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2025—2026学年七年级数学下学期单元测试卷
第一章 整式的乘除 单元测试·冲刺卷
（ 全卷满分120 分，考试时间120 分钟）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D B C A C B A C C D
1．D
本题主要考查了同底数幂乘法的逆用、有理数的乘方的意义、因式分解等知识点，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
先逆用同底数幂的乘法，再根据有理数的乘方运算，然后提取公因式即可解答．
解：
．
故选D．
2．B
本题考查同底数幂的乘法运算及合并同类项，需根据相关法则逐一判断选项的计算正误．
解：A．，故A不正确，不符合题意；
B．，故B正确，符合题意；
C．，不是同类项，不可加减，故C不正确，不符合题意；
D．，故D不正确，不符合题意；
故选：B．
3．C
本题考查了幂的乘方运算法则与符号处理，掌握幂的乘方指数相乘，以及多层符号的化简规则是解题的关键．
根据指数运算法则和符号规则，逐一判断每个算式的正确性．
解：① ∵ ，而原式写为 ，错误，不符合题意；
② ∵ ，且指数相乘过程正确，正确，符合题意；
③ ∵ ，∴ ，正确，符合题意；
④ ∵ ，∴ ，错误，不符合题意；
∴正确的有②和③，共个．
故选：C．
4．A
本题考查了积的乘方，单项式乘单项式，整体思想，正确计算是解题的关键．
先利用积的乘方，单项式乘单项式法则简化表达式后，再利用整体思想将已知条件代入计算即可．
解：∵
,
又 ∵ ,
∴ ,
∴ .
故选：A．
5．C
先将展开化简，再根据已知条件变形得到的值，最后代入化简后的式子计算．本题主要考查了多项式乘法的展开以及整体代入思想，熟练掌握多项式乘多项式法则并能根据已知条件进行整体代入是解题的关键．
解：，
∴,
∴，即，
故选：C ．
6．B
本题考查了多项式乘多项式的运算，掌握不含某一项即该项的系数为的原则，以及准确找出所有生成目标项的项是解题的关键．
展开多项式乘积，找出所有产生项的项，令其系数之和为零，解出的值．
解：∵原式为，
项来源于：
∴项系数为，
∵计算结果不含项，
∴，
∴．
故选：B．
7．A
本题考查了代数式的变形与求解．解题的关键是根据给定的毛利率公式，将其看作关于b的方程，通过移项、合并同类项等步骤解出b的表达式．
已知毛利率公式，将其视为关于b的方程，先去分母得到，再通过移项把含b的项合并，最后将b的系数化为1，即可得到用p和a表示b的代数式．
解：已知毛利率，
去分母，得．
移项，得．
合并同类项，得b．
两边同时除以，得
故选：A．
8．C
本题考查了完全平方公式的应用，利用数形结合分析问题是解题的关键．
根据完全平方公式及图形的特点找到长度与面积的关系即可依次判断．
解：由图可知大正方形图案边长为，面积为，
、阴影部分小正方形的边长为，则面积为，故A正确，不符合题意；
、，故B正确，不符合题意；
、由，，
得：，故C错误，符合题意；
D、得：，则，故D正确，不符合题意；
故选：C．
9．C
本题考查了图形类的规律探究，完全平方公式等知识．根据题意推导一般性规律是解题的关键．
由题意知，可推导一般性规律为：拼第个正方形需个小正方形，则第个正方形需个小正方形，根据，计算求解即可．
解：由题意知，拼第1个正方形需个小正方形，
拼第2个正方形需个小正方形，
拼第3个正方形需个小正方形，
……
∴可推导一般性规律为：拼第个正方形需个小正方形，
∴第个正方形需个小正方形，
∴，
故选：C．
10．D
此题考查了整式的混合运算的应用，准确用代数式表示阴影部分的面积是关键．设长方形纸片的长为a，宽为b，表示出阴影部分的面积为，再计算即可得到答案．
解：设长方形纸片的长为a，宽为b，由图可得，阴影部分的面积为
∴要求阴影部分的面积，只要知道下列哪条线段的长度，
故选：D
11．/
本题考查同底数幂的乘法法则，直接应用法则计算即可．
根据同底数幂的乘法法则，．
故答案为：．
12．14
根据募集资金每月增长，第个月资金为万元，需解不等式，利用参考数据计算幂次，确定最小整数．
