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北师大版2024 八年级下册
第一章 三角形的证明
单元测试·基础卷分析
一、试题难度
整体难度：一般
难度 题数
容易 1
较易 6
适中 17
一、试题难度
三、知识点分布
一、单选题 1 0.94 三角形内角和定理的应用
2 0.85 等边对等角；三角形的外角的定义及性质
3 0.75 与平行线有关的三角形内角和问题；对顶角相等；三角形内角和定理的应用
4 0.65 角平分线的性质定理；点到直线的距离
5 0.65 线段垂直平分线的性质；线段垂直平分线的判定
6 0.65 线段垂直平分线的性质；作线段(尺规作图)
7 0.65 根据平行线的性质探究角的关系；判断命题真假；直角三角形的两个锐角互余；垂线的定义理解
8 0.65 全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）；直角三角形的两个锐角互余
9 0.65 全等的性质和SSS综合（SSS）；等边三角形的判定和性质
10 0.65 全等的性质和SAS综合（SAS）；角平分线的判定定理；三角形内角和定理的应用
三、知识点分布
二、填空题 11 0.85 直角三角形的两个锐角互余；等边对等角；三角形内角和定理的应用
12 0.75 全等的性质和SAS综合（SAS）；三角形内角和定理的应用；等边三角形的性质
13 0.65 线段垂直平分线的性质；等边对等角；三角形内角和定理的应用
14 0.65 等腰三角形的性质和判定；三线合一
15 0.65 两直线平行同旁内角互补；根据平行线的性质求角的度数；三角形的外角的定义及性质
16 0.55 全等的性质和SAS综合（SAS）；角平分线的性质定理；等边对等角；三角形内角和定理的应用
三、知识点分布
三、解答题 17 0.85 三角形的外角的定义及性质；三角形内角和定理的应用
18 0.75 全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）；三角形内角和定理的应用
19 0.65 线段垂直平分线的性质；等边对等角
20 0.65 全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）；直角三角形的两个锐角互余
21 0.65 等边对等角；直角三角形的两个锐角互余；三线合一；三角形内角和定理的应用
22 0.65 等边对等角；三角形内角和定理的应用；全等三角形的性质
23 0.65 根据平行线判定与性质证明；等边对等角；三线合一
24 0.64 全等的性质和SSS综合（SSS）；角平分线的性质定理；角平分线的判定定理2025—2026学年八年级数学下学期单元测试卷
第一章三角形的证明 单元测试·基础卷
（ 全卷满分120 分，考试时间120 分钟）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C B D C B D C A C C
1．C
本题考查了三角形的内角和定理，解题关键是掌握三角形的内角和定理并能熟练运用求解．
根据三角形的内角和定理，结合三个内角度数的比是求解．
解：∵三角形的三个内角度数的比是，
∴这个三角最大的内角是，
故选：C．
2．B
本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形外角的性质，先根据等腰三角形的性质得出，根据三角形外角的性质得出，根据，求出结果即可．
解：∵，
∴，
∵为的外角，
∴，
∵，
∴，
∴．
故选：B．
3．D
本题考查的是平行线的性质及三角形内角和定理，先求出，再根据三角形内角和求出结论即可．
解：如下图：
，，
，
，
，
，
故选：D．
4．C
本题主要考查角平分线的性质，掌握角平分线的性质是做题的关键．根据三角形内角平分线的交点到三边的距离相等，外角平分线的交点到三边所在直线的距离也相等，据此即可解答．
解：在中，三条内角平分线相交于一点，这个点到三边的距离相等，即到直线，，距离相等，所以符合条件的有1个点；
的外角平分线有三组，每组外角平分线的交点到三边所在直线的距离相等，即到直线，，距离相等，所以符合条件的有3个点，
综上，满足条件的点最多有（个）．
故选：C．
5．B
本题主要考查了线段垂直平分线的判定和性质，熟练掌握是解题的关键．
