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九年级数学
注意事项:
1. 本试卷共 4 页, 23 小题, 满分 120 分, 考试时间 120 分钟.
2. 答卷前, 考生务必将密封线内的项目填写清楚.
一. 选择题. (本大题 10 小题, 每小题 3 分, 共 30 分)
1. 如图是某几何体的三视图, 这个几何体是( )
俯视图
A. 三棱柱 B. 圆柱 C. 圆锥 D. 长方体
2. 已知 的半径为 5,点 在 内,则 的长可能是( )
A. 7 B. 6 C. 5 D. 4
3. 若点 在反比例函数 的图象上,则 ( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
4. 关于二次函数 的最值，下列说法正确的是( )
A. 有最大值 3 B. 有最小值 3 C. 有最大值 4 D. 有最小值 4
5. 如图， 是 的外接圆， ，则 的度数为( )
A. B. C. D.
6. 日常生活情境照相机是提升当代人生活幸福指数的设备之一. 如图是其工作原理图, 两条光线与相机透镜的交点 即为位似中心,底片上的 与实物 是位似图形,且
位似比为 2,点 的对应点分别为 ,若 ，则 的长为( )
A. 10 B. 12 C. 14 D. 18
7. 如图，在 中， 、 分别为 、 边上的高， ，则 的值为( )
A. B. C. D.
8. 如图,菱形 的对角线 相交于点 ,过点 作 于点 ,连接 ,若 ,则菱形 的面积为( )
A. 24 B. 36 C. 12 D. 6
9. 如图为喷泉某一截面的水流可看作关于 轴对称的两条抛物线,右侧水流的竖直高度 与距水管的水平距离 之间满足 ,则 的长为 ( )
A. B. C. D.
10. 如图,四边形 是正方形,曲线 叫做“正方形的渐开线”,其中 , 的圆心依次按 循环,当 时, 的长为( )
A. B. C. D.
二. 填空题. (每题 3 分, 共 15 分)
11. 一个正多边形的中心角为 ，则这个多边形的边数为_____.
12. 已知二次函数 ,当函数值 随 的增大而增大时, 的取值范围是_____.
13. 某校举行中学生篮球联赛，若某小组有若干支队伍参加了单循环比赛，单循环比赛一共进行了 28 场, 则该小组参加比赛的队伍共有_____支.
14. 一辆装满货物，宽为 2.4 米的卡车，欲通过如图所示的隧道(下半部分为矩形，上半部分为半圆形), 则卡车的外形高必须低于_____米.
15. 如图， ， ， 都是边长为 的等边三角形，且 ， ， ， 在同一条直线上,连接 分别交 ， ， 于点 ， ， ，连接 ，则 的面积为_____.
三. 解答题 (一). (本大题 3 小题, 每小题 7 分, 共 21 分)
16. 计算: .
17. 1 月 9 日, “粤游学·暖冬知行季-2026‘寒假游学到广东’”五大主题游学周之“红色铸魂周” 游学启动仪式在惠州市东江纵队纪念馆举行. 某校建议同学们利用寒假时间自主到以下三个基地开展研学活动.
: 广州起义纪念馆;
: 河源苏维埃政府旧址及兵工厂旧址;
: 广州中山纪念堂.
小明和小丽各自随机选取一个基地作为本次研学活动的第一站,用画树状图或列表的方法, 求小明和小丽选择相同基地的概率.
18. 如图, 是 的直径,弦 于点 ,点 在 上, .
(1)求证: ；
(2)连接 ，若 ，求 的直径.
四. 解答题 (二). (本大题 3 小题, 每小题 9 分, 共 27 分)
19. 如图,某数学兴趣小组为了测量建在山上的信号塔 的高度,先在附近一座办公楼底端 处测得信号塔 顶端 的仰角为 ,然后在办公楼顶端 处测得信号塔 底部 的俯角为 ,已知 在同一直线上,山的高度 为 , 办公楼的高度 为 (点 在同一竖直平面内)，求信号塔 的高度. (结果精确到 ,参考数据: , )
20. 如图, 为 的直径, 切 于点 ,交 的延长线于点 ,且 .
(1)求 的度数；
(2)若 ，求 的长.
21. 如图,一次函数 的图象与反比例函数 的图象交于 , -3) 两点.
(1)求反比例函数和一次函数的解析式；
(2)求 的面积.
