资源简介

(共7张PPT)
北师大版2024 八年级下册
第一章 三角形的证明
单元测试·冲刺卷分析
一、试题难度
整体难度：难
难度 题数
容易 1
较易 6
适中 16
较难 1
一、试题难度
三、知识点分布
一、单选题 1 0.94 与平行线有关的三角形内角和问题
2 0.85 根据平行线的性质求角的度数；等边对等角
3 0.75 三角形的外角的定义及性质；与角平分线有关的三角形内角和问题
4 0.65 两直线平行同位角相等；判断命题真假；与余角、补角有关的计算；写出命题的逆命题
5 0.65 角平分线的性质定理；作角平分线(尺规作图)
6 0.65 线段垂直平分线的性质；作垂线(尺规作图)；等边对等角；三角形的外角的定义及性质
7 0.65 两直线平行同位角相等；直角三角形的两个锐角互余；三角形的外角的定义及性质
8 0.65 含30度角的直角三角形；直角三角形的两个锐角互余
9 0.65 全等的性质和SAS综合（SAS）；等边对等角
10 0.64 根据平行线的性质求角的度数；三角板中角度计算问题；三角形内角和定理的应用
三、知识点分布
二、填空题 11 0.85 角平分线的性质定理；用勾股定理解三角形
12 0.75 两直线平行同位角相等；三角形内角和定理的应用
13 0.75 线段垂直平分线的性质；等边对等角；三角形内角和定理的应用
14 0.65 等边对等角；三角形的外角的定义及性质
15 0.65 两直线平行内错角相等；直角三角形的两个锐角互余
16 0.65 全等的性质和SAS综合（SAS）；含30度角的直角三角形；三角形的外角的定义及性质；等边三角形的性质
三、知识点分布
三、解答题 17 0.85 根据平行线的性质求角的度数；与平行线有关的三角形内角和问题；与角平分线有关的三角形内角和问题
18 0.75 三角形的外角的定义及性质；与角平分线有关的三角形内角和问题；作角平分线(尺规作图)
19 0.65 直角三角形的两个锐角互余；与角平分线有关的三角形内角和问题；角平分线的性质定理
20 0.65 判断三边能否构成直角三角形；线段垂直平分线的性质；用勾股定理解三角形
21 0.65 全等的性质和SAS综合（SAS）；等边三角形的判定和性质
22 0.65 三角形的外角的定义及性质；三角形内角和定理的应用；全等三角形的性质
23 0.64 三角形角平分线的定义；直角三角形的两个锐角互余；三角形的外角的定义及性质
24 0.4 全等的性质和SAS综合（SAS）；等腰三角形的性质和判定；等边三角形的判定和性质2025—2026学年八年级数学下学期单元测试卷
第一章三角形的证明 单元测试·冲刺卷
（ 全卷满分120 分，考试时间120 分钟）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题（每题 3 分，共 30 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．如图，的顶点D，E在的边BC上，，，若，则的度数为（ ）

A．35° B．45° C．55° D．65°
2．如图，在中，，，平分交于点，交于点，则（ ）
A． B． C． D．
3．如图，中，为的角平分线，为的高，，， 那么是 （ ）
A． B． C． D．
4．给出下列命题：①若，则；②锐角都相等；③一个角的补角大于这个角；④两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等．以上命题的逆命题是假命题的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
5．如图，在中，，以点为圆心，适当长为半径作弧，分别交，于点D，E，再分别以点，为圆心，以大于的长度为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点，若，，则的面积是（ ）
A．12 B．18 C．24 D．36
6．如图，在中，为钝角，用直尺和圆规在边上确定一点D，使，则符合要求的作图痕迹是（ ）．
A． B．
C． D．
7．如图，直线，，．若，则等于（ ）
A． B． C． D．
8．如图，中，，是高，，则与的关系是（ ）
A． B． C． D．
9．已知：如图，，是等腰直角三角形，C，D，E三点在同一条直线上，连接，以下四个结论：①；②；③；④平分．其中正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
10．将一副直角三角尺按如图所示的方式摆放，点在的延长线上，，，，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（每小题 3 分，共 18 分）
