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北师大版2024 八年级下册
第一章 三角形的证明
单元测试·提升卷分析
一、试题难度
整体难度：难
难度 题数
容易 1
较易 4
适中 18
较难 1
一、试题难度
三、知识点分布
一、单选题 1 0.94 根据平行线的性质求角的度数；三角形的外角的定义及性质
2 0.85 与角平分线有关的三角形内角和问题
3 0.75 全等的性质和SAS综合（SAS）；根据成轴对称图形的特征进行判断；折叠问题；等边三角形的判定和性质
4 0.65 角平分线的性质定理；角平分线的判定定理；三角形内角和定理的证明
5 0.65 线段垂直平分线的性质；线段的和与差
6 0.65 根据平行线的性质求角的度数；角平分线的有关计算；直角三角形的两个锐角互余
7 0.65 含30度角的直角三角形；等腰三角形的性质和判定；用勾股定理解三角形
8 0.65 找出图中的等腰三角形
9 0.65 角平分线的有关计算；根据等角对等边求边长；利用平行四边形的性质求解
10 0.64 三角形的外角的定义及性质；与平行线有关的三角形内角和问题
三、知识点分布
二、填空题 11 0.85 全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）；等腰三角形的性质和判定
12 0.75 两直线平行同位角相等；根据平行线的性质求角的度数；三角形内角和定理的应用
13 0.65 根据成轴对称图形的特征进行求解；线段垂直平分线的性质；三线合一
14 0.65 两直线平行内错角相等；直角三角形的两个锐角互余；垂线的定义理解
15 0.65 三线合一；等边三角形的判定
16 0.65 根据平行线的性质探究角的关系；角平分线的有关计算；根据等角对等边证明边相等；用勾股定理解三角形
三、知识点分布
三、解答题 17 0.85 三角形内角和定理的应用；全等三角形的性质
18 0.75 角平分线的性质定理；等边对等角；直角三角形的两个锐角互余；三线合一；三角形内角和定理的应用
19 0.65 线段垂直平分线的性质
20 0.65 全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）；直角三角形的两个锐角互余；等边对等角；三角形内角和定理的应用
21 0.65 全等的性质和SAS综合（SAS）；等腰三角形的性质和判定
22 0.65 全等的性质和SAS综合（SAS）；等边对等角
23 0.65 根据平行线的性质求角的度数；确定第三边的取值范围；三角形内角和定理的应用
24 0.4 全等的性质和SAS综合（SAS）；直角三角形的两个锐角互余；三角形内角和定理的应用；全等三角形的性质2025—2026学年八年级数学下学期单元测试卷
第一章三角形的证明 单元测试·提升卷
（ 全卷满分120 分，考试时间120 分钟）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题（每题 3 分，共 30 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．小明观察“抖空竹”时发现，可以将某一时刻的情形抽象成数学问题：如图，已知，，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
2．如图所示，是的平分线，是的平分线，与交于点G．若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，在等边三角形中，，将线段沿翻折，得到线段，连结交于点N，连结、，以下说法：①，②，③，④中，正确的是（　　）
A．①② B．①③ C．①②③ D．①②③④
4．如图，中，，，分别平分，，点到的距离是．下面结论中不一定正确的是（ ）
A． B．
C． D．点到的距离是
5．如图，在中，的垂直平分线分别交于点，连接，若的周长为，则等于（ ）
A．8 B． C．6 D．4
6．如图，，F为AB上一点，，且平分，过点F作于点G，且，则下列结论：①；②；③平分；④平分．其中正确结论的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．如图，在中，，，，D是边的中点，在的延长线上取一点E，连接并延长，交边于点F．若，则的长为（ ）．
A．1 B． C． D．
8．如图，中，，，动点P在斜边AB所在的直线m上运动，连结PC，那点P在直线m上运动时，能使图中出现等腰三角形的点P的位置有（ ）
A．6个 B．5个 C．4个 D．3个
9．如图，平行四边形中，，，平分交边于点，则等于（ ）
A． B． C． D．
10．一副三角板按如图所示放置，将含角的三角板固定，含角的三角板绕点旋转，保持为锐角，旋转过程中有下列结论：①；②若，则．③若，则；④若，则．其中正确的有（ ）
A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②③④
二、填空题（每小题 3 分，共 18 分）
11．如图，在 中，D 为 内一点，连接且平分，过点D 作 ， 交 于点E ，．若 ，则的长为
12．如图，已知，，，则的度数为 ．
13．如图，等腰三角形的面积为24，底边，腰的垂直平分线分别交边，于E，F两点，M为线段上一动点，D为的中点，连接，．在点M的运动过程中， 的周长存在最小值为 ．
14．如图，在中，，直线，点在直线上，连接，满足，若，则 ．

15．在中，是边上一点，平分，在不添加字母和辅助线的情况下，如果添加一个条件能使为等边三角形，那么可以添加的条件是 ．（只需写出一个）
16．如图，，直线分别交，于点，．的平分线与的平分线交于点，过点作交于点．若，，则 ．
三、解答题（第 17，18，19，20，21 ，22题每题 10分，第 23题每题 12 分，共 72 分）
17．如图，，．试判断与的关系，并说明理由．
18．如图，在中，，过的中点D作，垂足分别为点E，F.
