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2025—2026学年八年级数学下学期单元测试卷
第十九章 二次根式 单元测试·培优卷
（ 全卷满分120 分，考试时间120 分钟）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题（每题 3 分，共 30 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．当时，二次根式的值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．计算的结果是（ ）
A． B． C． D．
3．化简：的结果是（　　）
A． B．5 C． D．
4．下列计算不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．下列各式化成最简二次根式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
7．若，，则的值用a，b可以表示为（　　）
A． B． C． D．
8．实数，对应的点在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是（ ）
A． B． C． D．
9．对于正整数，定义，例如：．则的值为()
A． B． C． D．
10．如图，原图是一块边长为1，面积记为的正三角形纸板，沿原图的底边剪去一块边长为正三角形纸板后得到图①，面积记为，然后沿同一底边依次剪去一块更小的正三角形纸板，即其边长为前一块被剪掉正三角形纸板边长的后，得图②、③面积依次记为，，……，记第块纸板的面积为 ，则等于（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（每小题 3 分，共 18 分）
11．计算 ．
12．当时，二次根式的值为 ．
13．若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是 ．
14．我们规定运算符号“”：当时，；当时，，其他运算符号的意义不变．计算： ．
15．下列二次根式，是最简二次根式的是 （只填序号）．
①；②；③；④；⑤；⑥；⑦．
16．已知，当分别取1，2，3，…，2025时，所对应的值的总和是 ．
三、解答题（第 17，18，19，20，21 ，22题每题 10分，第 23题每题 12 分，共 72 分）
17．计算：
(1)．
(2)．
18．如图是可调躺椅示意图，与交于点，测得．
(1)当时，测得，求的长；
(2)为躺着更加舒服，准备在（1）的基础上调节的度数（与的长度不变），调节后测得，请通过计算说明，与（1）中的相比，调节后的长度变长或变短了多少．（参考数据：）
19．请观察式子：，．
仿照上面的方法解决下列问题：
(1)化简：①；②；③．
(2)把中根号外的因式移到根号内，求化简后的结果．
20．高空抛物是一种不文明的危险行为，据研究，物品从离地面为h米的高处自由落下，落到地面的时间为t，经过实验，发现（不考虑阻力的影响）．
(1)求物体从的高空落到地面的时间；
(2)已知从高空坠落的物体所带能量（单位：J）物体质量（kg）×高度（m），一串质量为的钥匙经过落在地上，这串钥匙在下落过程中所带能量有多大？
(3)在（2）的结果中，你能得到什么启示？（注：杀伤无防护人体只需要的能量）
21．阅读材料：
小颖在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如，善于思考的小颖进行了以下探索：
设（其中x，y，m，n均为正整数），则有，
∴，．这样小颖就找到了一种把部分的式子化为平方式的方法．
请你仿照小颖的方法探索并解决下列问题：
(1)当x，y，m，n均为正整数且时，请用含m，n的式子分别表示x，y：
______，______；
(2)若，且x，m，n均为正整数，求x的值；
(3)①填空：______；
②化简：．
22．古希腊的几何学家海伦，在数学史上以解决几何测量问题而闻名．在他的著作《度量论》一书中，给出了一个公式：如果一个三角形的三边长分别为，，，记，那么三角形的面积为，此公式称为“海伦公式”．请你运用该公式解决下面的问题：