先证明垂直平分，得，再根据垂直平分，得，根据，即得．
解：∵，且点为线段的中点，
∴垂直平分，
∴，
∵垂直平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
故选：B．
6．D
本题考查了垂直平分线的性质和尺规作图，熟练掌握垂直平分线的内容是解题的关键；
先将转化为，再依据线段垂直平分线的性质分析各选项作图痕迹是否满足．
解：A、由作图痕迹得出：，无法推出，不符合题意；
B、由作图痕迹得出：，无法推出，不符合题意；
C、由作图痕迹得出：，无法推出，不符合题意；
D、由作图痕迹得出：，可以推出，符合题意；
故选： D．
7．C
本题考查了命题与定理，平行线的性质，垂线，根据平行线的性质，垂直的定义，三角形的内角和定理等逐个判定即可．
解：如图，
∵，
∴，（两直线平行，同位角相等），
故①正确；
∵，
∴，
∴，
故②正确；
无法说明，
故③错误；
综上所述，与题设组成的命题是真命题的有①②，
故选：C．
8．A
本题考查了直角三角形的特征，全等三角形的判定及性质，能熟练利用全等三角形的判定及性质进行求解是解题的关键．结合直角三角形的特征，由判定，再由全等三角形的性质即可求解．
解：F是高，的交点，
，
，，
，
，
，
，
，
．
故选：A．
9．C
本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，平行线的性质，熟练掌握这些判定和性质是解题的关键．连接，先证明，根据全等三角形的性质可得，根据平行线的性质可得，进一步可得，可得，根据，，可知是等边三角形，从而可知是等边三角形，可知，根据求解即可．
解：连接，
∵，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
故选：C．
10．C
本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的判定，三角形内角和定理，对顶角相等，熟练掌握知识点是解题的关键．通过证明，根据全等三角形的性质可得②；利用三角形内角和定理和对顶角相等，可判断①，过点O分别作，垂足分别为E，F，根据全等三角形对应边的高相等可得，进而可判断③④．
解：，
，
即，
在和中，
，
，
，，所以②正确；
，
而，
，所以①正确；
过O点作于E，于F，如图，
≌，
，
平分，所以④正确；
而，
，所以③错误．
故选：C
11．
本题考查了直角三角形相关的角度计算，熟练掌握相关计算是解题的关键；
根据等边对等角可得，则可得到的度数，再根据直角三角形两锐角互余可得的度数．
解：在中，
∴
∵，
∴
则
在中，
∴
则
故答案为： ．
12．
本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，掌握利用等边三角形的边角性质证明全等，通过角的转化求角度是解题的关键．
利用等边三角形的边角性质，证明，得到对应角相等，再通过角的转化，结合三角形内角和求出的度数．
解：∵是等边三角形，
∴，．
在和中
∴，
∴．
∵，
∴，．
故答案为：．
13．
先利用垂直平分线的性质得到线段相等，确定等腰三角形；再结合等腰三角形的内角和求出底角度数；最后利用垂直的性质，在直角三角形中计算出的度数．
解：∵ CD垂直平分弦AB，
∴，即是等腰三角形，
∵，
∴，
∵，
∴，
在中，，
故答案为：．
本题考查了垂直平分线的性质、等腰三角形的性质，掌握垂直平分线上的点到线段两端距离相等，以及等腰三角形的内角和计算方法是解题的关键．
14．等腰三角形的三线合一
本题考查了等腰三角形“三线合一”的性质，即等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合，简称“三线合一”熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
解：∵，
∴，
∴工程人员这种操作方法的依据是等腰三角形的“三线合一”．
故答案为：等腰三角形的“三线合一”．
15．
此题主要考查了平行线的性质以及三角形的外角性质，根据两直线平行，同旁内角互补得出是解题关键．
直接利用两直线平行，同旁内角互补的性质得出，进而利用三角形外角的性质得出答案．
解：，
，
，
，，
．
故答案为：．
16．①②④
