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2025—2026学年七年级数学下学期单元测试卷
第一章 整式的乘除 单元测试·过关卷
（ 全卷满分120 分，考试时间120 分钟）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题（每题 3 分，共 30 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．若，，则的值为（　　）
A． B．3 C． D．27
2．计算的结果是（ ）
A． B． C． D．
3．在①；②；③；④；⑤；⑥中，能用平方差公式计算的有（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
4．下列多项式相乘的结果是的为（ ）．
A． B．
C． D．
5．截至2025年6月3日，“本源悟空”全球访问量已突破2900万次，刷新了我国自主量子算力服务规模纪录．其中数据“2900万”用科学记数法表示为，则的值为（ ）
A．9 B．8 C．7 D．6
6．若表示一个单项式，且，则表示的单项式是（　　）
A． B． C． D．
7．我校“快乐农场”开辟出一块边长为的正方形菜地，计划种植黄瓜与番茄两种蔬菜．为了兼顾美观，在菜地中设计两个长和宽分别为a，b的长方形，其中每个长方形的长与宽之差为，每个长方形的面积为．如图，计划在图中阴影部分种植黄瓜，其余菜地种植番茄，请求出黄瓜的种植面积是（ ）．
A．53 B．35 C．47 D．68
8．下列计算中①；②；③；④，正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．下列各式计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
10．如图，在边长为的正方形四周分别放置四个边长为的小正方形，构造了一个大正方形，并画出阴影部分图形．现将阴影部分图形面积记作，每一个边长为的小正方形面积记作，若，则的值是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（每小题 3 分，共 18 分）
11．若是正整数，且，，则 ．
12．已知多项式．若，则A的值为 ．
13．若关于x的二次三项式，则的值是 ．
14．已知，，，，则最大值和最小值的和为 ．
15．在求多项式除以多项式时，可类似于正整数除法的“列竖式”得到商式和余式，例如：通过“列竖式”可求得的商式为，余式为22，如图所示．运用此方法，那么的商式为 ，余式为 ．
16．如果将（为非负整数）展开式的每一项按字母的指数由大到小排列，就可以得到下面的结果：
，它只有一项，系数为1；
，它有两项，系数分别为1，1：
，它有三项，系数分别为1，2，1；
，它有四项，系数分别为1，3，3，1；
…
将上述每个式子的各项系数排成如图，该图在我国南宋数学家杨辉的著作《详解九章算法》中提到过，因而人们把这个图叫做“杨辉三角”．该图中的数据排列有着一定的规律，依照此规律，第21行从左边数第3个数是 ．
三、解答题（第 17，18，19，20，21 ，22题每题 10分，第 23题每题 12 分，共 72 分）
17．计算：
(1)
(2)
18．先化简，再求值：
(1)，其中，．
(2)．其中，．
19．先化简，再求值：
(1)已知，求的值．
(2)，其中，．
20．张伯伯家有一个长为，宽为的长方形菜地，为了方便存放工具，他在菜地的一角修建了一个长为，宽为的长方形储物室，然后在剩余的部分种菜（阴影部分）．
(1)求种菜部分的面积；（结果需要化简）
(2)若，求种菜部分的面积．
21．在多项式的乘法公式中，完全平方公式是其中重要的一个．
(1)请你补全完全平方公式的推导过程：
____________________________________；
(2)如图，将边长为的正方形分割成Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ四部分．请结合图形给出完全平方公式的几何解释．