已知张大爷有一块三角形的菜地，如图．现测得，，，求张大爷这块菜地的面积．
23．问题情境：在学习了《勾股定理》和《实数》后，某班同学们以“已知三角形三边的长度，求三角形面积”为主题开展了数学活动，同学们想到借助曾经阅读的数学资料进行探究：
材料．古希腊的几何学家海伦（约公元50年，在他的著作《度量》一书中，给出了求其面积的海伦公式（其中a、b、c为三角形的三边长，，S为三角形的面积）
材料．我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边长求面积的秦九韶公式：，其中三角形边长分别为a、b、c，三角形的面积为．
(1)利用材料1解决下面的问题：当时，求这个三角形的面积？
(2)利用材料2解决下面的问题：已知三条边的长度分别是，记的周长为
①当时，请直接写出中最长边的长度；
②若x是满足的整数，当取得最大值时，请用秦九韶公式求出的面积．
24．我们在学习二次根式的时候会发现：有时候两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，如，．课本中阅读材料告诉我们，两个含有二次根式的非零代数式相乘，如果它们的积不是二次根式，那么这两个代数式互为有理化因式．
请运用有理化因式的知识，解决下列问题：
(1)化简：________；
(2)比较大小：________；（用“>”、“=”或“<”填空）
(3)设有理数满足：，则________；
(4)已知，求的值．2025—2026学年八年级数学下学期单元测试卷
第十九章 二次根式 单元测试·培优卷
（ 全卷满分120 分，考试时间120 分钟）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B B A C D D C A B C
1．B
本题考查二次根式的计算，掌握算理是解决问题的关键．将代入计算即可．
解：当时，
．
故选：B．
2．B
本题主要考查二次根式的化简以及乘除运算，熟练掌握二次根式的性质和运算法则是解题的关键．先将各项根式化为最简二次根式，再根据二次根式的乘除运算法则进行计算．
解：
故选：B
3．A
根据二次根式有意义的条件，二次根式的性质．根据二次根式有意义的条件可得，从而得到，再根据二次根式的性质化简即可求解．
解：根据题意得：，
∴，
∴，
∴
故选：A
4．C
本题考查了二次根式的乘法、分母有理化、合并同类二次根式及平方根的性质，掌握二次根式的乘法是解题的关键．
逐一验证各选项的二次根式运算是否符合运算法则．
解：A、，正确，不符合题意；
B、，正确，不符合题意；
C、，错误，符合题意；
D、，正确，不符合题意．
故选：C．
5．D
本题主要考查了二次根式的乘法与除法，求一个数的算术平方根，平方差公式等知识点，熟练掌握二次根式的性质和运算法则是解题的关键．根据二次根式的乘法法则和平方差公式对各选项进行计算，即可判断．
解：A．，原计算错误，故选项A不符合题意；
B．，原计算错误，故选项B不符合题意；
C．，原计算错误，故选项C不符合题意；
D．，计算正确，故选项D符合题意；
故选：D．
6．D
本题主要考查了化简二次根式，熟知化简二次根式的方法是解题的关键．
逐一检查每个选项是否满足被开方数不含分母和能开尽方的因数，根据二次根式的性质化简即可．
解：A、，，未化简，故此选项不符合题意；
B、，故此选项不符合题意；
C、，分母有根号，未化简，故此选项不符合题意；
D、，是最简二次根式，故此选项符合题意．
故选：D．
7．C
本题考查了二次根式的性质，熟练掌握二次根式的性质是关键．将化为分数形式，利用二次根式的性质进行化简，并结合给定的a和b表示即可．
解：，，
．
故选：C．
8．A
本题考查了二次根式的性质与绝对值的化简，掌握二次根式化简，及根据数的符号化简绝对值是解题的关键．
先从数轴确定的符号及的正负，再利用二次根式的性质化简，最后结合绝对值的化简规则计算式子结果．
解：由数轴可知，，且，因此，
故，
∵，
∴ 原式
．
故选：A．
9．B
本题考查了分母有理化，正确掌握相关性质内容是解题的关键．通过有理化分母将化简为，然后计算总和．
解：∵
∴
，
故选：B．
