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2025—2026学年七年级数学下学期单元测试卷
第一章 整式的乘除 单元测试·提高卷
（ 全卷满分120 分，考试时间120 分钟）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题（每题 3 分，共 30 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．下列属于积的乘方的是（ ）
A． B． C． D．
2．下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．拒绝“餐桌浪费”，刻不容缓，节约一粒米的账：一个人一日三餐少浪费一粒米，全国一年就可以节省3240万斤，这些粮食可供9万人吃一年，“3240万”这个数据用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
4．如图， 边长为的正方形纸片剪出一个边长为m 的正方形之后， 剩余部分可剪拼成一个矩形(不重叠、无缝隙)， 若拼成的矩形一边长为4， 则另一边长为（ ）
A． B． C． D．
5．计算的结果是（ ）
A． B． C． D．
6．代数式的值是（　　）
A． B． C． D．
7．如图所示，两个正方形的泳池，面积分别是和，两个泳池的面积之和，点是线段上一点，设，在阴影部分铺上防滑瓷砖，则所需防滑瓷砖的面积为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
8．若，且，，则的值为（ ）
A．1 B．4 C．9 D．25
9．如图，四边形与是两个边长分别为m，n的正方形，则阴影部分的面积可以表示为（ ）
A． B．
C． D．
10．在代数式中，与的值各变为原来的，则该代数式的值减少为原来的（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（每小题 3 分，共 18 分）
11．为响应习近平总书记“坚决打赢关键核心技术攻坚战”的号召，某科研团队最近攻克了的光刻机难题，其中，则用科学记数法表示为
12．若一个三角形的一边长为，这边上的高为，则它的面积为 ．
13．若规定，则当时，的值为 ．
14．若，则的结果是 ．
15．某农场种植了蔬菜和水果，现在还有两片空地，农场计划在这两片空地上种植水果黄瓜、白黄瓜和青黄瓜．已知不同品种的黄瓜亩产量不同，其中白黄瓜的亩产量是青黄瓜的 ，如果在空地种植白黄瓜、青黄瓜和水果黄瓜的面积之比为，则水果黄瓜的产量是白黄瓜与青黄瓜产量之和的2倍；如果在空地上种植白黄瓜、青黄瓜和水果黄瓜的面积之比为，则白黄瓜、青黄瓜和水果黄瓜的总产量之比为 ．
16．我国南宋数学家杨辉用三角形系数表解释二项和的乘方规律，称之为“杨辉三角”．“杨辉三角”给出了的展开式的系数规律（按的次数由大到小的顺序）：
若，请根据上述规律，写出的值等于 ．
三、解答题（第 17，18，19，20，21 ，22题每题 10分，第 23题每题 12 分，共 72 分）
17．计算：
(1)
(2)
18．（1）计算：；
（2）先化简，再求值：，其中，．
19．（1）先化简，再求值：，其中，．
（2）已知，求代数式的值．
20．为节约水资源，某中学环保宣传小组做了一项调查．调查结果显示，如果我们洗漱时都能及时关掉水龙头，那么每人每次可节省约的水．
(1)如果某市有160万人，每人每天洗漱2次，并且在洗漱时都能及时关掉水龙头，那么每天共可节约多少毫升的水？
(2)如果用容量为的水瓶来装（1）中节约的水，那么可以装满多少瓶？
21．阅读：已知，求的值．
分析：考虑到x，y的可能值较多，不能逐一代入求解，故考虑整体思想，将整体代入．
解：
．
你能用上述方法解决以下问题吗？
(1)已知，求的值；
(2)已知，求代数式的值．
22．小亮学习多项式，研究了多项式值为的问题，发现当或时，多项式的值为，把此时的值称为多项式的零点．
(1)已知多项式，则此多项式的零点为 ；
