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北师大版2024 七年级下册
第一章 整式的乘除
单元测试·基础卷分析
一、试题难度
整体难度：一般
难度 题数
容易 1
较易 5
适中 18
一、试题难度
三、知识点分布
一、单选题
1 0.94 已知多项式乘积不含某项求字母的值
2 0.85 用科学记数法表示绝对值小于1的数
3 0.75 积的乘方的逆用
4 0.65 多项式乘法中的规律性问题；整式的混合运算；数字类规律探索
5 0.65 运用平方差公式进行运算
6 0.65 计算单项式乘多项式及求值；单项式的判断；单项式的系数、次数；多项式的项、项数或次数
7 0.65 （x+p）（x+q）型多项式乘法；整式的加减运算
8 0.65 计算多项式乘多项式
9 0.65 平方差公式与几何图形
10 0.65 多项式乘多项式与图形面积；整式四则混合运算
三、知识点分布
二、填空题
11 0.85 计算单项式乘单项式；利用单项式乘法求字母或代数式的值
12 0.85 幂的乘方运算；同底数幂除法的逆用
13 0.75 用科学记数法表示绝对值大于1的数
14 0.65 整式四则混合运算；完全平方公式在几何图形中的应用
15 0.65 完全平方公式在几何图形中的应用
16 0.65 已知多项式乘积不含某项求字母的值；已知字母的值 ，求代数式的值
三、知识点分布
三、解答题
17 0.85 同底数幂相乘；幂的乘方运算；同底数幂的除法运算
18 0.75 计算单项式乘多项式及求值；整式的加减运算
19 0.65 计算单项式乘多项式及求值；多项式乘多项式——化简求值
20 0.65 运用平方差公式进行运算；数字类规律探索
21 0.65 多项式乘多项式与图形面积
22 0.65 多个有理数的乘法运算；有理数的除法运算；用科学记数法表示绝对值大于1的数
23 0.65 已知字母的值 ，求代数式的值；整式的混合运算；通过对完全平方公式变形求值
24 0.64 计算单项式乘多项式及求值；已知式子的值，求代数式的值2025—2026学年七年级数学下学期单元测试卷
第一章 整式的乘除 单元测试·基础卷
（ 全卷满分120 分，考试时间120 分钟）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题（每题 3 分，共 30 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．若的展开式中不含x项，则实数m的值为（　　）
A． B．0 C．3 D．6
2．若水珠不断滴在一块石头上，经过40年，石头上会形成一个深约的小洞．数据0.0000052用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
3．计算的结果是（ ）
A． B． C． D．
4．观察下列算式：①；②；③；…结合你观察到的规律判断的计算结果的末位数字为（ ）
A．1 B．3 C．5 D．7
5．下列各式计算错误的是（ ）
A．
B．
C．
D．
6．下列选项中正确的是（ ）．
A． B．单项式的次数是3
C．5是单项式 D．多项式的一次项系数为2
7．若，，则与的大小关系为（ ）
A． B． C． D．由的取值而定
8．下列各式中，结果错误的是（ ）
A． B．
C． D．
9．从边长为a的大正方形纸板正中央挖去一个边长为b的小正方形后，将其裁成四个大小和形状完全相同的四边形（如图1），然后拼成一个平行四边形（如图2），那么通过计算两个图形阴影部分的面积，可以验证成立的等式为（ ）

A． B．
C． D．
10．在长方形内，将两张边长分别为a和的正方形纸片按图①，②两种方式放置(图①,②中两张正方形纸片均有部分重叠)，长方形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示．若，图①中阴影部分的面积表示为，图②中阴影部分的面积表示为，以下用含a，b的代数式表示的值正确的是（　　）
A． B． C． D．
二、填空题（每小题 3 分，共 18 分）
11．若，，则 ．
12．若已知，，则的值为 ．
