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数学试题
★注意事项★
★考生在答题前请认真阅读本注意事项:
1. 本试卷共 5 页，满分为 150 分，考试时间为 120 分钟. 考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.
2. 答题前，请务必将自己的姓名、考试证号用 0.5 毫米黑色字迹的签字笔填写在试卷及答题卡上指定的位置.
3. 答案必须按要求填涂、书写在答题卡上，在试卷、草稿纸上答题一律无效.
4. 作弊者，本试卷按 0 分处理.
5. 在本试卷答题者, 不计入成绩.
6. 请考生如实填写自己的信息，不填、错填、漏填为无效试卷，按 0 分处理. 一. 选择题(每题 3 分，共 10 分，共 30 分)
1. 3 的相反数是( )
A. 3 B. C. D. -3
2. 化简 的结果是( )
A. B. C. D.
3. 已知 ,则代数式 的值为( )
A. 3 B. 6 C. 9 D. 12
4. 我市某一周每天的最高气温统计如下:27,28,29,29,30,29,28(单位: ). 则这组数据的极差与众数分别是( )
A. 2,28 B. 3, 29 C. 2, 27 D. 3, 28
5. 如图,在直径 为 的圆内有一个圆周角为 的扇形 . 随机地往圆内投一粒米，该粒米落在扇形内的概率为( )
A. B. C. D.
6. 如图, 是坐标原点,反比例函数 与直线 交于点 ,点 在 的图象上,直线 与 轴交于点 . 连结 . 若 ,则 的长为 ( )
A. B. C. D.
7. 如图,在 Rt 中, ,过点 作直线 ,点 是直线 上一动点,连结 ,过点 作 ,连结 使 . 当 最短时, 则 的长度为( )
A. B. 4 C. D.
8. 如图, 是矩形 的对角线, 是 的内切圆,现将矩形 按如图所示的方式折叠,使点 与点 重合,折痕为 ,点 分别在 上,连结 , ,若 ,且 的半径长为 1,则下列结论不成立的是( )
A. B.
C. D.
9. 如图 1，在 Rt 中， ，点 在 上， ，动点 在 Rt 的边上沿 方向以每秒 1 个单位长度的速度匀速运动，到达点 时停止，以 为边作正方形 . 设点 的运动时间为 秒，正方形 的面积为 . 当点 由点 运动到点 时,如图 是关于 的二次函数. 在 3 个时刻 对应的正方形 的面积均相等. 下列 4 个结论: ① 当 时， ；② 点 在线段 上时 ; ③ ；④ . 其中正确结论的个数为( )
图1
图2
A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个
10. 矩形 与 ,如图放置,点 共线,点 共线,连接 ,取 的中点 ,连接 . 若 ,则 ( )
A. 1 B. C. D.
二. 填空题(共 8 小题，每题 3 分，共 24 分)
11. 计算:
12. 若 ，则 的值为_____.
13. 一个工件, 外部是圆柱体, 内部凹槽是正方体, 其中正方体一个面的四个顶点都在圆柱底面的圆周上，若圆柱底面周长为 ，则正方体的体积为_____ .
14. 如图,在平面直角坐标系中,过原点 的直线与反比例函数 的图象交于 两点,分别以点 ,点 为圆心,画半径为 1 的 和 . 当 分别与 轴相切时, 切点分别为点 和点 ,连接 ,则阴影部分图形的面积和为_____. (结果保留 )
15. 2025 年 3 月是第 10 个全国近视防控宣传教育月, 活动主题为“抓早抓小抓关键，更快降低近视率”. 如图是一幅眼肌运动训练图, 其中数字1-12 对应的点均匀分布在一个圆上, 数字 0 对应圆心. 图中以数字0-12 对应的点为端点的所有线段中, 有一条线段的长与其他的都不相等. 若该圆的半径为 1 , 则这条线段的长为_____. (参考数据:
)
眼肌运动训练图
使用方法:以 0，1，2，3，...的顺序沿着箭头方向移动眼球. 移动 一圈后再回到原点, 反复进行.
16. 如图，在菱形 中， ，对角线 的长为 16， 是 的中点， 是 上一点,连接 . 若 ,则 的长为_____.
17. 如图,直线 与 轴、 轴分别交于 两点,将线段 沿 轴向右平移 5 个单位长度得到线段 ,与反比例函数 的图象交于点 ,点 在线段 上, 连接 . 若四边形 是菱形,则 的值为_____.
18. 如图①,在矩形 中,动点 从 出发,以相同的速度,沿 方向运动到点 处停止. 设点 运动的路程为 面积为 ,如果 与 的函数图象如图②所示，则矩形 ABCD 的面积为_____.
①
②
三. 解答题(共 8 小题，共 96 分)
19. 计算:
(1)
(2) .
20. 已知 .
