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北师大版2024 八年级下册
第一章 三角形的证明
单元测试·培优卷分析
一、试题难度
整体难度：难
难度 题数
容易 1
较易 4
适中 18
较难 1
一、试题难度
三、知识点分布
一、单选题 1 0.94 与平行线有关的三角形内角和问题
2 0.85 三角形折叠中的角度问题
3 0.75 两直线平行内错角相等；与角平分线有关的三角形内角和问题
4 0.65 角平分线的性质定理
5 0.65 角平分线的判定定理；线段垂直平分线的性质
6 0.65 作角平分线(尺规作图)；线段垂直平分线的性质；等边对等角；三角形的外角的定义及性质
7 0.65 直角三角形的两个锐角互余；三角形的外角的定义及性质
8 0.65 含30度角的直角三角形
9 0.65 两直线平行内错角相等；三角形的外角的定义及性质；等边三角形的判定和性质；全等三角形的性质
10 0.65 全等的性质和SAS综合（SAS）；线段垂直平分线的性质；线段垂直平分线的判定；等腰三角形的性质和判定
三、知识点分布
二、填空题 11 0.85 三角形内角和定理的应用；全等三角形的性质
12 0.75 角平分线的性质定理；线段垂直平分线的性质；点到直线的距离
13 0.65 线段垂直平分线的性质；三线合一
14 0.65 直角三角形的两个锐角互余；全等三角形的性质
15 0.65 三角形的外角的定义及性质；三线合一；垂线的定义理解
16 0.64 根据平行线的性质求角的度数；等边对等角；三角形内角和定理的应用
三、知识点分布
三、解答题 17 0.85 作角平分线(尺规作图)；求一个角的补角；三角形内角和定理的应用
18 0.75 角平分线的性质定理；角平分线的判定定理
19 0.65 根据平行线判定与性质证明；线段垂直平分线的性质；三角形的外角的定义及性质
20 0.65 直角三角形的两个锐角互余；全等三角形的性质
21 0.65 等边对等角；等边三角形的判定和性质
22 0.65 全等三角形综合问题；全等的性质和SAS综合（SAS）；等腰三角形的性质和判定；三角形内角和定理的应用
23 0.65 实数的混合运算；全等的性质和SAS综合（SAS）；三角形内角和定理的应用
24 0.4 根据平行线的性质探究角的关系；根据平行线的性质求角的度数；角平分线的有关计算；直角三角形的两个锐角互余2025—2026学年八年级数学下学期单元测试卷
第一章三角形的证明 单元测试·培优卷
（ 全卷满分120 分，考试时间120 分钟）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B C B B C D C C A C
1．B
本题考查了三角形的内角和定理、平行线的性质，熟练掌握三角形的内角和为是解题的关键．根据三角形的内角和定理和平行线的性质即可求解．
解：，
，
，
．
故选：B．
2．C
本题考查了翻折变换的性质和三角形内角和定理，解题的关键是掌握翻折变换的性质和三角形内角和定理．利用三角形内角和定理，先求出，再利用翻折变换的性质求出，再根据，即可求解．
解：在中，，，
，
沿向内折叠得到，
，，，
在中，，
，
，
，
故选：C．
3．B
本题考查了与角平分线有关的三角形内角和问题、平行线的性质，熟练掌握三角形的内角和定理是解题关键．先根据三角形的内角和定理可得，再根据角平分线的定义可得，然后根据平行线的性质求解即可得．
解：∵在中，，，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
故选：B．
4．B
本题考查角平分线的性质、三角形面积，过点D作于点F，根据角平分线的性质得，再利用求解即可．
解：过点D作于点F，
∵是的角平分线，，，
∴，
∵的面积为15，
∴，即，
∴，
故选：B．
5．C
本题主要考查了角平分线的判定，垂直平分线的性质和等腰三角形的性质，解决此题的关键是熟练掌握角平分线的判定；先根据角平分线的判定得到角相等，再根据垂直平分线的性质得到等腰三角形得到角相等，进而得到答案；
解：∵垂直平分，
∴，
∴
∵，，
∴平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故选：C．
6．D
本题考查三角形外角性质，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质．先用三角形内角和求出再用角平分线求出，由线段垂直平分线得出，根据等腰三角形的性质得出，然后求出，最后用外角性质求出．
