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书生中学 2025 学年第二学期高一数学试卷
时间:100 分钟 满分:100 分
一、单项选择题: 本题共 8 小题, 每小题 3 分, 共 24 分. 在每小题给出的四个 选项中, 只有一项是符合题目要求的.
1. 命题“ ”的否定是( )
A. B.
C. D.
2. 若函数 的定义域为 ,则实数 的取值范围是( )
A. B. C. D. 或
3. 已知非零向量 满足 ，且 ，则 与 的夹角为( )
A. B.
C. D.
4. 函数 的单调递增区间是( )
A. B. C. D.
5. 幂函数 的图象过点 ,则函数 的值域是( )
A. B. C. D.
6. 已知 ，则 ()
A. B. 1 C. 0 D.
7. 已知函数 ，则( )
A. 的定义域为
B. 在定义域内单调递减
C. 的最大值为
D. 的图象关于直线 对称
8. 已知 是定义域为 的奇函数,满足 ,若 ,则
A. 2023 B. 0 C. 3 D. -2023
二、多项选择题: 本题共 2 小题, 每小题 6 分, 共 12 分. 在每小题给出的选项 中, 有多项符合题目要求. 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分.
9. 下列函数中,为奇函数且在 上单调递增的是( )
A. B.
C. D.
10. 下列命题正确的是( )
A. 不存在函数 满足定义域相同,对应关系相同,但值域不同
B. 命题“ , ”的否定是“ ,
C. 已知 是第一象限角，则 “ ” 是 “ ” 的充要条件
D. 三个内角 满足
三、填空题:本题共 3 小题，每小题 4 分，共 12 分.
11. 若向量 ，则 _____.
12. 函数 的零点有_____个.
13. 已知 是直线 与曲线 最近的两个交点, 且 ，则 的值为_____.
四、解答题:本题共 5 题, 共 52 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步 骤
14. 已知集合 .
(1)当 时，求 ；
(2)若 ，求实数 的取值范围.
15. 如图，在 中， ，点 ， 分别是 ， 的中点. 设 .
(1)用 表示 ；
(2)如果 ，请判断 的位置关系？用向量方法证明你的结论.
16. 已知定义在 上的函数 图象关于原点对称,且 .
(1)求 的解析式;
(2)判断并用定义证明 的单调性;
(3)解不等式 .
17. 已知函数 的最小正周期为 .
(1)求图象的对称轴方程；
( 2 )将 图象向右平移 个单位长度得到函数 ，求函数 在 上的值域.
18. 已知函数 ,其中 .
(1)判断 与 的奇偶性；
(2)证明: ；
( 3 )若对任意 ，存在 ，恒有 成立， 求 的取值范围.
1. D
由题可得命题“ ”的否定是“ ”. 故选: D
2. C
当 时,不等式 恒成立.
当 时, 恒成立;
当 时,则需满足 ,
综合可得 的取值范围是 .
故选:
3.
由 ,得 ,则 , 而 ,则 ,所以 与 的夹角为 .
故选: B
4. C
,设 ,则 为增函数,
求函数 的单调递增区间,等价为求函数 的单调递增区间,
函数 的对称轴为 ，则函数 在 上是增函数,
则 的单调递增区间是 ,
故选: C.
5. C
设 ,
代入点 得
,
则 ,令
函数 的值域是 .
故选: C.
6. C
将 两边平方,得 ,
即 ,所以 ,
所以 .
故选: C.
7. AD
, 定义域为 , A 选项正确;
,令 ,
则 ,因为二次函数 的图象的对称轴为直线 ,
又因为 的定义域为 ,所以 的图象关于直线 对称, D 选项正确;
且在 上单调递增,在 上单调递减, B 选项错误;
当 时, 有最大值,所以 选项错误;
故选: AD.
8. C
因为 是定义域为 的奇函数,所以 , 因为 ,所以 ,
可得 ,所以 的周期为 4,
故 ,又 ,所以 ,
,所以 ,
则 .
故选: C.
9. BC
由 可得 为偶函数,所以 错误;
由 可得 为奇函数,函数 在 上单调递增,即函数 在 上单调递增, 所以 B 正确;
由 可得 为奇函数,函数 在 上单调递增,所以函数 在 上单调递增,所以 正确;
函数 为非奇非偶函数且在 上单调递增,所以 错误.
故选:
10. AD
对于 ,由函数的定义可知,当两个函数的定义域相同,对应关系相同,
则值域一定相同,故 正确;
对于 ,命题" "的否定是" ",故 错误; 对于 ,若取 ,满足 是第一象限角,且 ,但 ,故 错误;
对于 ,因为 ,所以 ,
所以 ,所以 ,故 正确.
故选: AD.
11.
由 ,
得 ,
则 ,
所以 ,
又 ,
所以 ,
故答案为:
12. 2
方法一: 由 ,得:
当 时, .
此时, 在 上单调递减,在 上单调递增.
又 ,
所以 在 上有一个零点,在 上没有零点.
当 时, ,
所以 在 上单调递增.
又 ,所以 在 上有一个零点.
综上所述，函数 的零点有 2 个.
故答案为:2.
方法二: 令 ,则 或 .
对于 ,
由 ,得 ,
因为 ,所以 ;
对于
由 ,得 ,所以 ,所以 ,满足 .
所以 .
综上,方程 的解为 和 3 .
所以函数 的零点有 2 个.
故答案为: 2 .
13. 3
相邻的两个交点 的横坐标分别为 ,则 , ,
或 ,
令 ,得 ,
则 ,故 .
故答案为: 3 .
14. (1) .
(2) .
(1) 当 时, ,所以 或 , 又 ,所以 .
(2)因为 ，所以 ，
当 ，即 时， ，满足题意，
当 时,由 ,得到 ,解得 , 所以实数 的取值范围为 .
15. (1) (1) ;
(2) ，证明见解析
(1)由 ，可得 ，
又点 分别是 的中点,
则 .
(2) ，证明如下:设 ，则 ， .
.
.
16. (1)
( 2 ) 在 上单调递增，证明见解析
(3)
(1)由题意可得 为奇函数，
,即
又 ,故 ,
即 ,此时有 ,
故 为奇函数,图象关于原点对称,
故 ;
(2) 在 上单调递增，证明如下:
令 ,
则
由 ,则 , 故 ,即 在 上单调递增;
(3)由题意可得 为奇函数，
则 得 ,
又 在 上单调递增,则有 ,解得 ,
故不等式的解集为 .
17.
(2)
(1) , ,所以函数的最小正周期 ,可得 ,
所以 ,
可得对称轴满足的条件 ,
即对称轴方程为 ;
(2)由(1)可得 ，
因为 ,
所以 ,
所以 ,
所以 的值域为 .
18. (1)因为 与 的定义域均为 ，
且满足 ,
即 为奇函数， 为偶函数.
(2)证明:
因为
(3)由(2)知 ，
所以 .
当 时,不等式成立,
当 时,即 .
又因为 ,
所以 ,
即为 .
因为 ,所以 ,
所以 ,
所以 ,
解得 ,
又因为 ,
所以 .

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