13．太阳系的形状像一个以太阳为中心的大圆盘，光通过这个圆盘的半径的时间约为，光的速度是，则太阳系的半径约为 km．
14．图1为两位同学自制的“福”字中国结，其中主体部分（图2、图3阴影部分）均由边长为的大正方形红布裁剪而成，图2、图3空白部分为裁前掉部分．图2的四个角落图形相同，其中四边形ABCD和OPDQ分别是边长为和的正方形，中间处是边长为的正方形，图3阴影部分是由四块边长为的正方形和一块边长为的正方形组成，且图2和图3两块阴影部分的面积都是60，则未裁剪前大正方形红布的面积为 ．
15．如图1是中国数学会的会徽，它是由四个相同的直角三角形拼成的一个正方形．将会徽抽象为图2，记．对图2进行图形运动得到图3，图形运动后，原正方形与六边形的面积相等，由此可得关于的等式为 ．
16．在把，的值代入（，均为常数）计算时，小明把的值看错了，其结果等于9；小红把正确的，的值代入计算，结果恰好也是9．为了找出原因，小红又把的值换成了2025，结果竟然还是9．根据以上信息可知， ．
三、解答题（第 17，18，19，20，21 ，22题每题 10分，第 23题每题 12 分，共 72 分）
17．计算：
(1)；
(2)；
(3)．
18．计算：
(1)；
(2)．
19．先化简，再求值：
(1)，其中；
(2)，其中，．
20． 已知有下列等式
……
根据以上等式的规律完成下列问题：
(1)依次往下排列，第6个等式为 第n个等式为
(2)根据以上知识判断：对于任意两个连续偶数的平方差，一定可以被 （4或8）整除，并证明你的结论．
21．如图，嘉嘉用2张同样大小的长方形硬纸片拼接成一个面积为的正方形，按要求回答下面的问题．
(1)求长方形硬纸片的长和宽；
(2)嘉嘉想用该正方形硬纸片制作一个体积为的正方体无盖笔筒，该硬纸片是否够用？若够用，请求出剩余的硬纸片的面积；若不够用，请求出缺少的硬纸片的面积．
22．光年是一种距离单位，光在真空中一年内走过的路程为1光年，一般被用于计算恒星间的距离．
(1)已知光的速度约为，如果按1年为365天、每天为计算，1光年约等于多少千米？（可以借助计算器计算）
(2)太阳系以外离地球最近的恒星是比邻星，它与地球的距离大约为．比邻星与地球的距离约合多少光年？（可以借助计算器计算）
23．某校的一个数学兴趣小组参加了学校科技节比赛，制作了航天火箭模型．为了向全校同学宣传自己的科技作品，制作了如下图所示的宣传版画，它由一个三角形和两个梯形组成，已知宣传版画（阴影部分）的尺寸如图所示．
(1)用含a，b的代数式表示图中宣传版画的总面积（结果需化简）．
(2)若，，求宣传版画的总面积．
24．阅读：已知，求的值．
分析：考虑到，的可能值较多，不能逐一代入求解，故考虑运用整体思想，将整体代入求值．
解：
．
用上述方法解决以下问题．
(1)已知，求的值．
(2)已知，求的值．2025—2026学年七年级数学下学期单元测试卷
第一章 整式的乘除 单元测试·基础卷
（ 全卷满分120 分，考试时间120 分钟）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D B D B B C C C D A
1．D
本题考查多项式乘多项式的法则，不含某一项就是该项的系数等于0．先根据多项式乘多项式展开式子，合并同类项，令的一次项的系数为0，进而求出的值．掌握多项式乘多项式的法则和合并同类项是解题的关键．
解：，
展开式中不含项，
，
，
故选：D．
2．B
本题考查了科学记数法表示较小的数，掌握科学记数法的形式为是解题的关键．
将小数转化为科学记数法形式，确定满足的值，再根据小数点向右移动到第一个非的数字后，小数点移动了几位，就等于几，由此确定的值即可．
解：∵的小数点向右移动位得到，且满足，
∴．
故选：B．
3．D
本题考查了有理数的乘方运算，乘法运算律，先把原式变形为，再运用乘法运算律进行简便运算，即可作答．
解：
．
故选：D
4．B
本题考查了整式的混合运算和求值的运用，熟练掌握多项式的乘法运算和数字的变化规律是解题关键．根据已知式子的特点得出规律，求出式子的结果，再求出的个位数字，最后即可得出答案．
解：∵①，
②，
③，
…，
，
．
，，，，，，的乘方运算，其末位数字分别为，，，，每个为一组，依次循环．