11．如图，中，，平分交于点D，，，则点D到的距离为 ．
12．如图，四边形中，点是上一点，过点作，，若，则 ．
13．如图，，的垂直平分线交于点D，连接，若，则的度数为 °．
14．“三等分角”大约在公元前五世纪由古希腊人提出来的．借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角．这个三等分角仪由两根有槽的棒，组成，两根棒在O点相连并可绕O转动，C点固定，，点D，E可在槽中滑动，若，则为 度 ．
15．如图，将长方形的一角折叠，以（点在上，不与A，重合）为折痕，得到，连接，设，的度数分别为，，若，则，之间的数量关系是 ．
16．如图，点D，E是等边三角形边，上的动点，且．连接，，交于点F，过点E作于点G，则，的数量关系是 ．
三、解答题（第 17，18，19，20，21 ，22题每题 10分，第 23题每题 12 分，共 72 分）
17．如图，在中，点D在上，，的平分线交AC于点E，过点E作，交于点F．
(1)求证：；
(2)若，，求的度数．
18．如图，在中，是高，，．
(1)画出的角平分线，分别交，于点，．（要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母）
(2)求的度数．
19．如图，在中，，是的角平分线．
(1)若，求的度数；
(2)过点D作于点E，若，，求的值．
20．如图，在中，，是的垂直平分线，交于点D，于点E．
(1)求证：为直角三角形．
(2)求的长．
21．如图，点为等边三角形中边上一点，连接，以为边在的左侧作等边三角形，连接
(1)的度数；
(2)线段之间的数量关系
22．如图，已知，延长分别交、于点、，，，．
(1)求的度数；
(2)求的度数．
23．如图1，是的角平分线，E为射线上一点，过点E作，垂足为点F．
(1)若，且点E在线段上．
①_______，理由是________；
②若平分交于点H，求证：；
(2)如图2，若点E在线段的延长线上，平分交的延长线于点I，用等式表示与的数量关系，并证明．
24．已知是等边三角形，点是所在直线左侧的一动点，且在边的上方．
(1)如图1，平分，连接．求证：；
(2)如图2，若，点是延长线上一点，连接交于点．
①求的度数；
②若点为的中点，，探究线段之间的数量关系．2025—2026学年八年级数学下学期单元测试卷
第一章三角形的证明 单元测试·冲刺卷
（ 全卷满分120 分，考试时间120 分钟）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C C A B B B D B C B
1．C
根据两直线平行，内错角相等，可得，，再根据三角形内角和定理得，即可得到答案．
解：∵，
∴，，
∵，
，
∴，
∵，
∴，
故选：C．
本题考查了平行线的性质和相似三角形的性质，灵活运用所学知识是解题关键．
2．C
本题考查了等边对等角，角平分线的定义，平行线的性质，由等边对等角可得，由角平分线的定义可得，再由平行线的性质即可得出结果，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
解：∵在中，，，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
故选：C．
3．A
本题考查了三角形内角和定理、三角形外角的定义及性质、角平分线的定义，由题意可得，再求出，由角平分线的定义可得，最后再由三角形外角的定义及性质计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
解：∵为的高，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵为的角平分线，
∴，
∴，
故选：A．
4．B
本题主要考查了命题与逆命题，不等式的性质、锐角的定义、补角的定义及平行线的性质等知识点，用不等式的性质、锐角的定义、补角的定义及平行线的性质分别判断后即可确定正确的选项，熟练掌握解不等式的性质、锐角的定义、补角的定义及平行线的性质是解决此题的关键．
解：①若，则的逆命题为：若，则，正确，是真命题，不符合题意；
②锐角都相等的逆命题为：相等的角都为锐角，错误，是假命题，符合题意；
③一个角的补角大于这个角的逆命题为：大于一个角的角是它的补角，错误，是假命题，符合题意；
④两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等的逆命题为同位角相等，两直线平行，正确，是真命题，不符合题意；
故选：B．
5．B
本题考查了尺规作图作角平分线，角平分线的性质.