(1)试说明：；
(2)若，求的度数.
19．如图，中，，垂直平分，交于点F，交于点E，且，连接．
(1)求证：；
(2)若的周长为，，求长．
20．在中，，点D在边上，过点A作交BD的延长线于E，于M，且，．
(1)如果，求的度数；
(2)求证：．
21．如图，在中，，点D、E、F分别在、、边上，且，．
(1)求证：是等腰三角形．
(2)当时，求．
22．如下图，在等腰三角形ABC中，，点D在线段CB的延长线上，以AD为边在AD的右侧作，使，，连接CE．
(1)试说明：．
(2)若，求的度数．
23．如下图，在中，，．
(1)求的取值范围；
(2)若，点，分别在，的延长线上，，，求的度数．
24．如图，，，，垂足分别为，．点在线段上以的速度由点向点运动，同时点在射线上运动，它们运动的时间为（当点运动结束时，点运动随之结束）．
(1)若点的运动速度与点的运动速度相等，当时，与是否全等？并判断此时线段和线段的位置关系，请分别说明理由；
(2)如图②，若“，”改为“”，点的运动速度为，其他条件不变，当点运动到某处时有与全等，求出相应的的值．
(3)在（）成立的条件下且两点的运动速度相同时，_____（直接写出结果）2025—2026学年八年级数学下学期单元测试卷
第一章三角形的证明 单元测试·提升卷
（ 全卷满分120 分，考试时间120 分钟）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C C D C A B D C B B
1．C
本题考查了平行线的性质以及三角形的外角性质，牢记三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键．
延长，交于点M，由，利用“两直线平行，同位角相等”，可求出的度数，再利用三角形的外角性质可求出的度数，即可解答．
解：延长，交于点M，如图
∴，
∴，
∴．
故选C．
2．C
本题考查三角形的内角和定理以及角平分线的定义．根据三角形内角和定理求出，，所以，再根据角平分线的定义求出，然后根据三角形内角和定理即可求出答案．
解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵是的平分线，是的平分线，
∴，
在中，．
故选：C．
3．D
根据等边三角形的性质及，利用全等三角形的性质可得，由折叠可得，于是对①作出判断；可证出，进而对②作出判断；由可得出，再根据，等量代换对③作出判断；由全等三角形和轴对称的性质可得，进而得出是等边三角形，从而对④作出判断．
解：∵是等边三角形，
∴，，
又∵，
∴，
∴，
由折叠可得，，，
∴，
因此①正确；
由折叠可得，，，
又∵，
∴，
∴，，
因此②正确；
∵，，
∴，
因此③正确；
由和折叠可得，，，
又∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
因此④正确；
综上所述，正确的有①②③④，
故选：D．
本题考查了等边三角形的判定与性质，折叠的性质，全等三角形的判定与性质，轴对称的性质，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解．
4．C
本题考查角平分线的判定与性质，三角形的内角和定理，解题的关键是掌握角平分线的判定与性质．由可得，由角平分线的定义求出，再根据三角形内角和定理求出的度数，的长在变化不一定等于，由角平分线的性质得到，即点到的距离是，据此即可求解．
解：如图，作于，于，
，
，
，分别平分，，
，，
，故B正确；
，故A正确；
的长在变化不一定等于，故C不一定正确；
平分，，，点到的距离是，即，
，即点到的距离是，故D正确；
故选：C．
5．A
本题考查了垂直平分线的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键．
根据垂直平分线的性质可得，再根据题意可得，即可求解．
解：∵的垂直平分线分别交于点，
∴，
∵的周长为，
∴，
故选：A．
6．B
此题考查了角平分线的定义和平行线的性质，解题的关键是熟练掌握平行线的性质．
根据平行线的性质可得，，再结合，可得，可判断①；根据平行线的性质可得，可判断②；根据题中的条件无法确定的度数，可判断③；根据平行线的性质可得，从而得到，可判断④．