10．C
此题主要考查了等边三角形的性质与数据的规律性知识，此题得出相邻三角形面积比，从而表示出各三角形面积是解决问题的关键．
由题意，表示剪去n个小正三角形后剩余图形的面积．和分别表示剪去2024个和2025个小正三角形后的剩余面积，其差值等于第2025个被剪去的小正三角形的面积．利用正三角形面积公式和边长变化规律，可计算该面积．
解：∵ 第n个被剪去的小正三角形的边长，
∴ 其面积．
∵
∴．
故选：C．
11．/
本题考查了二次根式的混合运算：先计算二次根式的乘除运算，再化简二次根式，最后合并即可．
解：
．
12．
本题考查了二次根式的性质，理解二次根式的性质是解题关键．
将代入，进而根据二次根式的性质化简，即可求解．
解：当时，，
故答案为：．
13．且
本题考查分式有意义及二次根式有意义的条件，熟练掌握以上知识点是解题的关键．由分式的分母不为零，二次根式有意义要求被开方数非负，即可解答本题．
解：要使式子 在实数范围内有意义，
需同时满足两个条件：分母 ，且被开方数 ，即 ，
故答案为： 且 ．
14．
此题考查了二次根式的加减，弄清题中的新定义是解本题的关键．
根据运算符号“△”的定义，先比较每组数的大小，确定运算方式，再计算表达式．
解：∵ ，
∴ ；
∵ ，
∴ 。
原式 =
．
故答案为：．
15．①④⑤⑥
本题考查最简二次根式，最简二次根式必须满足两个条件：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式．根据最简二次根式的定义对各选项进行判断即可．
解：①是最简二次根式；
②中含有分式，故不是最简二次根式；
③中含有小数，故不是最简二次根式；
④是最简二次根式；
⑤是最简二次根式；
⑥是最简二次根式；
⑦，故不是最简二次根式．
故答案为：①④⑤⑥．
16．2027
本题考查了二次根式的化简、绝对值的分段化简与分段函数的求和，掌握将二次根式化为绝对值形式后，根据字母取值范围分段计算是解题的关键．
先将根号内的式子化为完全平方式，转化为绝对值形式，再根据与的大小关系分情况化简函数，最后分别计算不同取值对应的值，求和得到结果．
解：由 ，因 ，故
当 时，， ；
当 时，， ；
取时：；；总和为．
取到时，共个值，每个，总和为．
故所有值的总和为．
故答案为 ：．
17．(1)
(2)
本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
（1）先根据完全平方公式，二次根式的除法计算，再算加减法即可；
（2）先根据二次根式的乘法法则、平方差公式计算，再算加减法即可．
（1）解：原式
．
（2）解：原式
．
18．(1)
(2)变长了
本题考查勾股定理、含角的直角三角形性质及二次根式运算，解题关键是利用直角三角形相关性质转化线段关系。
（1）已知，，，在中，根据勾股定理，代入数值计算得长；
（2）过作于，利用含角的直角三角形性质得；再分别在、中，用勾股定理算出、；进而得，计算其值并与（1）中比较，求长度变化．
（1）解：，，，
，
即的长为；
（2）如图，过点C作于点P．
，
在中，
，
在中，
，
．
，
∴调节后的长度变长了．
19．(1)① ② ③
(2)
（1）仿照例子，将根号外的数平方后移入根号内，再结合二次根式的性质化简；
（2）先根据二次根式有意义的条件确定的范围，再将根号外的因式变形后移入根号内化简．
（1）解：①．
②．
③．
（2）解：把中根号外的因式移到根号内：
由有意义，得，即．
将变形为，再平方移入根号内：
原式
．
本题考查了二次根式的化简（根号外因式移入根号内），解题关键是先根据二次根式有意义的条件确定字母的取值范围，再将根号外的因式平方后（注意符号）移入根号内化简．
20．(1)4
(2)
(3)严禁高空抛物
本题主要考查了二次根式的计算，熟练掌握二次根式的计算法则是解题的关键．
（1）依据题意，根据公式，代入计算即可．
（2）依据题意，先根据公式，求得高度，再根据公式物体质量高度，计算能量即可；
（3）依据题意，根据（2）的结果即可判断得解．
（1）解：∵，
∴．
（2）解：∵，
∴，
∴．
∴．
（3）解：由题意，结合（2），
∴对人构成伤害．
故严禁高空抛物．
21．(1)，
(2)或
(3)① ②