22．某种电子计算机每秒可进行次运算．
(1)它工作秒，可进行多少次运算？（结果用科学记数法表示）
(2)该计算机进行次运算需要多少秒？
23．从边长为的正方形中剪掉一个边长为的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）．
(1)上述操作能验证的等式是___________（填字母）．
A．
B．
C．
(2)应用你从（1）选出的等式，完成下列各题：
①已知，求的值；
②计算：；
③计算：．
24．在我国南宋数学家杨辉（约13世纪）所著的《详解九章算术》（1261年）一书中，用如图的三角形解释二项和的乘方规律，法国数学家帕斯卡于1654年才发现此三角形，比中国晚了几百年，杨辉在注释中提到，在他之前北宋数学家贾宪（1050年左右）也用过这种方法，因此我们称这个三角形为“杨辉三角”或“贾宪三角”．此图揭示了（n为非负整数）的展开式的项数及各项系数的有关规律：
(1)补充完整的展开式，
(2)的展开式中共有 项，所有项的系数和为 ；
(3)利用上面的规律计算：．2025—2026学年七年级数学下学期单元测试卷
第一章 整式的乘除 单元测试·过关卷
（ 全卷满分120 分，考试时间120 分钟）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C D A B C B A A B A
1．C
本题考查了同底数幂的除法运算，熟练掌握其运算法则是解题的关键．
利用同底数幂除法的运算法则计算即可．
解：∵同底数幂相除，底数不变，指数相减，即，
又∵，，
∴．
故选：C．
2．D
本题考查了幂的运算，涉及逆用同底数幂的乘法运算法则、逆用积的乘方运算法则，解题的关键是熟练掌握计算公式．
利用指数运算法则，将原式化为相同指数后合并计算．
解：
故选：D．
3．A
本题考查平方差公式的识别，核心是掌握平方差公式的结构特征：两个二项式相乘，其中一项完全相同，另一项互为相反数，即满足的形式．
解：根据平方差公式的结构特征，
①，是完全平方公式，不符合平方差公式的结构；
②，符合平方差公式结构；
③，是完全平方公式的变形，不符合平方差公式结构；
④，式子中无相同项和互为相反数的项，不符合平方差公式结构；
⑤，符合平方差公式结构；
⑥，符合平方差公式结构；
综上，能用平方差公式计算的有②、⑤、⑥，共3个．
故选：A．
4．B
本题考查多项式乘多项式，熟练掌握整式乘法的运算法则是关键．
根据整式乘法的运算法则计算各选项结果，与题干中的多项式对比即可．
解：多项式乘多项式法则为，
计算各选项：
对于选项A：，不符合题意；
对于选项B：，符合题意；
对于选项C：，不符合题意；
对于选项D：，不符合题意．
故选：B．
5．C
此题考查科学记数法表示较大的数的方法，准确确定与值是关键．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定n的值是易错点，由于万，所以可以确定．
解：∵2900万，
∴．
故选：C．
6．B
此题主要考查了单项式除以单项式，利用单项式与单项式除法，把它们的系数，相同字母分别相除，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式，进而得出即可，熟练掌握运算法则是解题关键．
解：∵，
∴
，
故选：．
7．A
本题考查了完全平方公式与几何面积，正确掌握相关性质内容是解题的关键．由题意先得出，再运用，得出，结合图形，得阴影部分面积，进行化简，再代入数值，进行计算，即可作答．
解：∵在菜地中设计两个长和宽分别为、的长方形，其中每个长方形的长与宽之差为2米，每个长方形的面积为35平方米，
∴，
则．
（负值已舍去），
阴影部分面积
（平方米）．
故选：A
8．A
本题考查整式的运算，涉及积的乘方、同底数幂的除法、单项式乘单项式等，需逐一验证每个计算的正误即可
