理得 ,
所以 ,所以 ,
因为 为 的中点,所以 .
又 ,故 ,
所以 ,
又 平面 平面 ,
所以 平面 ,又 平面 ,
所以平面 平面 .
(2)由(1)知 平面 ，故可以 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
由 得 ,
所以 .
设平面 的一个法向量 .
易得 ,即 ,取 ,可得 ,
设平面 的一个法向量 ,
易得 ,即 ,取 ,可得 ,
易得 ,
故平面 与平面 夹角的余弦值为 .
19. (1) 由方程 与 联立,消去 后,整理得 .
由题意易知 ,且 ,
设 ,由韦达定理 ,
在抛物线 上, ,
则 .
.
(2)
设直线与 轴交于 ,又显然 令 ,则 ,即 ,
又 ,
，且 ，
则 ,解得 .

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