本题主要考查了完全平方公式，解题的关键是掌握完全平方公式的灵活应用．
（1）利用完全平方公式展开，一一对应相等即可；
（2）根据完全平方公式进行展开，然后根据x，m，n的取值，分情况进行讨论即可；
（3）①根据完全平方公式进行求解即可；
②根据完全平方公式进行求解即可．
（1）解：，
∴，；
（2）解：，
∴，，
∴，
∵m，n均为正整数，
∴当时，，
此时，；
当时，；
此时，；
∴或；
（3）解：①；
②
．
22．
本题主要考查了二次根式的乘法应用，熟练掌握该知识点是关键．
先求出的值，再利用海伦公式求解即可．
解：，，，
，
．
故张大爷这块菜地的面积为．
23．(1)3
(2)中最长边的长度为的面积为
（1）依据题意，由时，先求出p，再代入公式计算可以得解；
（2）①依据题意，由，则，从而可以判断得解；
②依据题意，由，则，从而，可得，且x为整数，故当时，三边为，1，4，再分类讨论计算可以得解．
本题主要考查了二次根式的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次根式的性质是关键．
（1）解：由题意，当时，
，
，
，
，
三角形的面积为3；
（2）解：①由题意，，
，
中最长边的长度为3；
②，
，
，
，且x为整数，
当时，此时三边为，1，4，
，
不合题意舍去，
当时，三边为2，2，3，
，
，
，
的面积为．
24．(1)
(2)
(3)
(4)
本题主要考查了二次根式的化简求值，理解题目中所给的有理化因式的定义，熟知二次根式的运算法则是解答关键．
（1）利用有理化因式的定义和二次根式的运算法则进行化简求解；
（2）根据题意得到所给的两个二次根式都是正数，再结合有理化因式的定义比较它们倒数的大小来求解；
（3）先利用有理化因式的定义进行化简，根据化简结果列一元二次方程组求解即可；
（4）设，，根据有理化因式的定义计算出的值，根据的值得出的值，即是结果．
（1）解：的有理化因式是，
∴，
故答案为：．
（2）解：∵，
，
而，
∴，
∵和都是大于0的数，
∴，
故答案为：．
（3）解：∵，，
∴，
又∵，
∴，
解得：，
∴，
故答案为：．
（4）解：设，，
则，
∵，
∴，即．(共7张PPT)
人教版2024 八年级下册
第十九章 二次根式
单元测试·培优卷分析
一、试题难度
整体难度：难
难度 题数
容易 1
较易 5
适中 16
较难 2
一、试题难度
三、知识点分布
一、单选题 1 0.94 求二次根式的值
2 0.85 利用二次根式的性质化简；二次根式的乘除混合运算
3 0.75 二次根式有意义的条件；利用二次根式的性质化简；求一元一次不等式的解集
4 0.65 利用二次根式的性质化简；二次根式的乘法；二次根式的加减运算
5 0.65 利用二次根式的性质化简；二次根式的乘法；二次根式的除法
6 0.65 最简二次根式的判断；化为最简二次根式
7 0.65 利用二次根式的性质化简；二次根式的乘法
8 0.65 利用二次根式的性质化简；带有字母的绝对值化简问题；实数与数轴
9 0.65 分母有理化
10 0.64 二次根式的应用；等边三角形的性质；图形类规律探索
三、知识点分布
二、填空题 11 0.85 二次根式的乘除混合运算
12 0.85 求二次根式的值
13 0.75 二次根式有意义的条件；分式有意义的条件
14 0.65 新定义下的实数运算；二次根式的加减运算
15 0.65 利用二次根式的性质化简；最简二次根式的判断
16 0.4 利用二次根式的性质化简；带有字母的绝对值化简问题；已知字母的值，化简求值
三、知识点分布
三、解答题 17 0.85 运用平方差公式进行运算；运用完全平方公式进行运算；二次根式的混合运算
18 0.75 二次根式的应用；含30度角的直角三角形；用勾股定理解三角形
19 0.65 利用二次根式的性质化简；化为最简二次根式
20 0.65 二次根式的应用
21 0.65 复合二次根式的化简；运用完全平方公式进行运算
22 0.65 二次根式的乘法
23 0.65 二次根式的应用
24 0.4 运用平方差公式进行运算；二次根式的混合运算

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