(2)小亮继续研究，及等，发现在数轴上表示这些多项式零点的两个点关于表示的点对称，他把这些多项式称为“系多项式”．若多项式是“系多项式”，求的值．
23．所谓完全平方式，就是对于一个整式，如果存在另一个整式，使，则称是完全平方式，例如：，，所以，就是完全平方式．请解决下列问题：
(1)已知，，则______．
(2)如果是一个完全平方式，则的值为______．
(3)若x满足，求的值．
(4)如图所示，在长方形中，，，点，分别是，上的点，且，分别以，为边在长方形外侧作正方形和．
①______，______；（用含的式子表示）
②若长方形的面积为，求图中阴影部分的面积和．
24．已知多项式，．
【基础设问】（1）化简多项式A时，小明的结果与其他同学的不同，请你检查小明同学的解题过程，在标出①②③的几项中，出现错误的是________________（填序号），请写出正确的解答过程．
小明的作业 解： ．
（2）小亮说：“只要给出的合理的值，即可求出多项式A的值．”小明给出的值为4，请你求出此时A的值．
【提升设问】（3）若x，y满足，求的值．(共7张PPT)
北师大版2024 七年级下册
第一章 整式的乘除
单元测试·提高卷分析
一、试题难度
整体难度：中等
难度 题数
容易 2
较易 5
适中 16
较难 1
一、试题难度
三、知识点分布
一、单选题 1 0.94 积的乘方运算
2 0.85 同底数幂相乘；幂的乘方运算；积的乘方运算
3 0.75 用科学记数法表示绝对值大于1的数
4 0.65 运用完全平方公式进行运算；多项式除以单项式
5 0.65 幂的乘方运算；积的乘方运算；计算单项式除以单项式
6 0.65 运用平方差公式进行运算
7 0.65 完全平方公式在几何图形中的应用
8 0.65 （x+p）（x+q）型多项式乘法；已知式子的值，求代数式的值
9 0.65 单项式乘多项式的应用
10 0.64 计算单项式乘单项式
三、知识点分布
二、填空题 11 0.94 用科学记数法表示绝对值小于1的数
12 0.85 计算多项式乘多项式；多项式乘多项式与图形面积
13 0.65 已知式子的值，求代数式的值；整式乘法混合运算
14 0.65 运用平方差公式进行运算
15 0.65 列代数式；整式的混合运算
16 0.64 多项式乘法中的规律性问题
三、知识点分布
三、解答题 17 0.85 计算多项式乘多项式
18 0.75 同底数幂相乘；积的乘方运算；运用平方差公式进行运算；运用完全平方公式进行运算
19 0.65 已知字母的值 ，求代数式的值；已知式子的值，求代数式的值；整式四则混合运算
20 0.85 用科学记数法表示绝对值大于1的数
21 0.65 积的乘方的逆用；计算单项式乘多项式及求值；已知式子的值，求代数式的值
22 0.65 解一元一次方程（一）——合并同类项与移项；计算多项式乘多项式；多项式系数、指数中字母求值
23 0.65 运用完全平方公式进行运算；通过对完全平方公式变形求值；完全平方公式在几何图形中的应用；求完全平方式中的字母系数
24 0.4 计算多项式乘多项式；已知式子的值，求代数式的值；运用平方差公式进行运算；运用完全平方公式进行运算2025—2026学年七年级数学下学期单元测试卷
第一章 整式的乘除 单元测试·提高卷
（ 全卷满分120 分，考试时间120 分钟）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D D C C D C B A A D
1．D
本题考查积的乘方的概念，需明确积的乘方的定义：几个因式的积的乘方，即形如（为正整数）的运算，据此逐一判断选项即可．
解：A选项是和的乘方，不属于积的乘方；
B选项是同底数幂的乘法，不属于积的乘方；
C选项是幂的乘方，不属于积的乘方；
D选项是2、、的积的5次方，符合积的乘方的定义；
故选：D．
2．D
本题考查了指数运算法则，包括同底数幂的乘法、除法，幂的乘方，积的乘方，掌握同底数幂相乘底数不变指数相加，相除底数不变指数相减，幂的乘方底数不变指数相乘，积的乘方等于各因式乘方的积是解题的关键．
运用同底数幂的乘除、幂的乘方、积的乘方的运算法则，逐一验证每个选项的运算是否正确．
解：∵ A、==≠ ，∴A错误，不符合题意；
∵ B、== ≠ ，∴B错误，不符合题意；
