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2026 年春季学期第一次大作业 九年级数学
(考试形式:闭卷 考试时间:120 分钟 分值:120 分)
注意事项:
1. 本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分，请在答题卡上作答， 在本试卷上作答无效.
2. 答题前，请认真阅读答题卡上的注意事项.
3. 不能使用计算器, 考试结束时, 将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷
一、选择题(共 12 小题，每小题 3 分，共 36 分)
1. 的相反数是( )
A. B. C. D.
2. 科技创新型企业的不断涌现，促进了我国新质生产力的快速发展，以下四个科技创新型企业的品牌图标中，为中心对称图形的是 ( )
A.
B.
C.
D.
3. 上马石是古人上下马的工具, 形状如图①. 它可以看作图②所示的几何体, 该几何体的俯视图为( )
图①
图②
A.
B.
C.
D.
4. 通电瞬间，导线中的电流以接近光速形成，但其中自由电子定向移动的平均速度大约只有 0.000074m/s，比蜗牛爬行的速度还慢. 数据“0.000074”用科学记数法表示为( )
A. B. C. D.
5. 在一个不透明的口袋中, 装有若干个红球和 4 个黄球, 它们除颜色外没有任何区别, 摇匀后从中随机摸出一个球, 记下颜色后再放回口袋中, 通过大量重复摸球试验发现, 摸到黄球的频率是 0.2 , 则估计口袋中大约有红球 ( )
A. 8 个 B. 16 个 C. 25 个 D. 30 个
6. 如图为人行天桥的示意图,若高 长为 10 米,斜道 长为 30 米,则 的值为 ( )
A. B. 3
C. D.
7. 智慧农业广泛应用智能机器人. 某品牌智能机器人的一个机械手平均每分钟采摘 10 个苹果. 若该机器人搭载 个机械手 ,则该机器人平均每分钟采摘的苹果个数为 ( )
A. B. C. D.
8. 因式分解: ( )
A. B. C. D.
9. 广东省统计局的相关数据显示, 近年来高技术制造业呈现快速增长态势. 某公司工业机器人在今年 5 月产值达到 2500 万元, 预计 7 月产值将增至 9100 万元. 设该公司 6, 7 两个月产值的月均增长率为 ,可列出的方程为 ( )
A. B.
C. D.
10. 在理想状态下,某电动摩托车充满电后以恒定功率运行,其电池剩余的能量 与骑行里程 之间的关系如图. 当电池剩余能量小于 时,摩托车将自动报警. 根据图象, 下列结论正确的是 ( )
A. 电池能量最多可充
B. 摩托车每行驶 10 km 消耗能量
C. 一次性充满电后, 摩托车最多行驶 25km
D. 摩托车充满电后, 行驶 18 km 将自动报警
11. 已知二次函数 的图象如图所示,则( )
A. B. C. D.
12. 如图,在平面直角坐标系中, 为坐标原点, 的直角边 在 轴上, 分别与反比例函数 的图象相交于点 ,且 为 的中点,过点 作 轴的垂线,垂足为 ,连接 . 若 的面积为 ,则 的值为( )
A. B. C. 5 D. 10
第II卷
二. 填空题(共 4 小题，每小题 3 分，共 12 分)
13. 请写出一个使 在实数范围内有意义的 的值:_____
14. 已知 是关于 的一元二次方程 的两个实数根,其中 ,则 _____.
15. 我国魏晋时期数学家刘徽在为《九章算术》作注时，创立了“割圆术”. 如图是研究“割圆术”时的一个图形, 所在圆的圆心为点 ,四边形 为矩形,边 与 相切于点 ,连接 ,连接 交 于点 . 若 ,则图中阴影部分的面积为_____.
16. 如图,以矩形 的 点为圆心, 的长为半径作 ,交 于点 ,点 为 上一点,连接 ,将线段 绕点 顺时针旋转至 ,点 落在 上,且点 为 中点. 若 ，则 的长为_____.