本题主要考查了增长率的问题，以及同底数幂的乘法，解题的关键是根据题意列出第个月募集到的资金，再根据同底数幂乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加计算即可．
解：第1个月募集资金为1万元，每月增长，则第个月募集资金为万元．
由题意得．
参考数据：，，．
计算得，
，
故，．
故答案为：14．
13．3ab
本题考查了单项式乘单项式，准确熟练地进行计算是解题的关键．
通过计算长方体的体积，并利用正方体体积公式求解棱长．
解：长方体的体积为 ，
∵
∴则该正方体水池的棱长为．
故答案为：．
14．4
此题考查了平方差公式，整体代入思想，注意掌握平方差公式：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差，正确地计算是解题的关键．
利用平方差公式简化代数式，再结合已知条件代入求值．
原式
，
∵，
∴，
∴
．
故答案为：．
15．，，
本题考查了完全平方公式的几何背景，正确表示出各图形的面积是关键．大正方形的面积减去矩形的面积即可得出阴影部分的面积，可得出三个代数式、、之间的等量关系；依此即可求解．
解：观察图②可知，代数式、、之间的等量关系式：；；．
故答案为：；；．
16．
本题考查了已知式子的值求代数式的值，整式的混合运算，解题关键是掌握整式的混合运算．
利用面积的和差分别表示出和，然后利用整式的混合运算计算它们的差．
解：
，
，
故答案为：．
17．(1)8
(2)
本题考查了幂的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
（1）根据相关运算法则计算即可；
（2）根据相关运算法则计算即可．
（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
18．(1)
(2)
本题考查的是多项式乘以多项式，掌握多项式乘以多项式法则是解题关键，
（1）根据多项式乘以多项式法则计算即可；
（2）根据多项式乘以多项式法则计算即可．
（1）解：
；
（2）解：
．
19．（1），；（2）
本题考查整式的加减化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．（1）先利用单项式乘多项式法则，平方差公式进行计算，再合并同类项得到最简结果，最后将的值代入计算即可；
（2）先利用平方差公式进行计算，再合并同类项得到最简结果，最后将整体代入计算即可．
解：（1）原式
．
当时，原式．
（2）原式
．
，
∴原式．
20．(1)
(2)
(3)
本题考查幂的运算，熟练掌握幂的运算的逆运算，是解题的关键：
（1）逆用积的乘方进行计算即可；
（2）利用幂的乘方，以及同底数的乘法法则进行求解即可；
（3）先将各数化为同指数的形式，再比较底数的大小即可．
（1）解：；
故答案为：；
（2）解：，
，
，
，
解得．
（3）解：，，
，，
又∵，
，
．
21．(1)
(2)①， ②57600元
（1）根据长方形的面积公式和正方形的面积公式分别计算、两园区的面积，再相加即可求解；
（2）①根据等量关系：整改后园区的长比宽多米；整改后园区的周长为米；列出方程组求出的值；
②代入数值分别得到整改后园区和园区的面积，再根据净收益收益投入，列式计算即可求解．
（1）解：
．
（2）解：①整改后园区的长为，
宽为．
根据题意，得，
即，解得．
把代入，解得．
②园区整改后的面积为，
园区的面积为，
所以整改后，两个园区的旅游净收益之和为（元）．
此题考查整式的混合运算，找出问题中的已知条件和未知量及它们之间的关系是解决问题的关键．
22．(1)；
(2)
(3)
本题考查了完全平方公式的几何背景，通过几何图形之间的数量关系对完全平方公式做出几何解释，掌握完全平方公式的运用是解题的关键．
（1）依据正方形的面积公式以及大正方形的各个组成部分，即可得到该图形的总面积；
（2）由（1）可得，即可得出的值；
（3）设，，则，，再根据，即可得到的值．
（1）解：方法1，图中大正方形的边长为，所以面积为；
方法2，拼成大正方形的四个部分的面积和为．
（2）解：由（1）得，
，，
．
（3）解：设，，
则，，
由，得，
，
即的值为28．
23．(1)绿化的面积是平方米
(2)绿化部分与原长方形地块的面积之比是