∵ C、= = ≠ ，∴C错误，不符合题意；
∵ D、===，∴D正确，符合题意；
故选：D．
3．C
本题主要考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．将“3240万”转换为数字32400000，再根据科学记数法规则表示即可．
解：∵3240万，
∴，
故选C．
4．C
此题考查整式除以的应用，完全平方公式的计算，由于边长为的正方形纸片剪出一个边长为m的正方形之后，剩余部分又剪拼成一个矩形（不重叠无缝隙），那么根据正方形的面积公式，可以求出剩余部分的面积，而矩形一边长为4，利用矩形的面积公式即可求出另一边长．
解：设拼成的矩形一边长为x，
则依题意得：，
解得，，
故选：C．
5．D
本题考查了积的乘方与幂的乘方、单项式除以单项式，熟练掌握运算法则是解题关键．先计算积的乘方与幂的乘方，再计算单项式除以单项式即可得．
解：
，
故选：D．
6．C
本题主要考查了平方差公式的连续运用和幂的运算性质，熟练掌握平方差公式 的结构特征是解题的关键．本题可以连续运用平方差公式进行化简，最后得出结果并选择对应选项．
解：
故选：C．
7．B
本题主要考查了完全平方公式．设，从而可得，，，再利用完全平方公式可得，然后利用三角形的面积公式求解即可得．
解：设，
由题意得：，，，
即，
，
，
所需防滑瓷砖的面积为，
故选：B．
8．A
本题考查了整式乘法的应用，代数式求值等知识点，掌握多项式乘以多项式的乘法法则是解题的关键．
按照多项式的乘法法则进行计算后可得，然后代入代数式求解即可．
解：∵，
∴，
∴．
故选A．
9．A
本题考查整式运算的实际应用，利用分割法求出阴影部分的面积即可．
解：由题意，
；
故选A．
10．D
本题主要考查的是单项式乘单项式，列出与的值各减少原来的后的代数式是解题的关键．
和各减少到原来的，代入代数式计算新值即可.
解：在代数式中，与的值各减少原来的，
∴设 ，，
∴新值 ，
∴新代数式的值是原代数式值的.
故选：D．
11．
本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案．
解：，
故答案为：．
12．
本题考查多项式的乘法运算，关键是熟练掌握多项式乘多项式的运算法则以及三角形面积公式．首先根据“三角形面积底高”列出面积表达式，再利用多项式乘多项式的法则展开括号，合并同类项后乘以，最终得到化简结果．
解：根据三角形面积公式，该三角形的面积为：
；
故答案为：．
13．
先根据新定义将所求式子转化为常规的代数式，再结合已知条件，通过变形或整体代入的方法求出该代数式的值．本题主要考查了新定义运算以及整式的混合运算，同时涉及整体代入的思想，熟练掌握新定义运算规则，以及根据已知条件对代数式进行灵活变形和整体代入是解题的关键．
解：
∵，
∴，
当时，原式
故答案为：．
14．18
根据非负数的性质，绝对值和平方项之和为零，则每个部分均为零，由此得到关于和的方程组，再将，再代入计算即可．
本题主要考查了平方差公式的应用以及非负数的性质，熟练掌握运用是解决问题的关键．
解：由题意，得，
即
解得
∴
故答案为：18．
15．
本题考查了代数式表示，整式的加减运算，根据题意正确表示出不同种植面积下白黄瓜、青黄瓜和水果黄瓜的总产量是解题的关键．
根据题意设白黄瓜的亩产量是，则青黄瓜的亩产量是，分别设白黄瓜、青黄瓜和水果黄瓜的种植面积为，进而表示出水果黄瓜的亩产量是，再分别设白黄瓜、青黄瓜和水果黄瓜的种植面积为，据此表示出白黄瓜、青黄瓜和水果黄瓜的总产量并求总产量之比，即可解题．
解：设白黄瓜的亩产量是，则青黄瓜的亩产量是，
当在空地种植白黄瓜、青黄瓜和水果黄瓜的面积之比为时，分别设白黄瓜、青黄瓜和水果黄瓜的种植面积为，
则白黄瓜的产量是，则青黄瓜的产量是，水果黄瓜的产量是，
水果黄瓜的亩产量是，
当在空地上种植白黄瓜、青黄瓜和水果黄瓜的面积之比为时，
分别设白黄瓜、青黄瓜和水果黄瓜的种植面积为，
则白黄瓜的总产量是，则青黄瓜的总产量是，水果黄瓜的总产量是，
则白黄瓜、青黄瓜和水果黄瓜的总产量之比为；
故答案为：．
16．2
本题考查多项式乘法中的规律性问题，由“杨辉三角”得出，再将代入的展开式，即可求解．