过点G作于点H，根据题意得，是的角平分线，得，根据三角形面积公式，即可求出的面积．
解：过点G作于点H，
根据题意得，是的角平分线，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：B．
6．B
本题考查尺规作图——作垂直平分线，垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质．根据垂直平分线的尺规作图方法得到A，B，C选项所作的都是垂直平分线，再根据垂直平分线的性质结合等边对等角进行判断即可．选项D由作图无法得到点D的特征，即可判断．
解：A、由作图痕迹为点在线段的垂直平分线上，则，因此，无法得到，故此选项不符合题意．
B、作图痕迹为点在线段的垂直平分线上，则，因此，如图，故此选项符合题意．
C、作图痕迹为点在线段的中点，无法得到，故此选项不符合题意．
、由作图无法得到点D的特征，无法得到，故选项不符合题意．
故选：B．
7．D
本题考查了直角三角形的性质、平行线的性质，解题的关键是利用平行线的同位角关系及三角形内角关系推导．
先利用直角三角形锐角之和为求得，再利用三角形外角的性质求得，最后再利用平行线的同位角相等即可求得的度数．
解：延长与直线相交于点F，如图．
∵，
∴，
∴，
因，则，
∴，
故选：D．
8．B
本题考查了三角形内角和定理和含30度角的直角三角形的性质的应用，解题的关键是掌握：在直角三角形中，如果有一个角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半．求出，根据含30度角的直角三角形的性质求出，，即可得出答案．
解：在中，，，
，，
，
，
，
，
，
∴，即
故选B．
9．C
本题主要考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定方法（）及等腰直角三角形角的特征是解题的关键．
证明得出可判断①；求出可判断②；证明，可判断③和④．
解：①∵，
∴，即，
∵在和中，
，
∴，
∴，故①正确；
②∵为等腰直角三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，故②不正确；
③∵为等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，故③正确；
④由③得
∴平分，故④正确，
正确的个数是个，
故选：C．
10．B
本题考查了三角形内角和定理以及平行线的性质，牢记“两直线平行，内错角相等”是解题的关键．
由，，，利用三角形内角和定理可得出，，由，利用“两直线平行，内错角相等”可得出、的度数，结合，即可求出的度数，代入数据即可求出的度数．
解：，，
．
，，
．
，
，，
，
．
故选：B．
11．3
本题考查了勾股定理以及角平分线的性质，熟练掌握勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键．过点D作于点E，由勾股定理得，再由角平分线的性质即可得出结论．
解：如图，过点D作于点E，
∵，，，
∴，，
∵平分，
∴，
即点D到的距离为3，
故答案为：3．
12．
本题考查了平行线的性质，三角形的内角和定理，熟练掌握平行线的性质和三角形内角和是解题的关键．
根据两直线平行，同位角相等，得，，结合和三角形内角和定理即可求得答案．
解：∵，，
∴，，
∵，，
∴．
故答案为：．
13．12
本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理及线段垂直平分线的性质．先根据等腰三角形的性质求得的度数，再利用三角形内角和定理求出的度数，紧接着利用线段垂直平分线定理得到，从而得出的度数，最后利用角度和差关系求得结果．
解：∵，，
∴，则，
又∵是的垂直平分线，
∴，
∴，
∴．
故答案为：12．
14．
本题考查等腰三角形的性质，三角形的外角的性质，掌握好三角形外角的性质是解题关键．
设，根据等腰三角形的性质可得，，．由三角形外角的性质可得，，，计算出x的值即可．
解：设，
∵，
∴，．
∵是的外角，
∴，
∴，
∵是的外角，
∴，
∴．
故答案为：．
15．
本题主要考查折叠，平行线的性质，直角三角形两锐角互余，掌握折叠的性质，平行线的性质是解题的关键．
根据长方形的性质，折叠的性质得到，根据平行线的性质，直角三角形两锐角互余得到，化简即可求解．
解：∵四边形是长方形，
∴，
∵折叠，
∴，
∵，
∴，
解得，，
故答案为：．
16．
先证明，全等得，根据三角形外角性质得，然后在中，根据即可得出，的数量关系．
解：，的数量关系是：，理由如下：
∵是等边三角形，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴，
∵是的外角，
∴，
∵于点G，
∴，
在中，，
∴．
故答案为：．