解：①，故①错误；
②，故②错误；
③，故③正确；
④，故④错误．
∴仅③正确，正确的有1个．
故选：A．
9．B
本题主要考查了单项式乘以单项式，掌握单项式乘以单项式的运算法则是解题的关键．
利用单项式乘以单项式的运算法则逐项判断即可．
解：A．，故该选项错误，不符合题意；
B．，故该选项正确，符合题意；
C．，故该选项错误，不符合题意；
D．，故该选项错误，不符合题意．
故选B．
10．A
本题考查了整式混合运算的应用，先求出，，由即可求解；能求出面积是解题的关键．
解：由图得
，
，
，
，
，
；
故选：A．
11．900
本题考查了求代数式的值，积的乘方和幂的乘方综合应用，将原式化为，代值计算，即可求解．
解：，
故答案为．
12．2
本题考查了整式的混合运算、完全平方公式的运用，利用整体代入的方法进行求值是解题的关键．
先根据完全平方公式化简多项式 ，合并同类项后，利用已知条件 ，整体代入求值．
解：
∵
∴
故答案为：2．
13．
本题考查多项式乘多项式，多项式相等的条件，代数式求值．
按照运算法则计算，根据对应项系数相等，可得和，代入计算即可．
解：∵，
∴，，
∴，，
∴，
∴的值是．
故答案为：．
14．7
先分别计算、、、的值，再比较大小找出最大值和最小值，最后计算它们的和．
解：①计算各值：
②比较大小：
∴最大值为，最小值为
③计算最大值与最小值的和：
．
故答案为：．
本题考查了零指数幂、负整数指数幂和乘方的运算，解题关键是准确计算每个表达式的值，并正确比较大小．
15． 3
本题主要考查了整式的除法运算，仿照条件中的方法，列出竖式，进行计算即可．
解：如图所示：
的商式为，余式为3，
故答案为：，3．
16．190
本题主要考查了数字类规律的探索，解题的关键是找出规律．
利用“杨辉三角”给出来的规律进行求解即可，即每一行左边数第3个数是前几行第2个数之和．
解：根据“杨辉三角”给出来的规律，即每一行左边数第3个数是前几行第2个数之和，
即第n行()从左边数第3个数是，
∴第21行从左边数第3个数是，
故答案为：190．
17．(1)
(2)
本题考查了有理数的混合运算，幂的乘方，同底数幂的乘法和单项式乘以单项式，解题的关键是掌握以上运算法则．
（1）先计算乘方，然后计算乘法，最后计算加减；
（2）首先计算幂的乘方，同底数幂的乘法和单项式乘以单项式，然后合并即可．
（1）解：
；
（2）解：
．
18．(1)；4
(2)；4
本题考查整式的化简求值，熟练掌握整式化简的方法是解题的关键．
（1）根据完全平方公式和平方差公式进行化简，再将，代入化简后的式子，计算求解即可；
（2）根据完全平方公式和除法分配律进行化简，再将所给值代入化简后的式子，计算求解即可．
（1）解：
，
当，时，原式；
（2）解：
，
当时，原式．
19．(1)，
(2)，
本题考查了整式的混合运算和代数式求值，涉及整体代入思想，掌握多项式乘法展开后合并同类项的化简技巧，以及通过整体代入简化计算是解题的关键．
（1）先展开多项式乘法，合并同类项后，发现化简结果与已知条件表达式完全一致，直接整体代入求值；
（2）先展开两个多项式乘法，合并同类项化简表达式，再代入的具体值计算．
（1）解：原式
．
当时，
原式．
（2）解：
．
当，时，
原式．
20．(1)；
(2)．
（1）首先，根据长方形面积公式分别求出大长方形菜地的面积和储物室的面积．然后，用大长方形菜地的面积减去储物室的面积，得到种菜部分的面积，并进行化简．
（2）将，代入（1）中化简后的种菜部分面积表达式，计算出具体数值即可．
本题主要考查了整式的混合运算以及代数式求值，同时涉及平方差公式的应用．熟练掌握长方形面积公式、平方差公式以及整式的运算法则是解题的关键．
（1）解：
；
（2）解：当，时，
原式
．
21．(1)，，；
(2)见解析．
（1）依据多项式乘多项式法则，即可得到结果；
（2）依据边长为的正方形分割成四部分，即可得到完全平方公式的几何解释．
（1）解：．
故答案为：,,；