，
的末位数字为，
的末位数字为，
即的计算结果的末位数字为．
故选：B．
5．B
本题考查了平方差公式的应用，掌握平方差公式的定义是关键．
通过平方差公式，即，验证各选项的计算是否正确．
解：A、，计算正确，不符合题意；
B、，但原选项写为，计算错误，符合题意；
C、，计算正确，不符合题意；
D、，计算正确，不符合题意；
故选：B．
6．C
本题考查单项式，多项式，单项式乘以多项式．
根据单项式和多项式的系数、次数，单项式乘多项式的运算法则，对各选项进行分析判断即可．
解：A．，原计算错误，不符合题意；
B．单项式 的次数是 ，原说法错误，不符合题意；
C． 5是单项式，原说法正确，符合题意；
D．多项式 的一次项系数为，原说法错误，不符合题意．
7．C
本题主要考查了多项式乘多项式以及作差法比较代数式的大小，熟练掌握多项式乘多项式的运算法则是解题的关键．
本题可通过计算的值，根据其正负性来判断与的大小关系．需要先分别展开和的表达式，然后作差，再对差进行化简，最后根据化简结果判断大小．
解：∵，，
∴
，
因为，即，
所以
故选：C．
8．C
本题考查了多项式乘多项式，掌握多项式乘多项式法则是解题的关键．
对每个选项运用多项式乘法法则展开计算，对比左右两边是否相等，从而找出结果错误的选项．
解：A、与右边相等，正确，不符合题意；
B、与右边相等，正确，不符合题意；
C、而选项右边是，错误，符合题意；
D、与右边相等，正确，不符合题意．
故选：C．
9．D
计算图1中阴影部分面积，为大正方形面积减去小正方形面积，即计算图2中拼成的平行四边形面积，其长为宽为面积为由于阴影部分面积不变，故可验证等式．
本题考查了平方差公式的几何验证，解题的关键是通过计算两个图形中阴影部分的面积，利用面积相等验证等式．
解：图1中，阴影部分是从边长为a的大正方形中挖去边长为b的小正方形，
因此阴影部分面积为大正方形面积减去小正方形面积，即．
图2中，阴影部分被拼成一个平行四边形，其一边长为该边上的高为
因此该平行四边形的面积为底乘高，即．
由于阴影部分的面积在裁剪和拼接过程中不变，即
所以．
故选：D．
10．A
本题考查了列代数式和整式的混合运算，解题的关键是：能灵活运用整式的运算法则进行计算．
设，则，根据图形得出，再根据整式的运算法则即可求出答案．
解：设，则，
故选：A．
11．1
此题考查了单项式乘单项式，化简求值， 熟练掌握运算法则是解本题的关键．
先利用单项式乘以单项式法则计算，然后将已知等式代入计算即可求出值．
解：原式＝，
当 和 时，
原式．
故答案为：．
12．
本题主要考查幂的乘方，同底数幂的除法的逆运算，利用指数运算法则，将 转化为 ，再代入已知值计算．
解：，，
∵，
∴ ．
故答案为 ．
13．
此题考查科学记数法的表示方法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
根据距离公式，半径等于光速乘光通过半径的时间，计算的结果用科学记数法表示出来即可．
解：光速 km/s，时间 s，
由距离公式得半径 ．
故答案为：．
14．100
本题考查了正方形面积的计算以及代数式的化简与求值，解题的关键是根据图形中阴影部分的构成列出面积关系式，再结合已知条件联立求解．
由图2阴影面积列出方程，化简得；由图3阴影面积为；将上述结果代入大正方形面积公式，计算得100．
根据图2所示的阴影部分面积为60可得：
，
展开化简：，
，
，则．
根据图3所示的阴影部分面积为60可得：．
∴大正方形面积：．
故答案为：100．
15．
本题主要考查了完全平方公式的几何背景，解题时注意数形结合思想的运用．
六边形可以看作由四个直角三角形和中间的小正方形组成分别表示出面积可得等式．
解：∵正方形的边长为，
∴
∵六边形可以看作由四个直角三角形和中间的小正方形组成，
∴每个直角三角形的面积为，四个总面积为．中间小正方形的边长为，面积为 ．
∵正方形与六边形面积相等：
∴
∴．
故答案为：．
16．
本题考查整式的化简求值，解题的关键是读懂题意，列出关于的方程．
根据题意，表达式在取不同值时结果恒为，说明表达式与无关，因此的系数和的系数均为，结合，可求解和的值．
解：展开并化简表达式：
∵表达式值恒为，
