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北师大版2024 七年级下册
第一章 整式的乘除
单元测试·培优卷分析
一、试题难度
整体难度：难
难度 题数
容易 2
较易 5
适中 15
较难 2
一、试题难度
三、知识点分布
一、单选题 1 0.94 同底数幂相乘
2 0.85 用科学记数法表示数的乘法
3 0.75 同底数幂乘法的逆用
4 0.65 同底数幂相乘；幂的乘方运算；积的乘方运算；多项式除以单项式
5 0.65 计算单项式乘多项式及求值；多项式乘多项式与图形面积
6 0.65 平方差公式与几何图形
7 0.65 （x+p）（x+q）型多项式乘法
8 0.65 单项式乘多项式的应用；整式加减的应用
9 0.65 整式四则混合运算
10 0.65 数字类规律探索；整式的加减运算；整式乘法混合运算
三、知识点分布
二、填空题 11 0.94 幂的乘方的逆用；积的乘方运算；负整数指数幂
12 0.75 计算单项式乘多项式及求值；计算多项式乘多项式；已知式子的值，求代数式的值
13 0.75 用科学记数法表示绝对值大于1的数
14 0.65 平方差公式与几何图形
15 0.65 已知多项式乘积不含某项求字母的值
16 0.4 整式的混合运算
三、知识点分布
三、解答题 17 0.65 多项式乘多项式——化简求值；合并同类项；去括号；整式的加减中的化简求值
18 0.65 同底数幂的除法运算；计算单项式除以单项式
19 0.85 积的乘方运算；计算单项式乘单项式
20 0.85 多项式乘法中的规律性问题
21 0.65 运用平方差公式进行运算
22 0.65 多项式乘多项式与图形面积；已知字母的值 ，求代数式的值
23 0.65 乘方的应用；用科学记数法表示绝对值大于1的数
24 0.4 整式的混合运算；完全平方公式在几何图形中的应用2025—2026学年七年级数学下学期单元测试卷
第一章 整式的乘除 单元测试·培优卷
（ 全卷满分120 分，考试时间120 分钟）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C D B A A B B D C D
1．C
本题考查同底数幂的乘法，掌握同底数幂的乘法法则是计算的关键．
根据同底数幂的乘法法则，底数不变，指数相加．
解：∵ ，且 ，
∴ ．
故选：C．
2．D
本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值，根据科学记数法的表示方法进行表示即可．
解：；
故选D．
3．B
本题考查同底数幂的乘法逆运算法则，需根据“同底数幂相乘，底数不变，指数相加”逐一验证选项的变形是否正确．
解：A、，则，变形正确，不符合题意；
B、，则，变形不正确，符合题意；
C、，则，变形正确，不符合题意；
D、，，变形正确，不符合题意；
故选：B．
4．A
本题考查了多项式除以单项式．熟练掌握幂的乘方，同底数幂相乘，积的乘方，多项式除以单项式的法则，是解题的关键．
根据幂的乘方，同底数幂相乘，积的乘方，多项式除以单项式的法则进行运算即可．
解：
．
故选：A．
5．A
本题考查了多项式的乘法与阴影面积问题．
求出图中阴影部分的面积，逐一判断即可．
解：由图可得，图中阴影部分的面积为：，
A．；
B．；
C．；
D．；
故选A．
6．B
本题考查了利用几何方法验证平方差公式．解决问题的关键是根据拼接前后的面积不变得到等量关系．
边长为a的大正方形剪去一个边长为b的小正方形后的面积为，新的图形面积等于，由两图中阴影部分面积相等，即可得到结论．
解：图中阴影部分的面积等于两个正方形的面积之差，
即；
剩余部分通过割补，拼成的矩形的面积为，
∵前后两个图形中阴影部分的面积相等，
∴．
故选：B．
7．B
本题考查了新定义的整式运算．
根据新定义即可求出的值．
解：∵，
∴，
∵，
∴，
即，