本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，30度所对的直角边等于斜边的一半，三角形的外角性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
17．(1)见解析
(2)
本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理，角平分线的定义，解题的关键是充分利用（1）中结论解决问题．
（1）利用三角形内角和证明即可；
（2）利用先求出，根据平分求出，再根据求出，最后利用三角形内角和定理即可求解．
（1）证明：∵，
∵，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴．
18．(1)见解析
(2)
此题考查作图—作角平分线及三角形内角和定理的应用，三角形外角的性质，解题关键在于根据题意作出图形．
（1）利用基本作图（作已知角的角平分线）作平分即可；
（2）先求，再根据角平分线求出，进而利用三角形外角的性质根据求出结论．
（1）如图所示，即为所求．
（2）∵，，
∴
∵是的平分线
∴
∵是边上的高
∴
∴．
19．(1)
(2)
本题考查直角三角形两锐角互余，角平分线的性质，掌握相关知识是解题的关键．
（1）根据直角三角形两锐角互余得到，再由角平分线的定义得到，在中即可求解；
（2）由角平分线的性质得到，再根据三角形的面积公式即可求解．
（1）解：∵，，
∴，
∵是的角平分线，
∴，
∴．
（2）解：∵，
∴，
∵是的角平分线，，
∴，
∵，，
∴，，
∴．
20．(1)见解析
(2)
本题主要考查了勾股定理逆定理和勾股定理，垂直平分线的性质，关键是掌握勾股定理的逆定理．
（1）利用勾股定理逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形可得是直角三角形；
（2）根据线段垂直平分线的性质可得，设，则,根据勾股定理可得，求出x的值，再根据勾股定理即可求解．
（1）证明：中，，
又，
即，
是直角三角形；
（2）如图，连接
是的垂直平分线，
，
设，则，
．
解得：，即，
,
，
．
21．(1)
(2)
本题主要考查全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、等边三角形和等腰直角三角形的判定与性质，灵活运用所学知识解决问题是解题关键．
（1）先证明，再由和为等边三角形可得，从而得出，最后证得结论；
（2）由（1）得 再由可得结论．
（1）解：∵，
∴，
∴，
∵和为等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；
（2）解：由（1）知 ，
∵，
∴．
22．(1)
(2)
本题考查全等三角形的性质，三角形的内角和定理，三角形外角的性质．
（1）由角的和差得到，再根据全等的性质得到；
（2）根据三角形的内角和求得，根据全等的性质得到，进而根据三角形外角的性质得到，．
（1）解：∵，，
∴，
∵，
∴
（2）解：∵，，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
23．(1)①90，直角三角形的两个锐角互余 ②证明见解析
(2)；证明见解析
（1）①根据直角三角形的两个锐角互余即可得到结论；
②先证明，再利用三角形外角的性质证明，进而可证；
（2）设，，由三角形外角的性质得出，，消去x，y即可求解．
（1）①∵，
∴，理由是直角三角形的两个锐角互余．
故答案为：90，直角三角形的两个锐角互余；
②证明：平分，
，
，，
，，
，
又，
，
．
平分，
，
，
．
（2），理由如下：
，分别平分，，
设，，
，
即，①
，
即，②
由①②，得，
即．
本题考查了直角三角形的两个锐角互余，角平分线的定义，三角形外角的性质，平行线的判定，正确的识别图形是解题的关键．
24．(1)见解析
(2)①；②，证明见解析
本题主要考查等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质．
（1）根据题意可证， 得到，由此即可求解；
（2）①在上截取，连接，可证，得到，，则为等边三角形，由此即可求解；
②在上取点，使，连接，可证，由①知，为等边三角形，则，，，，所以，由即可求解．
（1）证明：∵是等边三角形，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：①在上截取，连接，
∵是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴为等边三角形，
∴；
②在上取点，使，连接，
∵为的中点，
∴，
∵，
∴，
∴， ，
∴，
由①知，为等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．

展开更多......

收起↑