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2025—2026学年八年级数学下学期单元测试卷
第一章三角形的证明 单元测试·过关卷
（ 全卷满分120 分，考试时间120 分钟）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题（每题 3 分，共 30 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，若∠ADC＝65°，则∠BAC的大小为（　　）
A．25° B．35° C．50° D．70°
2．在中，，则是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形
3．如图，在中，根据尺规作图痕迹，下列说法不一定正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．如图，，，，是上一点．若，，甲、乙两位同学分别给出了下面的结论，下列判断正确的是（ ）
甲：；
乙：．
A．只有甲的正确 B．只有乙的正确
C．两人的都正确 D．两人的都不正确
5．如图，，，，且，，三点在同一条直线上，连接，，则下列结论中错误的是( )

A． B．
C． D．
6．如图，在中，，，和分别是的高和角平分线，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
7．如图，过等边的顶点、、依次作、、的垂线、、，三条垂线围成，若，则的周长为（ ）
A．12 B．18 C．20 D．24
8．如图，在中，，点D在上，，则的长为（ ）
A．3 B．6 C．9 D．12
9．如图，在等边三角形中，，垂足是，且，点，分别是线段，上的动点，则的最小值是（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
10．如图，在中，作内角，外角的平分线相交于点；作、的平分线相交于点；依此类推，作，的平分线相交于点，，作，的平分线相交于点，则与的关系为（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题（每小题 3 分，共 18 分）
11．如图，在中，平分，，则是 三角形．

12．如图，，若，，则的度数是 ．
13．如图，在中，，垂直平分线段，，P是直线上的一点，若周长的最小值是17，则
14．如图，在等腰中，，，分别是的中线和高．若，则的度数为 ．
15．如图，是的边上的高，平分，若，，则
16．在中，的平分线相交于，过点且，若，，则 ．
三、解答题（第 17，18，19，20，21 ，22题每题 10分，第 23题每题 12 分，共 72 分）
17．如图，在中，，，平分．
(1)求的度数；
(2)延长至点E，使，求证：．
18．如图，已知，，，．
(1)求的度数；
(2)求的长．
19．如图，在中，于点，交于点，于点，交于点．
(1)求证：；
(2)若，，求的度数．
20．如图，已知四边形的面积为16，平分．
(1)求点D到的距离的长；
(2)若，求证：．
21．如图，中，的垂直平分线分别交于点D，E，的垂直平分线分别交于点F，G，连接．
(1)若的周长为10，求线段的长；
(2)若，求的度数．
22．如图，在中，点为上一点，将沿翻折得到，与相交于点，若．
(1)试说明：平分；
(2)求的度数．
23．如图，在四边形中，，连接，点在上，连接，若，．
(1)求证：△△．
(2)若，，求的度数．
24．如图1，直线，直线与直线，相交于点，点是射线上的一个动点（不包括端点）．
(1)若，交的平分线于点，，求的大小．
(2)如图2，连接．将沿折叠，顶点落在点处．
①若，点刚好落在其中的一条平行线上，则的大小为___________；
②若，，则的度数___________．2025—2026学年八年级数学下学期单元测试卷
第一章三角形的证明 单元测试·过关卷
（ 全卷满分120 分，考试时间120 分钟）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C B A A C A B C A B
1．C
根据三角形内角和定理求出，再利用角平分线的定义即可求解．
解：∵∠C＝90°，∠ADC＝65°，
∴，
∵AD是∠BAC的平分线，
∴，
故选：C．
本题考查角平分线的定义、三角形的内角和定理，掌握上述定理是解题的关键．
2．B
利用三角形内角和定理，结合条件，求出的度数，从而判断三角形类型．
解：∵ ，
又∵ ，
∴ ．
即：．
∴ ．
∴ ．
∴是直角三角形．
故选：B．
本题考查了三角形内角和定理和三角形的分类。解题关键是通过内角和定理与已知条件联立，求出的度数，进而判断三角形类型．
3．A
本题主要考查作图-基本作图、线段的垂直平分线、角平分线等知识点，读懂图形信息、灵活运用所学知识是解题的关键．
由作图可知平分，垂直平分线段，进而判断各选项即可．
解：由作图可知：平分，垂直平分线段，
∴，，，
无法判断．
故选：A．
4．A
本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理．解题的关键是利用已知条件求出相关角的度数，并依据角的关系判断直线是否平行．
先根据与的数量关系及度数求出，再由得出判断甲的结论；然后在中用内角和定理求，进而得，通过比较与判断乙的结论．
∵，，
∴ ．
∵，
∴ ，所以甲的结论正确．
在中，已知，，
∴ ．
， ， ，
所以与不平行，乙的结论错误．
综上，只有甲的正确，
故选：A．
5．C
根据全等三角形的判定得到，根据等腰直角三角形的性质及全等三角形性质可得到，根据直角三角形的性质可得，再逐项判断即可解答．
解：∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
故项不符合题意；
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