本题考查了完全平方公式在几何图形中的应用，多项式乘多项式与图形面积，多项式除以多项式，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解．
（1）绿化面积=大长方形的面积-雕塑面积-通道面积，大长方形的面积，雕塑的面积，通道的面积，代入到关系式中计算即可；
（2）因为雕塑面积恰好为绿化面积的2倍，可得，化简可得，因为，，所以，绿化部分与原长方形地块的面积之比是，化简后得，将代入，求出最简比．
（1）解：
（平方米）；
答：绿化的面积是平方米．
（2），
，
即，
因为，，
所以，
，
答：绿化部分与原长方形地块的面积之比是．
24．(1)，
(2)①3；②9
(3)，理由见解析
本题主要考查了列代数式、完全平方公式、多项式乘法与图形面积、整式的四则混合运算等知识点，掌握数形结合思想成为解题的关键．
（1）直接根据图2、图3列代数式即可；
（2）①由题意可得、、，然后根据完全平方公式求值即可；②先求出，然后根据完全平方公式求值即可；
（3）先根据图2、图3列代数式表示出，然后根据整式的四则混合运算求出，再与比较即可解答．
（1）解：当正方形的边长为x时，
图2中阴影部分的面积：；
图2中阴影部分的面积：；
故答案为：，．
（2）解：∵图1中长方形纸片的面积为40，周长为26，
∴，即，
①，
∴．
②
．
（3）解：，理由如下：
当正方形的边长为x时，
由图2中两张长方形纸片重叠部分面积：，
由图3中两张长方形纸片重叠部分面积：，
∴
，
∵，
∴．(共7张PPT)
北师大版2024 七年级下册
第一章 整式的乘除
单元测试·冲刺卷分析
一、试题难度
整体难度：中等
难度 题数
较易 4
适中 19
较难 1
一、试题难度
三、知识点分布
一、单选题 1 0.85 同底数幂乘法的逆用；有理数的乘方运算
2 0.75 同底数幂相乘；合并同类项
3 0.65 幂的乘方运算
4 0.65 积的乘方运算；计算单项式乘单项式；已知式子的值，求代数式的值
5 0.65 计算多项式乘多项式；已知式子的值，求代数式的值
6 0.65 已知多项式乘积不含某项求字母的值
7 0.65 多项式除以单项式
8 0.65 通过对完全平方公式变形求值；完全平方公式在几何图形中的应用
9 0.65 运用完全平方公式进行运算；图形类规律探索
10 0.64 整式的混合运算；完全平方公式在几何图形中的应用
三、知识点分布
二、填空题 11 0.85 同底数幂相乘
12 0.75 同底数幂乘法的逆用
13 0.65 正方体、长方体的体积与容积；计算单项式乘单项式
14 0.65 已知式子的值，求代数式的值；运用平方差公式进行运算；合并同类项
15 0.65 完全平方公式在几何图形中的应用
16 0.65 已知式子的值，求代数式的值；整式的混合运算
三、知识点分布
三、解答题 17 0.85 积的乘方的逆用
18 0.75 计算多项式乘多项式
19 0.65 已知字母的值 ，求代数式的值；已知式子的值，求代数式的值；运用平方差公式进行运算
20 0.65 同底数幂相乘；幂的乘方运算；积的乘方的逆用
21 0.65 多项式乘多项式与图形面积；已知字母的值 ，求代数式的值
22 0.65 多项式乘多项式与图形面积；运用完全平方公式进行运算
23 0.65 多项式乘多项式与图形面积；完全平方公式在几何图形中的应用
24 0.4 列代数式；多项式乘多项式与图形面积；整式四则混合运算；完全平方公式在几何图形中的应用2025—2026学年七年级数学下学期单元测试卷
第一章 整式的乘除 单元测试·冲刺卷
（ 全卷满分120 分，考试时间120 分钟）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题（每题 3 分，共 30 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．计算所得的结果是（　　）
A． B．2 C． D．
2．下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．下列四个算式中，正确的有（ ）
①；②；③；④．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
4．若，则的值为（ ）
A．－16 B．－8 C．－4 D．8
5．已知，则的值等于（ ）
A． B． C． D．