根据角平分线的性质定理即可判断①；根据题意得到，进而证明即可判断②；根据题意得到和不全等，得到，即可判断③；根据等边对等角和三角形内角和定理即可判断④．
解：①∵平分，，
∴，故①正确；
②∵平分，
∴，
∵，，
∴，故②正确；
∵，，，，
∴和不全等，
∴，故③错误；
∵，
∴，
∵，
∵，
∴，故④正确．
故答案为：①②④．
此题考查了角平分线的性质，全等三角形的性质和判定，等边对等角，三角形内角和等知识，解题的关键是掌握以上知识点．
17．(1)
(2)
本题主要考查了三角形外角的性质，三角形内角和定理，熟知三角形外角的性质和三角形内角和定理是解题的关键．
（1）根据三角形外角的性质可得，由三角形内角和定理可得，据此可得答案；
（2）同（1）求解即可．
（1）解：∵分别是的两个外角，
∴，
∴，
∵，，
∴；
（2）∵分别是的两个外角，
∴，
∴，
∵，，
∴．
18．(1)见解析
(2)
本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理，熟知全等三角形的性质与判定定理是解题的关键．
（1）可证明，再利用即可证明；
（2）由全等三角形的性质得到，由三角形内角和定理求出的度数，再根据角的和差关系可得答案．
（1）证明：∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴；
（2）解：由（1）得，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
19．(1)证明见解析
(2)4
本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质等知识，掌握这两个性质是关键；
（1）由线段垂直平分线的性质得，则有；由得，再由直角三角形的性质得，即可证明；
（2）四边形的周长为，再结合已知即可求解．
（1）证明：∵是线段的垂直平分线，
∴，
∴；
∵，
∴；
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵四边形的周长为14，
∴，
∵，
∴，
即，
∴．
20．(1)见解析
(2)或或，理由见解析
此题主要考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定方法，理解全等三角形的对应边相等是解决问题的关键．
（1）先证明，进而可依据 “”判定和全等；
（2）由得出，，分三种情况可得出，，的数量关系．
（1）证明：∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴（），
（2）解：或或，理由如下：
如图①，由（1）知：，
∴，，
∴，
∴；
如图②，同（1）可证（），
∴，，
∴．
如图③，同（1）可证（），
∴，，
∴．
综上所述：、、的数量关系是：或或．
21．(1)
(2)见解析
本题考查了三角形内角和定理，等腰三角形的性质，解题的关键是从复杂的图形中找到相等的线段，利用等腰三角形性质．
（1）根据平角的定义得出，进而根据直角三角形中的两个锐角互余得出，进而根据等边对等角得出，根据三角形内角和定理求得，进而求得的度数；
（2）根据，且点D是的中点，得到，证得后即可证得．
（1）∵，
∴．
∵，，
∴，则．
∵，
∴，则，
∴．
（2）∵，点是的中点，
∴，平分，
∴．
∵，，
∴，，
∴，
∴
22．(1)，见解析
(2)
本题考查了全等三角形的性质、等腰三角形的性质和三角形的内角和定理，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键．
（1）根据全等三角形的性质得出，再求出答案即可；
（2）根据全等三角形的性质得出，根据对顶角相等和三角形内角和定理得出，，，求出即可．
（1）证明：，理由如下，
，
，
，
；
（2）解：由（1）可知，，
，
，
，
，
，，，
．
23．(1)
(2)见解析
本题考查了等腰三角形及其性质，熟练掌握相关性质是解题的关键；
（1）根据边相等得出角相等，根据垂直得到角度，则可求得的度数；
（2）由（1）得角相等，再根据平行进而推出角相等．
（1）解：∵，，
，．
又∵，
．
（2）解：由（1），得．
，
∴，
∴．
24．(1)是的平分线，理由见解析
(2)
本题主要考查三角形全等的判定方法及角平分线的性质，能够熟练运用角平分线的性质得到高的长度是解题关键．