故项不符合题意；
∵根据题意可知，无法证明，
故项符合题意；
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故不符合题意；
故选．
本题考查了等腰直角三角形的性质及全等三角形性质，直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
6．A
本题考查了三角形的内角和及外角性质，三角形的高和角平分线，直角三角形两锐角互余，由三角形内角和定理可得，进而由三角形角平分线的定义得，由三角形外角性质得，又由三角形的高可得，最后根据直角三角形两锐角互余即可求解，掌握以上知识点是解题的关键．
解：∵，，
∴，
∵是的角平分线，
∴，
∴，
∵是的高，
∴，
∴，
∴，
故选：．
7．B
此题考查了等边三角形的判定与性质，所对的直角边等于斜边的一半，全等三角形的判定与性质．
先由是等边三角形，推出，由此可以证明是等边三角形．接着在中，由“所对的直角边等于斜边的一半”求出，再用证明，得到，最后即可求出的周长．
解：，
，
是等边三角形，
，，
，
∵，
，
同理：，
是等边三角形．
．
在中，，
，
，
，
，
在与中，
，
，
，
，
的周长为．
故选：B．
8．C
本题考查了等腰三角形的判定和性质，30度角的性质．
根据等边对等角得到，根据30度角的性质得到，根据等角对等边得到，进而可求的长．
∵，
∴
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
故选：C．
9．A
本题考查了等边三角形的对称性、“垂线段最短”等知识点．熟记相关结论是解题关键．根据等边三角形的对称性可得，根据垂线段最短即可求的最小值．
解：由等边三角形的对称性可得
故
过点作，如图所示：

则
故选：A．
10．B
本题考查了三角形的外角性质及角平分线的定义，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，熟记性质并准确识图，求出后一个角是前一个角的是解题的关键．根据三角形的外角性质可得，，根据角平分线的定义可得，，整理得到，同理可得，从而判断出后一个角是前一个角的，然后表示出即可得答案．
解：是的外角，是的外角，
，，
的平分线与的平分线交于点，
，，
，
同理可得：
，
，
,
……
．
故选：B．
11．等腰
本题考查了角平分线的定义以及平行线的性质，根据等角对等边证明等腰三角形，先得出，结合平行线的性质得，进行角的等量代换，得出，即可作答．
解：∵平分，
∴，
∵，
∴，
则
∴是等腰三角形．
故答案为：等腰．
12．/105度
本题考查了全等三角形的性质，三角形的内角和，掌握全等三角形的对应角相等是解题的关键．
根据，得到，再根据三角形内角和等于，即可求解．
解：，
，
．
故答案为：．
13．
本题考查的是线段的垂直平分线的性质，三角形的三边关系的应用，先证明，结合周长的最小值是17，，可得的最小值为：，再进一步求解即可.
解：如图，连接，
垂直平分线段，
，
∵周长的最小值是17，，
∴的最小值为：，
此时，
∴.
故答案为：
14．
此题考查等腰三角形的性质，关键是掌握等腰三角形三线合一的性质，
由直角三角形的性质求出的度数，再根据等腰三角形的性质求出的度数．
解：∵，
∴，
∴，
∵，是的中线，
∴平分，
∴，
故答案为．
15．
本题考查三角形的内角和定理，角平分线的定义，直角三角形的两个锐角互余．
由三角形的内角和定理可得，由角平分线的定义可得，由直角三角形的两个锐角互余可得，减去即可得的度数．
解：∵，，
∴，
∵平分，
∴，
∵是的边上的高，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
16．
本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，等角对等边，利用平行线的性质和角平分线的定义可得，即得，同理可得，再根据线段的和差关系即可求解，掌握以上知识点是解题的关键．
解：∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
同理可得，，
∴，
故答案为：．
17．(1)
(2)见解析
本题主要考查全等三角形的性质与判定及角平分线的定义，熟练掌握全等三角形的性质与判定及角平分线的定义是解题的关键．
（1）由题意易得，然后根据角平分线的定义可进行求解；
（2）由题意易得，然后可知，进而问题可求证．
（1）解：∵在中，，，
∴．
又∵平分，
∴；
（2）证明：∵，且，
∴，
∴．
在与中，，
∴，
∴．
18．(1)
(2)10
本题考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键．
（1）利用全等三角形的性质得到，再利用三角形内角和运算求解即可．
（2）利用全等三角形的性质得到，进而求解即可．
（1）解：，
，
∴．
（2）解：∵，
，
，
，
．
19．(1)见解析
(2)
本题考查了平行线的判定与性质，三角形的内角和定理，垂直定义，正确掌握平行线的判定与性质和三角形内角和定理是解题的关键．
（1）由平行线的性质得，再证明，则，等量代换，即可作答．
（2）结合垂直定义得出，再运用三角形的内角和定理列式计算，即可作答．
（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴．
20．(1)的长为
(2)见解析
本题主要考查了角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握以上性质．
（1）过点作，交的延长线于点，根据角平分线的性质得出，然后根据图形的面积即可求解；
（2）过点作，交的延长线于点，证明，即可得出结论．
（1）解：如图，过点作，交的延长线于点，
∵平分，且，
∴，
∵，
∴，
解得，
∴的长为；
（2）证明：如图，过点作，交的延长线于点，
由（1）得，
∵，，
∴，
∴，
∴．
21．(1)