（2）解：边长为的正方形的面积，等于边长分别为和的两个小正方形的面积，再加上两个长为，宽为的长方形的面积的和．
本题主要考查了完全平方公式的几何背景，运用几何直观理解、解决完全平方公式的推导过程，解决本题的关键是通过几何图形之间的数量关系对完全平方公式做出几何解释．
22．(1)次运算
(2)5秒
本题主要考查科学记数法—表示较大的数，有理数混合运算，读懂题意是解题的关键．
（1）根据工作总量工作效率工作时间，即可作答；
（2）根据工作时间工作总量工作效率，即可作答．
（1）解：（次，
答：它工作秒，可进行次运算．
（2）解：（秒，
答：该计算机进行次运算需要5秒．
23．(1)B
(2)①，②，③
本题主要考查平方差公式的运用，熟练运用平方差公式进行拆分是解题关键．
（1）根据图形左右两边阴影面积相等解题即可．
（2）①利用平方差公式计算即可；
②利用平方差公式拆分每一项，再相消即可；
③利用平方差公式拆分每一项，再相消即可．
（1）解：图1中阴影部分的面积可以看作两个正方形的面积差，即，
拼成的图2是长为，宽为的长方形，因此面积为，
所以有，
故选：B；
（2）解：①，即，而，
；
②原式
；
③原式
．
24．(1)
(2)9，256
(3)32
本题考查多项式乘以多项式的规律问题，从给出的等式中，找到相应的规律是解题的关键．
（1）根据“杨辉三角”或“贾宪三角”的系数的排列图即可得到答案；
（2）根据“杨辉三角”或“贾宪三角”的系数的排列图，找到规律共项，所有项系数的和为，即可得到答案；
（3）利用（1）（2）的规律，可取，，代入计算即可得到答案．
（1）解：利用“杨辉三角”或“贾宪三角”，如图所示：
∴，
故答案为：；
（2）解：由题意得，利用“杨辉三角”或“贾宪三角”，如图所示：
共2项，所有项系数的和为；
共3项，所有项系数的和为；
共4项，所有项系数的和为；
……
∴共项，所有项系数的和为，
∴共9项，所有项系数的和为，
故答案为：9，256；
（3）解：
，
∴可取，，
即原式．(共7张PPT)
北师大版2024 七年级下册
第一章 整式的乘除
单元测试·过关卷分析
一、试题难度
整体难度：中等
难度 题数
容易 2
较易 6
适中 15
较难 1
一、试题难度
三、知识点分布
一、单选题 1 0.94 同底数幂的除法运算
2 0.85 同底数幂乘法的逆用；积的乘方的逆用
3 0.85 运用平方差公式进行运算
4 0.85 （x+p）（x+q）型多项式乘法
5 0.75 用科学记数法表示绝对值大于1的数
6 0.65 计算单项式除以单项式
7 0.65 完全平方公式在几何图形中的应用
8 0.65 幂的乘方运算；积的乘方运算；同底数幂的除法运算；计算单项式乘单项式
9 0.65 计算单项式乘单项式
10 0.64 整式的混合运算
三、知识点分布
二、填空题 11 0.85 幂的乘方运算；积的乘方运算；已知式子的值，求代数式的值
12 0.75 已知式子的值，求代数式的值；运用完全平方公式进行运算
13 0.65 计算多项式乘多项式；已知字母的值 ，求代数式的值；多项式系数、指数中字母求值
14 0.65 零指数幂；负整数指数幂；有理数大小比较
15 0.65 多项式除以单项式
16 0.55 多项式乘法中的规律性问题；数字类规律探索
三、知识点分布
三、解答题 17 0.85 同底数幂相乘；幂的乘方运算；计算单项式乘单项式；含乘方的有理数混合运算
18 0.75 多项式乘多项式——化简求值；整式的混合运算；运用平方差公式进行运算；运用完全平方公式进行运算
19 0.75 多项式乘多项式——化简求值
20 0.65 已知字母的值 ，求代数式的值；整式四则混合运算
21 0.65 运用完全平方公式进行运算；完全平方公式在几何图形中的应用
22 0.65 有理数四则混合运算的实际应用；用科学记数法表示绝对值大于1的数
23 0.65 运用平方差公式进行运算；平方差公式与几何图形
24 0.64 多项式乘法中的规律性问题

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