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数学
考生注意:本试卷满分为 120 分, 考试时间为 100 分钟, 所有试题均在答题卡 上作答，否则无效.
一、选择题(每小题 3 分，共 30 分)
1. 计算 的结果是( )
A. -8 B. -2 C. 2 D. 8
2. “多少事，从来急；天地转，光阴迫. 一万年太久，只争朝夕。”伟人毛泽东通过这首《满江红·和郭沫若同志》告诉我们青年学生:要珍惜每分每秒，努力工作，努力学习. 一天时间为 86400 秒，数据 86400 用科学记数法表示为( )
A. B. C. D.
3. 下面运算正确的是( )
A. B.
C. D.
4. 如图,直线 ,则 的度数为 ( )
A. 20° B. 30° C. D.
5. 关于 的一元二次方程 有实数根,则 的取值范围为( )
A. B. 且
C. 且 D.
6. 某超市一月份的营业额为 200 万元，三月份的营业额为 288 万元，如果每月比上月增长的百分数相同，则平均每月的增长率为( )
A. 10% B. 15% C. 20% D. 25%
7. 如图, 是 的两条切线, 是 上一点,且 ,则 ( )
A. B. 100° C. D. 无法计算
8. 春季是北方火灾的多发季节, 为此, 某校从 300 名九年级学生中随机抽取了 50 名学生进行“安全防火，警钟长鸣”知识问卷调查活动，对问卷调查成绩按“很好”“较好”“一般”“较差” 四类汇总分析，并绘制了如下条形统计图. 下列说法中正确的是( )
A. 抽取的学生中成绩为较好的学生人数最多
B. 抽取的学生中成绩为“很好”的学生人数占总人数的 18%
C. 抽取的学生中成绩为一般的有 10 人
D. 估计九年级学生成绩为较好的学生有 120 人
9. 生物学研究表明, 在一定的温度范围内, 酶的活性会随温度的升高逐渐增强, 在最适宜温度时, 酶的活性最强, 超过一定温度范围时, 酶的活性又随温度的升高逐渐减弱, 甚至会失去活性. 现已知某种酶的活性值 (单位:IU) 与温度 (单位: ) 的关系可以近似用二次函数 来表示. 则当温度最适宜时,该种酶的活性值为( )
A. 240 B. 14 C. 144
D.
10. 如图,点 分别是正方形 边 上的点,且 . 设 两点间的距离为 ,四边形 的面积为 ,则 与 的函数图象可能为( )
A.
B.
C.
D.
二、填空题: 本大题共 6 小题, 每小题 3 分, 当 18 分.
11. 因式分解:
12. 若分式 的值为 0，则 的值为_____.
13. 请写出一个经过点 ，且 随 的增大而减小的一次函数的解析式:_____.
14. 如图,将长方形纸片 沿 折叠,折叠后点 落在 处,点 恰好与点 重合, 已知 的长为_____.
15. 已知 是方程 的两根,则 _____.
16. 将正方形做如下操作, 第 1 次分别连接各边中点如图②, 得到 5 个正方形; 第 2 次将图②左上角正方形按上述方法再分割如图③，得到 9 个正方形，以此类推，根据以上操作， 若要得到 2025 个正方形，则需要操作的次数为_____.
①
②
③
三、解答题(一)本大题共 6 小题, 共 32 分. 解答时, 应写出必要的文字说明、 证明过程或演算步骤.
17. 计算:
18. 解不等式组: .
19. 先化简,再求值: ,其中 .
20. 根据背景素材, 探索解决问题.
平面直角坐标系中画一个边长为 2 的正六边形
背景 素 材 六等分圆原理, 也称为圆周六等分问题, 是一个古老而经典的几何问题, 旨在解决如何使用直尺和圆规将一个圆分成六等份的问题. 这个问题由欧几里得在其名著《几何原本》中详细阐述.
已知条件 点 与坐标原点 重合,点 在 轴的正半轴上且坐标为
操作步骤 ① 分别以点 为圆心， 长为半径作弧，两弧交于点 ； ②以点 为圆心， 长为半径作圆； ③以 的长为半径，在 上顺次截取 ； ④顺次连接 ， ， ， ， ，得到正六边形 .
问题解决
任务一 根据以上信息, 请你用不带刻度的直尺和圆规, 在图中完成这道作图题 (保留作图痕迹，不写作法)
任务二 将正六边形 绕点 顺时针旋转 ，直接写出此时点 所在位置的坐标:_____.
21. 一个不透明的口袋中有三个小球，每个小球上只标有一个汉字，分别是 “家”、 “家” “乐”，除汉字外其余均相同. 小新同学从口袋中随机摸出一个小球，记下汉字后放回并搅匀; 再从口袋中随机摸出一个小球记下汉字, 用画树状图 (或列表的) 方法, 求小新同学两次摸出小球上的汉字相同的概率.
22. 如图,在矩形 中, ,分别为边 上的点, ,若 ，矩形 的周长为 26，求矩形 的面积.
四、解答题 (二):本大题共 5 小题, 共 40 分. 解答时, 应写出必要的文字说 明、证明过程或演算步骤.