6．若的计算结果中不含项，则的值为（ ）
A．3 B． C． D．0
7．若商品的买入价为a，售出价为b，则毛利率，已知p，a，则（ ）
A． B． C． D．
8．如图，由4个全等的小长方形与1个小正方形拼成一个大正方形图案．分别用a，b（）表示小长方形的长和宽，已知，阴影部分小正方形的边长为3，则下列关系式中错误的是（ ）
A． B． C． D．
9．如图，用相同的小正方形拼大正方形，拼第1个正方形需要4个小正方形，拼第2个正方形需要9个小正方形……．按照这样的方法拼成的第个正方形比第个正方形多的小正方形的个数为（ ）
A． B． C． D．
10．有4张完全一样的长方形纸片，按如图的方式拼成一个正方形．若要求阴影部分的面积，只要知道下列哪条线段的长度（　　）
A． B． C． D．
二、填空题（每小题 3 分，共 18 分）
11．计算： ．（结果用幂的形式表示）
12．一批志愿者组成了一个爱心团队，专门到全国各地巡回演出，以募集爱心基金．第1个月他们募集到资金1万元，随着影响力的扩大，第n（且n为整数）个月他们募集到的资金比上个月增加20%，则当某月募集的资金首次突破10万元时，相应的n的值为 （参考数据：，，）．
13．现欲将一个长为3ab dm，宽为，高为的长方体废水池中的满池废水注入正方体水池处理．若这些废水刚好装满一个正方体水池，则该正方体水池的棱长为 dm．
14．已知，则 ．
15．有许多代数恒等式可以用图形的面积来表示，如图，它表示了．观察图，请你写出三个代数式、、之间的等量关系是 ．
16．在矩形内，将两张边长分别为a和b（）的正方形纸片按图1，图2的两种方式放置（图1，图2中两张正方形纸片均有部分重叠），矩形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1中阴影部分的面积为，图2中阴影部分的面积为，当时，的值为 ．
三、解答题（第 17，18，19，20，21 ，22题每题 10分，第 23题每题 12 分，共 72 分）
17．简便计算：
(1)；
(2)．
19．（1）先化简，再求值：，其中．
（2）已知，求代数式的值．
20．逆向运用幂的运算法则可以得到，，，，在解题过程中，根据算式的结构特征，逆向运用幂的运算法则，常可以化繁为简，化难为易，使问题巧妙获解．
(1)的结果是________．
(2)若，求的值．
(3)比较大小：已知，，，，则，，，的大小关系是什么？（提示：如果，为正整数，那么）
21．某植物园中有，两个园区，已知园区为长方形，长为，宽为；园区为正方形，边长为．
(1)请用代数式表示，两个园区的面积之和并化简；
(2)现根据实际需要对园区进行整改，长增加，宽增加，整改后园区的长比宽多50m，且周长为．
①求，的值；
②若园区全部种植种花，园区全部种植种花，且，两种花投入的费用与吸引游客的收益如下表：
种花 种花
投入/（元/平方米） 12 16
收益/（元/平方米） 18 26
求整改后，两个园区的旅游净收益（净收益=收益-投入）之和．
22．如图，将一个边长为的正方形图形分割成四部分（两个正方形和两个长方形），请认真观察图形，解答下列问题：
(1)根据图中条件，请用两种方法表示该图形总面积（用含的代数式表示出来）．
(2)如果图中的满足，，求的值．
(3)已知，求的值．
23．如图，某市有一块长为米，宽为米的长方形地块，规划部门计划在正中央修建一座底部为正方形的雕塑，正方形的边长为米，左右两边各修一条长为a米，宽为b米的通道，其余部分进行绿化．（，）
(1)试用含a，b的代数式表示绿化的面积．
(2)若雕塑面积恰好为绿化面积的2倍，求此时绿化部分与原长方形地块的面积之比．
24．如图1，现有两张长为a，宽为b的长方形纸片，将它们按图2，图3两种方式放置在正方形中，正方形中未被这两张长方形纸片覆盖的部分用阴影表示，图2中阴影部分面积记为，图3中阴影部分面积记为，图2和图3中两张长方形纸片重叠部分面积分别记为和．
(1)当正方形的边长为x时，________，_______．（用含a，b，x的代数式表示，不用化简）；
(2)若图1中长方形纸片的面积为40，周长为26，求①的值；②的值；
(3)请判断的值与的值是否有关？并说明理由

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