(2)
本题主要考查了线段垂直平分线的性质定理，三角形内角和定理，角的和差，解题的关键是掌握线段垂直平分线的性质定理．
（1）利用线段垂直平分线的性质定理进行求解即可；
（2）利用三角形内角和定理求出，再利用线段垂直平分线的性质和等边对等角得出相等角，最后利用角的和差进行求解即可．
（1）解：∵垂直平分垂直平分，
∴，
∵的周长为10，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
22．(1)见解析
(2)
（1）由三角形内角和求得，由等边对等角得，进而求得；由翻折即可，从而结论成立；
（2）由翻折得：，由及三角形内角和求得，再由对顶角相等及三角形内角和即可求解．
（1）解：因为，，
所以，
因为，
所以，
所以，
由翻折得：，
所以，
所以平分；
（2）解：由翻折得：，
因为，
所以，
因为，
所以．
本题考查了折叠的性质，三角形内角和，等边对等角，角平分线的定义等知识．
23．(1)见解析
(2)
本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，平行线的性质，解决本题的关键是掌握全等三角形的判定与性质．
（1）根据，可得，利用证明△△即可；
（2）根据全等三角形的性质和等腰三角形的性质即可得到结论．
（1）证明：，
，
在△和△中，
，
△△；
（2）解：△△，
，，
，
，，
，
，
，
，
，
．
24．(1)
(2)①或；②或
本题考查了三角形的内角和问题，掌握平行线的性质和三角形的内角和定理是解题的关键．
（1）根据平行线的性质和三角形的内角和即可得到结论；
（2）①分两种情况讨论：当点Q落在上时，利用折叠的性质和三角形内角和定理计算即可．当点Q落在上时，利用折叠的性质和平行线的性质，三角形的内角和定理计算即可．②分两种情形：当点Q在平行线，之间时．当点Q在下方时，结合平行线的性质，即可解决问题．
（1）解：∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴
∵，
∴，
∴；
（2）解：①当点Q落在上时，
由折叠的性质得：，
∴．
当点Q落在上时，
由折叠的性质得：，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
综上所述，满足条件的的值为或，
故答案为：或．
②当点Q在平行线之间时．
由折叠的性质得：，
∵，即，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
解得：；
当点Q在下方时，
由折叠的性质得：，
∵，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，解得：，
∴；
综上所述，的度数为或．
故答案为：或(共7张PPT)
北师大版2024 八年级下册
第一章 三角形的证明
单元测试·过关卷分析
一、试题难度
整体难度：难
难度 题数
容易 1
较易 7
适中 15
较难 1
一、试题难度
三、知识点分布
一、单选题 1 0.94 与角平分线有关的三角形内角和问题
2 0.85 三角形的分类；三角形内角和定理的应用
3 0.75 作角平分线(尺规作图)；线段垂直平分线的性质；作垂线(尺规作图)
4 0.75 根据平行线判定与性质求角度；根据平行线判定与性质证明；与平行线有关的三角形内角和问题
5 0.65 锐角互余的三角形是直角三角形；全等的性质和SAS综合（SAS）；等腰三角形的性质和判定；直角三角形的两个锐角互余
6 0.65 与三角形的高有关的计算问题；直角三角形的两个锐角互余；三角形的外角的定义及性质；与角平分线有关的三角形内角和问题
7 0.65 含30度角的直角三角形；全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）；等边三角形的判定和性质
8 0.65 含30度角的直角三角形；等腰三角形的性质和判定
9 0.65 根据成轴对称图形的特征进行求解；垂线段最短；等边三角形的性质
10 0.64 角平分线的判定定理；三角形的外角的定义及性质
三、知识点分布
二、填空题 11 0.85 两直线平行内错角相等；三角形角平分线的定义；根据等角对等边证明等腰三角形
12 0.75 三角形内角和定理的应用；全等三角形的性质
13 0.65 线段垂直平分线的性质；三角形三边关系的应用
14 0.65 直角三角形的两个锐角互余；三线合一
15 0.65 三角形角平分线的定义；直角三角形的两个锐角互余；三角形内角和定理的应用
16 0.64 两直线平行内错角相等；三角形角平分线的定义；根据等角对等边求边长
三、知识点分布
三、解答题 17 0.85 全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）；角平分线的有关计算；直角三角形的两个锐角互余
18 0.85 三角形内角和定理的应用；全等三角形的性质
19 0.75 根据平行线判定与性质证明；三角形内角和定理的应用
20 0.65 全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）；角平分线的性质定理
21 0.65 线段垂直平分线的性质；等边对等角；三角形内角和定理的应用
22 0.65 折叠问题；等边对等角；与角平分线有关的三角形内角和问题；三角形内角和定理的应用
23 0.65 两直线平行内错角相等；用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA或者AAS）；全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）；等边对等角；全等三角形的性质
24 0.4 锐角互余的三角形是直角三角形；根据平行线的性质求角的度数；与角平分线有关的三角形内角和问题；折叠问题

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