(1)化简 的表达式；
(2)若 ,求 的值.
21. 如图,已知 是 的直径,点 在 上, .
(1)求证: ；
(2)求 的度数.
22. 某市教育综合实践基地开设有 : 巧手木艺; : 创意缝纫; : 快乐种植; : 美味烹饪; : 爱心医护等五门课程. 某校组织八年级学生到该基地开展活动,一段时间后,基地采用随机抽样的方式, 在该校八年级抽取部分学生开展了“我最喜欢的综合实践课程”的问卷调查, 并根据调查所收集的数据进行整理, 绘制了如下两幅不完整的统计图表.
课程名称 巧手木艺 创意缝纫 快乐种植 美味烹任 爱心医护
人数 6 12 18
根据图表信息, 回答下列问题:
(1) _____，扇形统计图中表示“巧手木艺”部分对应扇形的圆心角度数是_____；
(2)若该校八年级共有 480 名学生，请你估计该校八年级最喜欢 两门课程的学生人数；
(3)小明同学从 四门课程中随机选择两门，求恰好选中 两门课程的概率.
23. 一个不透明的盒子里装有除颜色外其余均相同的 2 个黑球和 个白球,搅匀后从盒子里随机摸出一个球,摸到白球的概率为 .
(1)求 的值；
(2)所有球放入盒中，搅匀后随机从中摸出 1 个球，放回搅匀，再随机摸出第 2 个球，求两次摸球摸到一个白球和一个黑球的概率, 请用画树状图或列表的方法进行说明.
24. 我们知道, 当一条直线与一个圆有两个公共点时, 称这条直线与这个圆相交. 类似的, 我们定义:当一条直线与一个正方形有两个公共点时，称这条直线与这个正方形相交. 如图,在平面直角坐标系中,正方形 的顶点为 .
(1)判断直线 与正方形 是否相交，并说明理由;
(2)设 是点 到直线 的距离，若直线 与正方形 相交，求 的取值范围.
25. 如图,二次函数 为常数 的图象交 轴于 两点,交 轴于点 ,已知点 的坐标为 ,点 的坐标为 ,连接 .
备用图
(1)求抛物线的解析式.
(2)若点 为抛物线上的一个动点,连接 ,当 时,求点 的坐标.
(3)将抛物线沿射线 的方向平移 个单位长度后得到新抛物线，点 在新抛物线上， 点 是原抛物线对称轴上的一点,若以点 为顶点的四边形是平行四边形,请直接写出点 的坐标.
26. 综合与实践
【问题情境】下面是某校数学社团在一次折纸活动中的探究过程.
【操作实践】如图 1,将矩形纸片 沿过点 的直线折叠,使点 落在 边上的点 处,折痕交 于点 ,再沿着过点 的直线折叠,使点 落在 边上的点 处,折痕交 于点 . 将纸片展平,画出对应点 及折痕 ,连接 .
图 1
图 2
【初步猜想】(1) 确定 和 的位置关系及线段 和 的数量关系.
创新小组经过探究,发现 ,证明过程如下:
由折叠可知 .
由矩形的性质，可知 , ,
①_，
.
智慧小组先测量 和 的长度,猜想其关系为②_.
经过探究,发现验证 和 数量关系的方法不唯一:
方法一:证明 ,得到 ,再由 可得结论.
方法二: 过点 作 的平行线交 于点 ,构造平行四边形 ,然后证 可得结论.
请补充上述过程中横线上的内容.
【推理证明】(2) 请你结合智慧小组的探究思路,选择一种方法验证 和 的数量关系, 写出证明过程.
【尝试运用】(3) 如图 2，在矩形 中， ，按上述操作折叠并展开后，过点 作 交 于点 ,连接 ,当 为直角三角形时,求出 的长.
27. 综合与实践
问题提出: 探究图形中线段之间的数量关系, 通常将一个图形分割成几个图形, 根据面积不变, 获得线段之间的数量关系.
图1
图2
图3
探究发现: 如图 1,在 中, 是 边上一点,过点 作 于 ,
于 ，过点 作 于 ，连结 ，由图形面积分割法得: ， 则 _____;
实践应用: 如图 2, 是等边三角形, ,点 是 边上一点. 连结 ,将线段 绕点 逆时针旋转 得 ,连结 交 于 ,过点 作 于 于 ,当 时,求 的值;
拓展延伸: 如图 3,已知 是半圆 的直径, 是弦, 是 上一点, ，垂足为 ， ， ， ，求 的值.
1. D
2. A
3. C
4. B
5. D
6. D
7.
8. A
9. B
10. C
11. 2
12. 1
13.
14.
15.
16.
17. 8
18. 24
19. (1)
(2)
20. (1)
(2)
21.(1)证明: ,
.
,
在 和 中:
;
(2)解: ，
,
,
,
,
.