三. 解答题(共 7 小题, 共 72 分)
17. 计算:
(1) ;
(2) .
18. 如图,四边形 是平行四边形,以 为直径的圆交 于点 .
(1)请用无刻度的直尺和圆规作出圆心 (保留作图痕迹，不写作法).
(2)若点 是 的中点，连接 . 求证:四边形 是平行四边形.
19. 四组: ,下面给出了部分信息.
抽取的对 款人工智能软件的所有评分数据:
64,70,75,76,78,78,85,85,85,85,86,89,90,90,94,95,98,98,99,100. 抽取的对 款人工智能软件的评分数据中 组包含的所有数据:85,86,87,88,88,88, 90, 90.
抽取的对 两款人工智能软件的评分统计表
软件 平均数 中位数 众数 方差
86 85.5 96.6
86 88 69.8
抽取的对 款人工智能软件的评分扇形统计图
根据以上信息, 解答下列问题:
(1)填空: _____， _____， _____；
(2)根据以上数据，你认为哪款人工智能软件更受用户欢迎？请说明理由(写出一条理由即可);
(3)若本次调查有 600 名用户对 款人工智能软件进行了评分，有 800 名用户对 款人工智能软件进行了评分,估计其中对 两款人工智能软件非常满意 ( ) 的用户总人数.
20. 2025 年 8 月 7 日至 17 日，第 12 届世界运动会将在成都举行，与运动会吉祥物“蜀宝”“锦仔”相关的文创产品深受大家喜爱. 某文旅中心在售 两种吉祥物挂件,已知每个 种挂件的价格是每个 种挂件价格的 ,用 300 元购买 种挂件的数量比用 200 元购买 种挂件的数量多 7 个.
(1)求每个 种挂件的价格；
(2)某游客计划用不超过 600 元购买 两种挂件，且购买 种挂件的数量比 种挂件的数量多 5 个,求该游客最多购买多少个 种挂件.
21. 如图, 是 的直径, 为 上一点, 为 外一点, ,且 ,连接 .
(1)求证: 与 相切；
(2)若 ，求 的长.
22. 综合与实践
图2
图1
【主题】马格努斯效应与乒乓球
【素材 1】马格努斯效应是旋转物体在流体中运动时, 因两侧流体流速差异产生侧向力的现象. 如足球中的“香蕉球”，棒球中的“曲线球”. 研究团队利用高速摄像机，研究乒乓球的飞行轨迹受马努格斯效应的影响.
【素材 2】乒乓球在旋转时,侧向偏移距离 (单位: 厘米) 与旋转角速度 (单位: 弧度/ 秒,弧度为度量角大小的一种单位) 成正比. 当 时, .
【素材 3】该乒乓球的飞行轨迹在水平方向的位移 (单位: 厘米) 与飞行时间 (单位: 秒) 满足 ,竖直方向的高度 (单位: 厘米) 与飞行时间 满足 ;
【问题 1】(1)根据素材，求乒乓球飞行的 与 的函数关系式；
【问题 2】(2)根据素材，计算乒乓球在竖直方向上运动的高度 超过 的运动时长是多少;
【问题 3】(3)乒乓球飞行到最高点时, 若由马格努斯效应产生的侧向偏移距离与水平位移的比值为 0.5 , 求此时球的旋转角速度.
23. 综合与探究
【探索发现】如图 1,小军用两个大小不同的等腰直角三角板拼接成一个四边形.
【抽象定义】以等腰三角形的一腰为边向外作三角形, 使该边所对的角等于原等腰三角形的顶角, 此时该四边形称为“双等四边形”, 原等腰三角形称为四边形的“伴随三角形”. 如图 2, 在 中, . 此时,四边形 是“双等四边形”, 是“伴随三角形”.