故选：B．
8．D
本题考查了整式的加减、多项式乘以单项式，熟练掌握运算法则是解题关键．
根据题意，先求出长方形的另一边长，再利用多项式乘法计算面积．
解：∵一边长为 ，另一边比它小 ，
∴另一边长为：
∴长方形的面积为：
故选：D．
9．C
本题考查了整式混合运算在面积中的应用，分别用含的式子表示出，，，，进而求出，，最后代入计算即可求解，正确识图是解题的关键
解：由图可得，，
，
由图得，，
，
∴，
，
∵，
∴，
即，
∵,
∴，
故选：．
10．D
本题考查整式的加减，整式的乘法，掌握合并同类项（系数相加，字母及其指数不变）和去括号的运算法则（括号前面是“”号，去掉“”号和括号，括号里的各项不变号；括号前面是“”号，去掉“”号和括号，括号里的各项都变号）和平方差公式是解题关键．根据整式的加减运算法则和整式的乘法运算法则进行计算，从而作出判断．
解：第一次操作后的整式串为：a，3，，
第二次操作后的整式串为a，，3，a，，
即a，，3，a，，故①的结论正确，符合题意；
第二次操作后整式的积为，
，
，即，
，
即第二次操作后，当时，所有整式的积为非负数，故②的说法错误，不符合题意；
第三次操作后整式串为
第四次操作后整式串为共17个，故③的说法错误，不符合题意；
第一次操作后所有整式的和为，
第二次操作后所有整式的和为，
第三次操作后所有整式的和为，
，
第n次操作后所有整式的积为，
∴第2024次操作后，所有的整式的和为，
故④的说法正确，符合题意；
正确的说法有①④，
故选：D．
11．
本题考查了负整数指数幂，幂的乘方的逆用，积的乘方，解题关键是掌握负整数指数幂、幂的乘方的逆用、积的乘方．
先用表示出，再把用的代数式代入即可．
解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴
．
故答案为：．
12．4
此题考查了整式的混合运算——化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
将代数式，去括号合并得到最简结果，将已知等式变形后代入计算即可求出值．
解：
；
，
．
把代入，得
．
所以，代数式的值为4．
故答案为：4．
13．
此题考查了科学记数法的表示方法，解题的关键是正确确定的值以及的值．
根据科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，即可求值．
解：，，
．
故答案为：．
14．12
本题考查平方差公式的几何背景，掌握平方差公式的结构特征是正确解答的关键．
设正方形的边长为，正方形的边长为，得出，再根据阴影部分面积的计算方法得出即可．
解：设正方形的边长为，正方形的边长为，
则．
∵两个正方形的面积之差是24，
，
．
故答案为：．
15．3
本题考查多项式乘以多项式，解二元一次方程组，解题的关键是明确不含的二次项，则二次项的系数为．根据多项式乘以多项式法则进行运算，再将计算结果中，利用二次项系数与一次项的系数的要求建立方程组，即可求解．
解：
，
∵多项式与的乘积展开式中不含的二次项，且一次项系数为，
解得，，
，
故答案为：．
16．/
本题主要考查整式的混合运算，根据题目中的数据，设大长方形的短边长为d，用含a，b，c，d的式子表示出，，，，代入即可求解．
解：设大长方形的短边长为d，
∴由图2知，，
∴，
，
，
，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的值为．
故答案为：．
17．(1)；64
(2)；-22
（1）先根据整式的混合运算法则化简，再把，代入化简后的结果中计算即可；
（2）先根据整式的混合运算法则化简，再把代入化简后的结果中计算即可.
解：（1）原式．
当，时，原式．
（2）原式
．
当时，原式．
本题主要考查了整式的混合运算、代数式求值等知识点，灵活运用整式的混合运算法则化简成为解题的关键.