22. (1)15;
(2)120 名
(3)
(1)解; (名),
本次一共调查了 60 名学生,
;
,
扇形统计图中表示“巧手木艺”部分对应扇形的圆心角度数是 ;
故答案为:15 ； ；
(2)解: (名)，
答: 估计该校八年级最喜欢 两门课程的学生人数为 120 名;
(3)解: 根据题意列表如下;
由表格可知,一共有 12 中等可能性的结果数,其中恰好选中 两门课程的结果数有两种, 恰好选中 两门课程的概率为 .
23. (1)1 5 (2)-9
解: (1) 由题意得 ,解得 ;
(2)根据题意画出树状图如下:
所以共有 9 种情况，其中两次摸球摸到一个白球和一个黑球有 4 种情况，则 两次摸球摸到一个白球和一个黑球的概率 .
24.(1)解: 相交,理由如下:
直线 与线段 交于点 ,同时直线 与线段 交于点 ,
直线 与正方形 相交;
(2)解:当直线 经过点 时， ，此时 ；
当直线 经过点 时,
,
.
即 ,
设直线 与 轴的交点分别为 ,
令 ,则 ,
令 ,解得 ,则 ,
,
如图,过 作 ,垂足为 ,则 ,
,
,
当直线在 的下方,在经过 点的直线的上方时,直线与正方形相交,
若直线 与正方形 相交,求 的取值范围为 .
25. (1)
(2)点 的坐标为 或
(3)点 的坐标为 或 或
(1) 解; 把 代入到 中得: ,
抛物线解析式为 ;
(2)解:如图 2-1 所示，当点 在 下方时，
图2-1
,
,
点 与点 关于抛物线对称轴对称,
抛物线对称轴为直线 ,
点 的坐标为 ;
如图 2-2 所示,当点 在 上方时,设直线 交 轴于 , ,
，
设 ,
,
解得 ,
;
设直线 解析式为 ,
直线 解析式为 ,
联立 ,解得 或 (舍去),
点 的坐标为 ;
综上所述,点 的坐标为 或 ;
图2-2
(3)解:由(2)可得原抛物线对称轴为直线 ，
,
由对称性可得 ,
,
,
,
;
将抛物线沿射线 的方向平移 个单位长度后得到新抛物线,
将原抛物线向左平移 2 个单位长度,向上平移 6 个长度得到新抛物线,
新抛物线解析式为 ,
当 为对角线时, 平行四边形对角线互相平分,
的中点坐标相同,
,
,
.
此时点 的坐标为 ;
当 为对角线时, 平行四边形对角线互相平分,
的中点坐标相同,
,
,
.
此时点 的坐标为 ;
当 为对角线时, 平行四边形对角线互相平分,
的中点坐标相同,
,
,
.
此时点 的坐标为 ;
综上所述，点 的坐标为 或 或 .
26.(1)① ，② ；(2)证明见详解；(3) 的长为3√5 3或4 解: (1) 由折叠可知 .
由矩形的性质,可知 ,
① ，
.
智慧小组先测量 和 的长度,猜想其关系为② .
故答案为: ① , ② ;
(2)证明:方法一: 四边形 是矩形，
,
由折叠的性质,得 ,
,
,
由( 1 )知， ，
又 ,
,
在 和 中,
,
,
,
.
方法二: 如图,过点 作 交 于点 ,
,
四边形 为平行四边形,
,
,
,
由折叠的性质,得 ,
,
,
;
(3) ，
,
由(2)可知: , ,
设 ,则 ,
,
当 为直角三角形时,分以下两种情况讨论:
①如图，若 ，
则 ,
,
,
又 ,
,
,
: 四边形 是矩形,
，
又 ,
,
,
,
即 ,
,
解得 ,
经检验, 满足题意;
；
②如图，若 ，
,
,
三点共线,
,
又: 四边形 为平行四边形,
四边形 为菱形,
,
由折叠的性质,得 ,
,
在 中, ,
,
又 ,
,
解得 ,
,
综上所述， 的长为 或 4 .
27. 探究发现: ; 实践应用: ; 拓展延伸: 24
解: 探究发现: 在 中, 是 边上一点,过点 作 于 于 ,过点 作 于 ,
,
,
,
，
故答案为: ;
实践应用: 如图,过点 作 于点 ,过点 作 于点 ,
是等边三角形, ,
，
，
，
在 中， ，
,
,
在 Rt 中, ,
将线段 绕点 逆时针旋转 得到 ,
，
是等边三角形,
，则 ，
；
拓展延伸: 如图,延长 交于点 ,过点 作 于点 ,连接 ,
设 ,
是半圆 的直径,
,
,
在 Rt 中, ,
在 Rt 中, ,
,
解得 ,
即 ,
,
,
,
,
,
在 Rt 中, ,
，
，
.

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