图1
图2
图3
【问题解决】如图 3,在四边形 中, . 求: ① 与 的位置关系为:_____:
② _____ . (填“>”，“<”或“=”)
【方法应用】①如图 4，若 ，将 绕点 逆时针旋转至 ，点 恰好落在 边上，求证:四边形 是双等四边形.
②如图 5，在等腰三角形 中， ， ， ，在平面内找一点 ，使四边形 是以 为伴随三角形的双等四边形，若存在，请求出 的长，若不存在， 请说明理由.
图4
图5
备用图
1. A
2. D
3. D
4. C
5. B
6. D
7. D
8. A
9. A
10. C
11. C
12. C
13. 3 (答案不唯一)
14. -3
15.
16. 6
17.
(2)2a
18.(1)解: 如图所示,
是直径,
运用尺规作直径 的垂直平分线角 于点 ,
点 即为所求点的位置;
(2)证明:如图所示，
: 四边形 是平行四边形,
,
点 分别是 的中点,
,即 ,
四边形 是平行四边形.
19.(1)解:对 款人工智能软件的所有评分数据中，共有 20 个评分，其中 85 出现的次数最多,
,
为保证对 款人工智能软件和对 款人工智能软件的公平性, 款抽取的样本容量为 20, 对 款人工智能软件评分在 组的数据为 ,在 组的数据为 ,在 组的数据为 8,在 组的数据为 ,
中位数是第 10 和 11 的平均数,即 ,
,
故答案为:86.5, 85, 20 ;
(2)解: 款更受用户欢迎，理由如下，
款与 款的平均数相同， 款的中位数，众数均小于 款，且 款的方差大于 款的方差,
款人工智能软件更好,更稳定,
款更受用户欢迎;
(3)解: (人)，
对 两款人工智能软件非常满意 ( ) 的用户总人数约为 340 人.
20. (1)每个 种挂件的价格为 25 元
(2)该游客最多购买 11 个 种挂件
(1)解: 设每个 种挂件的价格为 元,则每个 种挂件的价格为 元.
根据题意,得 ,
解得 ,经检验 是原方程的解,且符合题意,
答: 每个 种挂件的价格为 25 元;
(2)解:设该游客购买 个 种挂件，则购买 个 种挂件，
由( 1 )得每个 种挂件的价格为 (元)，
根据题意,得 ,
解得 ,
由于 为正整数,
故该游客最多购买 11 个 种挂件.
21. (1)证明: 如图,连接 ,
,
，
,
,
在 和 中,
,
,
,
与 相切;
(2)解:如图，连接 交 于点 ，
，
垂直平分 ,
,
，
,
,
,
是 的直径,
，
.
22. (1) ；(2)乒乓球在竖直方向上运动的高度 超过10cm的运动时长是 4 秒；
(3) (弧度/秒).
解: (1) 设 与 的函数关系式为 ,
当 时, ,
,
解得 ,
与 的函数关系式为 ;
(2)当 时,则 ，
整理得 ,
解得 或 ,
,
乒乓球在竖直方向上运动的高度 超过 的运动时长是 4 秒;
(3) ,且 ,
抛物线开口向下,当 时, 取得最大值,即乒乓球飞行到最高点,
水平方向的位移 与飞行时间 满足 ,
当 时, (厘米),
:由马格努斯效应产生的侧向偏移距离与水平位移的比值为 0.5 ,
侧向偏移距离 (厘米),
将 代入 ，可得 ，
解得 (弧度/秒).
23. 解: [问题解决] ① ,
，
,
;
② ,
,
,
,
,
;
故答案为:①平行；② = ；
方法应用:① 为 旋转得到，
，
令 ，则 ， ，
,
由旋转得, ,
又 ,
，
,
,
,
四边形 为双等四边形;
② 作 于点 ，
,
,
设 ,则: ,
在 中， ，即 ， 解得: ,
,
若 时, ,
若 时,
,
作 于点 ,
,
,
,
若 时,如图,
,
,
,
,
.
综上所述: 满足条件时, 或 或 .

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