解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，故①正确；
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，故②正确；
∵，
∴，
根据题中的条件无法确定的度数，故③错误；
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
无法确定是否等于，故④错误；
故选：B
7．D
本题主要考查了等腰直角三角形的判定和性质，含30度直角三角形的性质，勾股定理等知识，过点F作于点H，则，得出是等腰直角三角形，，，由含30度直角三角形的性质得出，设，则，，根据勾股定理求出，进而即可求出．
解：过点F作于点H，
则，
∵，，，
∴，，，
∴，，
∴，
∵D是边的中点，，
∴，
设，则，，
在中，
，
∵，
∴，
解得，
∴，
则，
故选D．
8．C
根据等腰三角形的定义利用作图的方法找出符合条件的点即可．
解：如图所示：
以A为圆心，AC长为半径画弧，交直线m于点P1，P3；以B为圆心，BC长为半径画弧，交直线m于点P4，P2；以C为圆心，BC为半径画弧，交直线m于点P5与P1两点重合．
因此出现等腰三角形的点P的位置有4个．
故选：C．
此题考查等腰三角形的定义和判定，利用作图找等腰三角形是一种常见的方法．
9．B
本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定与性质，角平分线的定义，解题的关键是掌握相关知识．根据平行四边形的性质可得：，，推出，由角平分线的定义可得，得到，推出，即可求解．
解：四边形是平行四边形，
，，
，
平分交边于点，
，
，
，
，
故选：B．
10．B
本题考查的是三角形的内角和定理的应用，三角形的外角的性质，平行线的判定与性质，熟练的利用数形结合的方法解决问题是解本题的关键．由同角的余角相等可判断①，求解从而可判断②，证明可判断③，画好的示意图，证明可判断④，从而可得答案．
解：由题意可得：，
，故①符合题意；
如图，，，
，
，
与不平行，故②不符合题意；
，，
，
∴，故③符合题意；
如图，当时，
，
，
，
，
，故④符合题意；
故选：B．
11．
本题主要考查全等三角形的判定和性质，等角对等边，掌握全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质是关键．
根据题意可证，得到，根据等角对等边得到，由此即可求解．
解：∵平分 ，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
12．
根据平角的定义得出，根据三角形内角和得到，再根据平行线的性质即可得解．
解：
．
故选：B．
本题考查了平行线的性质，掌握平行线的性质是解题的关键．
13．
本题考查轴对称最短路径问题、等腰三角形的性质、垂直平分线的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
连接、，等腰三角形中D为的中点，则，根据三角形面积公式求出的长度，根据垂直平分线的性质证得，进而证得，故的长为的最小值，据此得出结论即可．
解：连接、
是等腰三角形，D为的中点
是的垂直平分线
点关于的对称点为点
有最小值，
的周长存在最小值为
故答案为：．
14．
本题考查平行线的性质，根据直角三角形两锐角互余得，继而求得，再根据平行线的性质可得结论．解题的关键是掌握：两直线平行，内错角相等；直角三角形两锐角互余．
解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
故答案为：．
15．（答案不唯一）
本题考查了等腰三角形的三线合一，等边三角形的判定．根据题意要证明垂直平分，推出，再根据等边三角形的判定定理即可得出结论．
解：如图，添加时，为等边三角形，
∵在中，平分，，
∴是中边上的中线，
∴是中边上的高（三线合一），
∴垂直平分，
∴，
∵，
∴，
∴是等边三角形．
故答案为：（答案不唯一）．
16．
根据平行线的性质得到，由角平分线和三角形内角和定理得到，用勾股定理求出，再证明，即可得到答案．
解：∵，
∴，
∵的平分线与的平分线交于点，
∴，
∴
∴，
∴
∵，
∴，
∴
∴，
∴
故答案为：
此题考查了等角对等边，平行线的性质、角平分线的定义、勾股定理等知识，证明是解题的关键．
17．，；理由见解析