解：由“杨辉三角”可得，
当时，
又，
，
，
，
故答案为：2．
17．(1)
(2)
本题主要考查了整式的混合运算，熟练掌握多项式乘多项式和单项式乘多项式运算的知识点是解题的关键．
（1）根据多项式乘以多项式的法则计算即可；
（2）先分别进行多项式乘多项式和单项式乘多项式运算，再合并同类项即可得解．
（1）解：原式
；
（2）解：
．
18．（）；（），
本题考查了整式的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
（）先计算单项式乘以单项式，积的乘方，然后合并同类项即可；
（）先利用平方差公式，完全平方公式进行计算，然后合并同类项，最后把，代入计算即可；
（1）解：
；
（2）解：
，
当，时，
原式
．
19．
（1），
（2）
本题考查整式的混合运算，利用完全平方公式和平方差公式运算，代数式化简求值，掌握好相关知识是关键．
（1）先按照整式混合运算的法则进行化简，再代入求值即可；
（2）先将代数式展开化简，再将已知条件变形后代入即可．
解：（1），
，
，
，
当，时，原式．
（2），
∵，
∴，
∴原式．
20．(1)
(2)
本题考查了科学记数法．将数据用科学记数法表示，即写成的形式，其中，n为整数，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）根据160万，且结合每人每天洗漱2次，每人每次可节省约的水，进行列式计算，即可作答．
（2）根据用容量为的水瓶来装（1）中节约的水，进行列式计算，即可作答．
（1）解：依题意，160万，
则，
即每天共可节约毫升的水；
（2）解：由（1）得每天共可节约毫升的水；
∵用容量为的水瓶来装（1）中节约的水，
∴
即可以装满瓶．
21．(1)
(2)2026
本题考查了单项式乘以多项式运算，积的乘方逆运算，代数式求值．
（1）先利用单项式乘以多项式运算法则计算，再利用积的乘方逆运算变形，然后代入求值；
（2）先将原式变形为，再整体代入求值即可．
（1）解：
；
（2）解：∵，
∴，
．
22．(1)或；
(2)
本题考查了多项式乘多项式的运算，正确进行计算是解题的关键．
()根据题意，令，解方程得出的值，即可得出答案；
()根据‘系多项式’的定义求出的值，再根据多项式恒等，通过比较系数求出的值．
（1）解：由多项式零点的概念可得：或，
解得：或，
∴此多项式的零点为或；
故答案为：或；
（2）解：∵，解得：或，
∴的两个零点分别是或，
由系多项式的定义可得：，解得：，
把代入得：，
∵，
∴，
∴，
∴的值分别是．
23．(1)
(2)或
(3)
(4)①，；②
本题考查完全平方公式的应用，利用完全平方公式变形求值，矩形与正方形的性质，掌握好相关知识是关键．
（1）利用完全平方公式变形求值即可；
（2）对比完全平方公式确认与，再计算出的值即可；
（3）设，，利用完全平方公式求值即可；
（4）①根据线段和差关系进行填空；
②由矩形的面积为，可得，利用完全平方公式变形求得，根据正方形面积公式求出阴影面积．
（1）解：，
∵，
∴，
∴；
（2）解：在完全平方式中，，，
∴，
当时，
，
∴，
当时，
，
∴；
综上所述，或；
（3）解：设，，
∴，，
，
∴，
∴；
（4）解：①∵四边形是矩形，
∴，，
∴，；
②∵长方形的面积为，
∴．
∵，
∴，
∴．
24．（1）①和③；正确的解答过程见解析（2）（3）8
（1）根据平方差公式，单项式乘多项式，完全平方公式和合并同类项法则找出错误的步骤，然后写出正确的解答过程即可；
（2）直接利用整式的混合运算法则化简，进而利用整体代入计算得出答案；
（3）先根据多项式除以单项式，完全平方公式进行计算求出，然后根据得到关于，的代数式；接着通过幂的乘方和同底数幂的乘法法则进行化简，整体代入即可求解．
解：（1）①和③
正确的解答过程如下：
．
（2）∵，
∴，
∴．
（3）
．
∵，
∴
即，
∴
．
本题考查了整式的化简求值，能正确根据整式的运算法则进行计算是解此题的关键．

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