23. 为切实减轻中小学生课业负担、全面实施素质教育，某中学对本校学生课业负担情况进行调查. 在本校随机抽取若干名学生进行问卷调查, 发现被抽查的学生中, 每天完成课外作业时间, 最长不足 120 分钟, 没有低于 40 分钟的, 且完成课外作业时间低于 60 分钟的学生数占被调查人数的 10%. 现将抽查结果绘制成了一个不完整的频数分布直方图, 如图所示.
(每组数量含最低值，不含最高值)
(1)这次被抽查的学生有_人；
(2)请补全频数分布直方图；
(3)被调查这些学生每天完成课外作业时间的中位数在_____组(填时间范围)；
(4)若该校共有 3600 名学生，请估计该校大约有多少名学生每天完成课外作业时间在 80 分钟以上 (包括 80 分钟)
24. 如图，在 中，D是 BC 边上的中点，F、E 分别是 AD 及其延长线上的点， CF||BE.
(1)试说明 ；
(2)请连接 BF、CE，试判断四边形 BECF 是何种特殊四边形，并说明理由.
25. 某商店经销一种学生用双肩包，已知这种双肩包的成本价为每个 60 元. 市场调查发现, 若每个定价 100 元，则每月可销售 300 个；若每个涨价 1 元，则每月可少销售 5 个. 设每个双肩包涨价 元( 为正整数)，每月的销售量为 个.
(1)直接写出 与 的函数关系式:_____；
(2)当售价定为多少元时，商店每月获得利润最大？最大利润是多少？
26. 如图, 是 的外接圆, 是 的直径,点 在 上, 在 的延长线上, .
图 1
图2
(1)如图 1，求证: 是 的切线；
(2)如图 2，若 ， ，求 的长.
27. 2026 年春晚主题“骐骥驰骋，势不可挡”对应的函数图象是一条抛物线，已知该函数 与 轴交于点 和点 ,与 轴交于点 ,求:
(1)求该二次函数的解析式；
(2)连接 ，在抛物线上是否存在一点 (不与点 重合)，使得 ？若存在，请
求出所有符合条件的点 的坐标; 若不存在,请说明理由.
1. C
2.
3. D
4. D
5. B
6. C
7. B
8. B
9. A
10. B
11.
12.
13. (答案不唯一)
14. 3
15.
16. 506
17.
18.
解: 解不等式①得
.
解不等式②得:
所以不等式组的解集是 .
19.
解:
当 时,原式 .
20. 解: 任务一: 如图,正六边形 即为所作;
任务二: 如图,
由旋转可知 ,
,
.
故答案为: .
21. .
解: 画树状图如图:
共有 9 个等可能的结果, 小新同学两次摸出小球上的汉字相同的结果有 5 个,
小新同学两次摸出小球上的汉字相同的概率为 .
22. 40
解: 四边形 是矩形,
,
的周长为 26,
，
,
,
,
,
,
在 和 中，
,
，
，
，
，
，
，
.
23.(1)根据完成课外作业时间低于 60 分钟的学生数占被调查人数的 10%. 可求出抽查的学生人数;
(2)根据总人数，现有人数为补上那 15 人；
(3)50 个数据，第 25 和 26 的平均数就是中位数，从表中可看出第 25、26 人在 80-100 段里;
(4)先求出 50 人里学生每天完成课外作业时间在 80 分钟以上的人的比例, 再按比例估算全校的人数.
试题解析:
(1)5÷10%=50
这次被抽查的学生有 50 人；
(2)如图所示；50-35=15
(每组数量含最低值，不含最高值)
(3)中位数在 80 至 100 分钟这一小组内；
(4)由样本知，每天完成课外作业时间在 80 分钟以上(包括 80 分钟)的人数有 35 人，占被调查人数的 ,
故全校学生中每天完成课外作业时间在 80 分钟以上 (包括 80 分钟) 的人数约有 人.
24.解: (1) ,
.
:D 是 BC 的中点,
.
,
(ASA).
(2)四边形 BECF 是平行四边形.
理由: ,
.
四边形 BECF 是平行四边形.
25. (1)
(2)当售价定为 110 元时，商店每月获得利润最大，最大利润是 12500 元
(1)解: 由题可得,涨价 元,则每月可少销售 个,
每月的销售量为 个,
销售量要大于或等于 0 ,
,解得 ,则 ;
故答案为: 为正整数 ;
(2)解:设每月获得利润 元，
由题可得, ,
整理得, ,
,
当 时, 取得最大值,为 12500 元,
,
答: 当售价定为 110 元时, 商店每月获得利润最大, 最大利润是 12500 元
26.
(1)证明: 连接 ,
,
,
,
,
,
为直径,
,
,即 ,
,
,
,
,
,
是 的切线;
(2)解:连接 ，
由(1)得 ,
,
,
,
,
,
,
,
长为: .
27. (1) ;
(2)存在符合条件的点 ,坐标为: .
( 1 )解:抛物线的表达式为: ，
即 ,
解得: ,
故抛物线的表达式为: ;
(2)解:设点 ，
， ， ，
,
,即 ,
当 时,
解得: ;
,
当 时,
解得: (与点 重合,舍去)
,
综上,存在符合条件的点 ,坐标为: .

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