本题主要考查了全等三角形的性质，三角形内角和定理应用，熟练掌握全等三角形的对应边相等，对应角相等，是解题的关键．根据全等三角形的性质，得出，，证明，即可得出答案．
解：，；理由如下：
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
18．(1)见解析
(2)
本题考查了等腰三角形的性质，角平分线的性质，三角形的内角和，熟练掌握等腰三角形“三线合一”，“等边对等角”，角平分线上的点到两端距离相等，以及三角形的内角和是180度，是解题的关键．
（1）连接，根据“三线合一”得出平分，再根据角平分线的性质定理，即可求证；
（2）先根据直角三角形两个锐角互余得出，再根据“等边对等角”得出，最后根据三角形的内角和定理，即可求解．
（1）证明：连接，
，D是的中点，
平分，
，，
．
（2）解：，
，
，
，
，
，
．
19．(1)见解析
(2)
本题考查线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
（1）根据线段垂直平分线的性质得到，，等量代换证明结论；
（2）根据三角形的周长公式得到，根据，计算，得到答案．
（1）证明：垂直平分，
，
，，
垂直平分，
，
；
（2）解：的周长为，
，
，
，
，，
．
20．(1)
(2)证明见解析
本题考查了全等三角形的性质与判定、三角形内角和定理，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．
（1）根据得到，进而得到的值，根据三角形内角和定理得到，进而得到，据此计算的度数即可；
（2）过点D作于点F，根据、得到，进而证得；再根据、以及证得，进而得到，证得即可．
（1）解：
答：的度数为；
（2）证明：过点D作于点F，如图：
，
、、
、
．
21．(1)见解析
(2)
本题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定，三角形内角和定理．
（1）由，，，．利用边角边定理证明，然后即可求证是等腰三角形；
（2）根据可求出，根据，利用三角形内角和定理即可求出的度数．
（1）证明：∵，
∴，
在和中
，
∴，
∴，
∴是等腰三角形；
（2）如图，
∵，
∴，，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
∴．
22．(1)见解析
(2)
（1）根据题干已知的边角相等即可得证，即可推导出；
（2）根据题干边相等和第一问的全等即可得到角的关系：，即可求得的度数，即为的度数．
（1）解：∵，
，
∴．
在和中，
，
．
（2）解：∵，
．
由（1）得，
．
∵，
∴．
∵，
∴．
本题考查了全等三角形的判定和等腰三角形的性质，熟练掌握相关性质是解题的关键．
23．(1)
(2)
本题考查了三角形三边关系、平行线的性质、三角形内角和定理，掌握三角形三边关系求边长范围，平行线同旁内角互补，三角形内角和为是解题的关键．
（1）利用三角形三边关系，两边之差小于第三边，两边之和大于第三边，代入已知边长求的范围；
（2）先由平行线的性质求出的度数，再利用三角形内角和定理，结合已知的，求出的度数．
（1）解：在中，．
∵，，
∴，即．
（2）解：∵，，
∴．
∵，，
∴．
24．(1)，，理由见解析
(2)当时，，；当时，，
(3)
（）由题意可得，，进而得，即可证，由全等三角形的性质得，即可由得，即可求证；
（）分和两种情况，根据全等三角形的性质列出方程解答即可求解；
（）由得，即得，进而可得，得到，即可求解；
本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
（1）解：，，理由如下：
∵，，
∴，
∵点的运动速度与点的运动速度相等，且，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
即；
（2）解：①若时，则，，
∴，，
解得，；
②若，则，，
∴，，
解，；
综上，当时，，；当时，，；
（3）解：∵两点的运动速度相同，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．

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