∴与无关，
则，,
∴
∴
解得：
因此，,
故答案为：．
17．(1)
(2)
(3)
本题考查幂的运算，涉及同底数幂的乘除法、幂的乘方，熟练掌握相关运算法则是解答的关键．
（1）根据同底数幂的除法运算法则求解即可；
（2）先根据同底数幂的乘法运算法则进行括号内运算，再根据同底数幂的除法运算法则求解即可；
（3）先根据同底数幂的乘法和幂的乘方运算法则进行括号内运算，再根据同底数幂的除法运算法则求解即可；
（1）解：；
（2）解：；
（3）解：
．
18．(1)
(2)
本题考查了单项式乘多项式、整式的加减运算，关键是熟练应用运算法则进行计算；
（1）根据单项式乘多项式的运算法则进行计算；
（2）先算单项式乘多项式，再合并同类项即可．
（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
19．(1)，
(2)，
本题考查整式的乘法混合运算，涉及单项式与多项式的乘法，多项式与多项式的乘法，代数式求值，熟练掌握整式的乘法运算法则是解题的关键．
（1）先利用单项式与多项式的乘法化简，再合并，最后代入求值即可；
（2）先利用多项式与多项式的乘法化简，再合并，最后代入求值即可．
（1）解：
，
当时，原式；
（2）解：
，
当，时，原式．
20．(1)；
(2)任意两个连续偶数的平方差能被4整除，证明见解析
本题考查了规律性：数字的变化类，解决本题的关键是观察数字的变化寻找规律；
（1）观察已知等式得到一般性规律，写出第6个等式与第n个等式即可；
（2）任意两个连续偶数的平方差能被4整数，验证即可．
（1）解：第1个等式为
第2个等式为
第3个等式为
第4个等式为
第5个等式为
第6个等式为，
……
第n个等式为；
故答案为：；；
（2）证明：任意两个连续偶数的平方差能被4整除，证明如下：
设m为整数，则
，
∴任意两个连续偶数的平方差能被4整除．
21．(1)长为20cm 宽为10cm
(2)够用
本题考查了正方形面积的计算，长方形的拼接关系，正方体的体积与表面积计算，掌握正方形面积与边长的关系，正方体体积与棱长的关系，无盖几何体的表面积计算方法是解题的关键．
（1）由正方形面积求出边长，根据两个长方形的拼接方式得到长与宽的倍数关系，列方程求解；
（2）由正方体体积求出棱长，计算无盖笔筒所需的纸片面积，与原正方形面积比较判断是否够用，再计算剩余面积．
（1）解：设长方形硬纸片的长为，宽为．
由题意，得，且．
，
，，
长方形硬纸片的长为，宽为．
（2）解：该硬纸片够用．
由题意可知，正方体无盖笔筒的棱长为，
共需要5张边长为8cm的小正方形硬纸片，其总面积为．
，
该硬纸片够用，
剩余的硬纸片的面积为．
22．(1) 千米
(2)光年
本题考查了科学记数法的定义，有理数的运算．
（1）利用路程等于速度乘以时间的公式，计算光在一年内走过的距离；
（2）将比邻星与地球的距离除以1光年的距离，得到对应的光年数．
（1）解：光速为千米/秒，一年时间为秒，
，
所以一年时间为秒，
1光年等于千米，
约等于千米；
（2）解：比邻星与地球的距离为千米，1光年约千米，
（光年）．
答：比邻星与地球的距离约合光年
23．(1)
(2)72
本题考查了整式的混合运算、完全平方公式的运用，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的关键．
（1）根据宣传版画的总面积为上面的三角形的面积+中间梯形的面积+下面梯形的面积，列式计算即可得解；
（2）先利用完全平方公式得出，再整体代入即可得解．
（1）解：（1）由图可得，
宣传版画的总面积为
．
（2）解：，，
，
∴宣传版画的总面积为
．
24．(1)
(2)2027
本题考查了整式的混合运算、整体代入思想和降次法。解题关键是通过变形将表达式转化为已知条件的形式，避免直接求解未知数，从而简化计算．
（1）先展开整式乘法，将表达式整理为用表示的形式，再代入进行求值；
（2）由已知等式变形得到和，通过降次将高次幂转化为低次幂，再整体代入化简求值．
（1）解：
．
∵，
∴原式
．
（2）解：∵，
∴，，
∴
．

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