18．(1)
(2)
本题考查整式的除法，同底数幂的除法，熟练掌握其运算法则是解题的关键．
（1）利用单项式除以单项式法则计算即可；
（2）将系数与同底数幂分别相除，再将结果相乘即可．
（1）解：原式
．
（2）解：原式
．
19．(1)
(2)
(3)
(4)
本题考查单项式的乘法及积的乘方运算，熟练掌握各个运算法则是解题关键．
（1）直接根据单项式乘以单项式法则计算即可；
（2）先计算积的乘方运算，然后计算单项式乘以单项式即可；
（3）先计算积的乘方运算，然后计算单项式乘以单项式即可；
（4）先计算积的乘方运算，然后计算单项式乘以单项式即可．
（1）解：
（2）解：
（3）解：
（4）解：
20．(1)
(2)见解析
(3)
本题考查了多项式的乘法法则，解题关键是掌握多项式的乘法法则．
（1）利用规律求解即可；
（2）利用多项式的乘法法则求解即可；
（3）利用（1）中的公式求解即可．
（1）解：，
故答案为：；
（2）
，
所以成立；
（3）
．
21．（1）6；（2）见解析；（3）不一定；证明见解析；（4）一定；理由见解析
本题主要考查平方差公式的应用，掌握平方差公式是解题的关键．
（1）通过平方差公式计算即可得出答案；
（2）根据平方差公式求出的结果，即可说明和的平方差是8的倍数；
（3）设两个连续偶数为，计算出它们的平方差即可得出答案；
（4）设两个奇数为和（m、n为整数），再根据平方差公式求出，然后分情况讨论，求出结果即可．
解：（1），
的结果是的6倍；
（2）
，
∵，
又为正整数，
两个连续奇数的平方差是的倍数；
（3）不一定；
设两个连续偶数为，
则
，
∵，
又不是整数，
∴两个连续偶数的平方差不一定是8的倍数．
（4）任意两个奇数的平方差一定是8的倍数；理由如下：
设两个奇数为和（m、n为整数），
，
当m和n同为奇数或同为偶数时，是偶数，设（k为整数），
则，
∵，
又∵为整数，
∴此时是8的倍数；
当m和n一个为奇数，另一个为偶数时，是偶数，设（k为整数），
则，
∵，
又∵为整数，
∴此时是8的倍数；
∴任意两个奇数的平方差一定是8的倍数．
22．(1)平方米
(2)平方米
本题考查了多项式乘以多项式、整式的混合运算、求代数式的值，弄清题意，列出相应的式子是解此题的关键．
（1）根据绿化面积矩形面积正方形面积，利用多项式乘以多项式法则以及完全平方公式化简，去括号并合并即可得解；
（2）将a，b的值代入进行计算即可．
（1）解：绿化部分的面积
平方米，
答：绿化部分的面积为平方米．
（2）解：当，时，原式平方米，
答：绿化部分的面积为平方米．
23．(1)厘米
(2)天
本题考查了科学记数法及其计算，正确表示各数是解题的关键；
（1）先求出10亿元人民币的总张数，再计算高度；
（2）用10亿元人民币的张数除以1天点钞机点的张数列式求解即可．
（1）解：10 亿，
所以10亿元面值为100元的新版人民币的总张数为，
（厘米）；
答：将10亿元面值为 100 元的新版人民币摞起来，大约有厘米高．
（2）解：；
答：点钞机大约要点天．
24．（1），；（2） ①；②；（3）
本题考查了完全平方公式的几何背景、整式的混合运算-化简求值，熟练掌握以上知识点是关键；
（1）根据几何图形面积计算方法填空即可；
（2）利用图1图2的计算公式计算即可；
（3）根据完全平方公式计算即可．
解：（1）图1中，，组成大正方形四部分面积之和，
即：，
图2中，，
即：，
故答案为：，；
（2）①由图2可得，
，，
，
②由图1可得：，
，
，
，
故答案为：①；②13；
（3）由题意可得，
，
，
，
，2025—2026学年七年级数学下学期单元测试卷
第一章 整式的乘除 单元测试·培优卷
（ 全卷满分120 分，考试时间120 分钟）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题（每题 3 分，共 30 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．若，则的值为（ ）
A．2 B．7 C．9 D．14
2．已知光的速度约为，太阳光射到地球上需要的时间约为，则地球与太阳间的距离约为多少千米？用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
3．下列对幂的变形，不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．计算的结果是（ ）
A． B． C． D．