五. 解答题 (三). (本大题 2 小题, 第 22 题 13 分, 第 23 题 14 分, 共 27 分)
22. 如图,矩形 中, ,点 是对角线 上的一个动点 (不包含 两点),过点 作 分别交射线 、射线 于点 .
图1
图3
(1)求证: ；
(2)连接 ，若 ，且 为 中点，求 的值；
(3)若 ，移动点 ，使 与 相似，直接写出 的值.
23. 如图,在平面直角坐标系中, 为坐标原点,抛物线 经过点 . 点 在此抛物线上,其横坐标为 ,连接 并延长至点 ,使 . 当点 不在坐标轴上时,过点 作 轴的垂线,过点 作 轴的垂线,这两条垂线交于点 .
备用图
(1)求此抛物线对应的函数解析式.
(2) 被 轴分成的两部分图形的面积比是否保持不变. 如果不变，直接写出这个面积比; 如果变化, 说明理由.
(3)当 的边 经过此抛物线的最低点时，求点 的坐标.
(4)当此抛物线在 内部的点的纵坐标 随 的增大而减小时,直接写出 的取值范围.
1. B
2. D
3. B
4. D
5. C
6. B
7. B
8. A
9. A
10. A
11. 6
12.
13. 8
14. 4.1
15.
16. 3
17.
解: 可画树状图为:
由树状图可知一共有 9 种等可能性的结果数, 其中小明和小丽选择相同基地的结果数有 3 种, 小明和小丽选择相同基地的概率是 .
18.(1)证明: ,
,
,
,
;
(2)解: ，
，
,
,
，
是等边三角形，
，
，
即 的直径为 6 .
19.
解: 如图,过点 作 于点 ,
则 ,
在 Rt 中, ,
,
在 Rt 中, ,
,
答: 信号塔 的高度约为 .
20. (1) ;
(2)
( 1 )解:连接 ,如图,
切 于点 ,
,
，
，
,
,
,
而 .
,解得 ,
;
(2)解:在 Rt 中， ，
,
.
21. (1)
(2)4
(1) 解: 把 代入反比例函数 ,
得: ,
反比例函数解析式为 ,
把 代入 ,
得: ,
,
把 代入一次函数 ,
得:
解得:
一次函数解析式为 ;
(2)解:如图,设一次函数 图象与 轴的交点为 ,
当 时， ，
,
.
22. (1)证明: 四边形 是矩形， ，
， ，
，
,
;
(2) ，
，
,
,
，
设 交 于点 ，
四边形 是矩形,
,
,
,
，
，
，
，
,
(3) 或 或 . 理由如下:
四边形 是矩形,
，
① 当 时, ,
是 的中点,
,
,
,
即 ,
设 ,则 ,
,
，
,
② 当 时， ，
，
设 ，
则 ，
,
,
解得 ,
,
由①知 ,
,
,
或 或 .
23.(1) 解: 将 代入 得,
,
解得 ,
抛物线的解析式为 ;
(2)解:如图所示，面积比保持不变为 ，理由如下:
根据题意可得, ,
,
,
,
,
则 ;
(3)解:如图所示， 经过最低点，即经过顶点，
该抛物线的顶点横坐标为 ，纵坐标为 ，
该抛物线的顶点坐标为 ,
,
,且相似比为 ,
根据顶点纵坐标可得, ,
则 ,
即
解得 ,
① 当 时，即为如图所示，
此时 ,
点 在第四象限,故 ;
②如图所示，
当 时，此时点 在第一象限，点 在第三象限，
此时 ,
故 ;
综上, 或 ;
(4)解:①当 经过顶点 时，过点 作 轴，交 轴于点 ，
由 得, ,
,
即 ,
解得 (舍去),或 ,
当点 向左运动时,满足题意,
;
②如图所示，当点 在抛物线上时，过点 作 ，交 轴于点 ，
同理, ,相似比仍为 ,
此时, ,代入抛物线解析式得,
解得 (舍去),或 ,
此时,当 点向下一直移动,直至到 轴时,都符合题意,
当 时,解得 ,
当 时,符合题意;
③图所示，当点 在抛物线上时，点 在第二象限，点 在第四象限，
思路同②，此时 ，代入抛物线解析式得，
解得 (舍去),或 ,
此时,当 点向右一直移动,直至到 轴时,都符合题意,
当 时,符合题意;
综上,当 或 或 时,符合题意.

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