（1）利用三条对应边相等证明来得到即可．
（2）利用角平分线上的点到角两边的距离相等得到的高，再运用割补法及面积计算公式解题即可．
（1）解：是的平分线
理由如下：
在和中，
，
∴
∴，
∴平分．
（2）解： ∵平分，，
∴的高等于，
∵．
∴，
∵
∴．2025—2026学年八年级数学下学期单元测试卷
第一章三角形的证明 单元测试·基础卷
（ 全卷满分120 分，考试时间120 分钟）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题（每题 3 分，共 30 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．一个三角形，三个内角度数的比是，则这个三角形最大的内角是（ ）度．
A． B． C． D．不能确定
2．如图所示，在中，是的外角平分线，且，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，直线，若，则等于（ ）
A． B． C． D．
4．如图，直线，，两两相交，交点分别为，，，则在这个平面内，到直线，，距离相等的点最多有（ ）个．
A．1 B．3 C．4 D．7
5．如图，在中，边的垂直平分线分别交边，于点，，过点A作，垂足为点，且点为线段的中点，连接．若，，则的长为（ ）
A．8 B．10 C．12 D．14
6．已知（），用尺规作图的方法在上确定一点，使．符合要求的作图痕迹是（ ）
A． B．
C． D．
7．如图，已知题设：直线，，以及三个结论：①；②；③，则这些结论中，与题设组成的命题是真命题的有（ ）
A．① B．② C．①② D．①②③
8．如图，在中，F是高，的交点，，，，则线段的长度为（ ）
A．2 B．1 C．4 D．3
9．如图，在四边形中，，，，点E在上，连接，相交于点F，．若，则的长为（ ）
A．4.5 B．5.5 C．6 D．4.3
10．如图，在和中，，，，，连接AC，BD交于点M，连接OM，下列结论：
①；
②；
③OM平分；
④MO平分，
其中正确的结论是（ ）
A．①② B．②③ C．①②④ D．①②③④
二、填空题（每小题 3 分，共 18 分）
11．如图，在中，，．若，则的度数为 ．
12．如图，为等边三角形，，分别是，上的点，与相交于点．若，则的度数为 ．
13．弓箭是一种威力大、射程远的兵器．如图，已知箭杆CD垂直平分弓弦AB．当的度数为时的度数为 ．
14．如图，从枕木的端点往铁轨拉两条长度相等的固定绳与，当固定点到枕木的端点的距离相等，且在同一直线上时，枕木就垂直于铁轨．其依据是 ．
15．如图，，分别与，交于点，，连接．若，，则的度数为 ．
16．如图，在中，BE平分交AC于点E，且，若点D为延长线上一点，且，连接，，过点D作于点G，交BC的延长线于点H．下列结论：①；②；③；④．其中所有正确结论的序号是 ．
三、解答题（第 17，18，19，20，21 ，22题每题 10分，第 23题每题 12 分，共 72 分）
17．如图，分别是的两个外角．
(1)若，求的度数．
(2)若，请用含的代数式表示的度数．
18．如图所示，在和中，，，．
(1)求证：；
(2)若的延长线交于点F，交于点G，，，，求的度数．
19．如图，在中，，D，E分别是上的点，且，的垂直平分线交于点F，交于点G，连接．
(1)求证：；
(2)若四边形的周长为14，，求线段的长．
20．如图，在中，，，是过点的一条直线，且于，于．
(1)当直线处于如图的位置时，证明：．
(2)猜想、、之间的数量关系，并说明理由．
21．如图，在中，，点是上一点，于点，过点作于点．
(1)若，求的度数；
(2)若点是的中点，连接，试说明．
22．如图，已知，点A，B，C的对应点分别是点A，D，E，点E在边上，与交于点F．
(1)与相等吗？为什么？
(2)若，求的度数．
23．如图，在中，，于点．
(1)若，求的度数；
(2)若点在边上，交的延长线于点．试说明：．
24．图1是一个平分角的仪器，其中．
(1)如图2，将仪器放置在上，使点O与顶点A重合，D，E分别在边上，沿画一条射线，交于点P．是的平分线吗？请判断并说明理由．
(2)如图3，在（1）的条件下，过点P作⊥于点Q，若，的面积是60，求的长．

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