5．下面四个整式中，不能表示图中阴影部分面积的是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，边长为a的大正方形剪去一个边长为b的小正方形后，将剩余部分通过割补拼成新的图形．根据图形能验证的等式为（ ）
A． B．
C． D．
7．规定，若，则（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
8．长方形一边长为，另一边比它小，则长方形面积为（ ）
A． B．
C． D．
9．现有甲、乙、丙三张不同的正方形纸片，边长如图．将三张纸片按图，图两种不同方式放置于同一矩形中，记图中阴影部分周长为，面积为；图中阴影部分周长为，面积为．若，则下列正确的是（ ）
A． B． C． D．
10．小聪在学校的社团《数学新天地》读物里阅读到“整式串”的题目．有依次排列的2个整式：a，，对任意相邻的两个整式，都用右边的整式减去左边的整式，所得之差写在这两个整式之间，可以产生一个新整式串：a，3，，这称为第一次操作；将第一次操作后的整式串按上述方式再做一次操作，可以得到第二次操作后的整式串；以此类推．通过下列实际操作，
①第二次操作后整式串为：a，，3，a，；
②第二次操作后，当，所有整式的积为正数；
③第四次操作后整式串中共有18个整式；
④第2024次操作后，所有的整式的和为．下列结论正确的是（ ）
A．①② B．①③ C．②④ D．①④
二、填空题（每小题 3 分，共 18 分）
11．若，，则用的代数式表示为 ．
12．若，则代数式的值为 ．
13．年月日，全球首次“人机共跑”半程马拉松在北京开跑．本次比赛全程约公里，这意味着采用双足步态的人形机器人要完成约万次精密关节运动．将数据用科学记数法表示为 ．
14．如图，点，，在同一直线上，大正方形与小正方形的面积之差是24，则阴影部分的面积的大小是 ．
15．已知关于的多项式与的乘积展开式中不含的二次项，且一次项的系数为，则ab的值为 ．
16．有三张正方形纸片A，B，C，它们的边长分别为a，b，c，将三张纸片按图1，图2两种不同方式放置于同一长方形中，记图1中阴影部分周长为，面积为，图2中阴影部分周长为，面积为，若，则的值为 ．
三、解答题（第 17，18，19，20，21 ，22题每题 10分，第 23题每题 12 分，共 72 分）
17．先化简，再求值：
(1)，其中，；
(2)，其中．
18．计算：
(1)．
(2)．
19．计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
20．观察下列等式：
；
；
；
…
(1)结合以上规律，填空：________；
(2)利用多项式的乘法法则，说明（1）中的等式成立；
(3)利用（1）中的公式化简：．
21．【观察】：；；
小明发现规律：两个连续奇数的平方差是8的倍数．
【验证】：
（1）的结果是8的__________倍；
（2）设连续的两个奇数为和（n为整数），试说明：和的平方差是8的倍数；
【延伸】：请在以下两个小题中选择一题作答．若两题都选，则取第（4）小题的得分为最终得分．
（3）两个连续偶数的平方差也一定是8的倍数吗？请证明你的结论．
（4）任意两个奇数的平方差也一定是8的倍数吗？请证明你的结论．
22．“筑牢民生之基，增强百姓幸福感”，某社区如火如荼地进行着社区环境的改善，提升老百姓的生活品质．如图．某小区内有一块长为米，宽为米的长方形地块，小区计划在中间留一块边长为a米的正方形地块修建一座假山，然后将剩余阴影部分进行绿化．
(1)求绿化部分的面积（用含a，b的代数式表示）；
(2)当，时，求绿化部分的面积．
23．某银行去年新增加居民存款10亿元人民币．（结果用科学记数法表示）
(1)经测量，100 张面值为 100 元的新版人民币大约厚厘米，如果将10亿元面值为 100 元的新版人民币摞起来，大约有多高？
(2)一台激光点钞机的点钞速度是张/时，按每天点钞5小时计算，如果让点钞机点一遍10亿元面值为100元的新版人民币，点钞机大约要点多少天？
24．现有长与宽分别为a、b的小长方形若干个，用两个这样的小长方形拼成如图1的图形，用四个相同的小长方形拼成图2的图形，请认真观察图形，解答下列问题：
（1）根据图中条件，请写出图1和图2所验证的关于a、b的关系式：用含a、b的代数式表示出来：
图1表示：______；图2表示：______；
根据上面的解题思路与方法，解决下列问题：
（2）请直接写出下列问题答案：
①若，，则______；
②若，则______．
（3）如图3，点C是线段上的一点，以为边向两边作正方形，设，两正方形的面积和，求图中阴影部分面积．

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