解：根据尺规作图痕迹知，平分，是线段的垂直平分线，
，
，
∵是线段的垂直平分线，
∴，
∴，
，
．
故选：D．
7．C
本题考查了三角形的外角性质、直角三角形的性质，熟记三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键．分、两种情况，根据直角三角形的性质、三角形的外角性质计算即可．
解：当时，，
当时，，
∵是的外角，
∴，
综上所述，的度数为或，
故选：C．
8．C
本题主要考查的是含30度角的直角三角形性质和三角形内角和定理的应用，求出，求出，根据含30度角的直角三角形性质求出，，求出即可．关键是求出，．
解：是高，，
，
，
，
，
，
，
，
，
故选：C．
9．A
本题考查平行线的性质，全等三角形的性质，等边三角形的判定和性质，三角形外角的性质，证明是等边三角形是解题的关键．
由得，由得，进而可得，证明是等边三角形，再由三角形外角的性质即可求解．
解：，
，
，
，
，
，
又，
，
是等边三角形，
，
，
故选：A．
10．C
本题考查中垂线的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识，结合题意，作出图形，由中垂线的判定与性质确定A正确；由等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质确定B正确；由全等三角形的判定与性质确定C正确；从而得到答案，熟记中垂线的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识是解决问题的关键．
解：A、如图所示：
，，
是线段的垂直平分线，即，
故选项正确，不符合题意；
B、如图所示：
，，
是等腰的角平分线，
，
，则；
故选项正确，不符合题意；
C、如图所示：
由，，无法确定，
进而无法确定，
故选项错误，符合题意；
D、如图所示：
，，，
，则；
故选项正确，不符合题意；
故选：C．
11．
本题考查全等三角形的性质，三角形内角和定理，关键是掌握全等三角形的对应角相等；由全等三角形性质推出，由三角形内角和定理求出，即可求出的度数．
解：，，，
故答案为：．
12．1
本题考查了线段垂直平分线的性质，角平分线的性质，掌握角平分线上的点到角两边的距离相等，线段垂直平分线平分线段是解题的关键．
先由垂直平分线的性质求出的长度，再利用角平分线的性质，得到点到直线的距离等于．
解：过点作 于点
∵是 的垂直平分线，且
∴是的中点，
∵，即
∴点到直线的距离为
∵平分
∴点到直线 的距离等于点到直线的距离
∴点到直线的距离为．
故答案为：．
13．11
本题考查等腰三角形的性质，中垂线的性质，利用轴对称解决线段和最小问题．连接，的周长为，为定值，要使的周长最小，则的值最小，的垂直平分线为，得到关于对称，得到，当三点共线时，，最小，进行求解即可．
解：∵的周长为，为定值，
∴当的值最小时，的周长最小，
连接，
∵的垂直平分线为，
∴关于对称，
∴，
∴当三点共线时，，
∵等腰，点为底边的中点，
∴，，
∴，
∴，
∴的周长的最小值为；
故答案为：．
14．35°
本题考查了全等三角形的性质、直角三角形的性质，掌握全等三角形对应角相等，直角三角形两锐角互余是解题的关键．
利用全等三角形对应角相等的性质，推导出与相等，再在直角三角形中，通过，直角三角形两锐角互余求出的度数．
解：，
，
，
即．
，
，
．
故答案为：．
15．/61度
本题考查垂直的定义，三角形外角的性质，等腰三角形的性质，掌握相关知识是解题的关键．
由垂直的定义得到，根据三角形外角的性质得到，根据“三线合一”得到．
解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，是的中线，
∴．
故答案为：
16．
本题考查等腰三角形的性质，平行线的性质，关键是掌握等腰三角形的两底角相等，两直线平行，同位角相等．
由等腰三角形的性质得到，由平行线的性质推出．
解：，，
∴，
∵，
∴．
故答案为：．
17．(1)
(2)见解析
本题考查了三角形内角和性质，作角平分线，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）结合三角形内角和性质进行列式计算，即可作答．
（2）理解题意，作出的平分线，即可作答．
（1）解：，
（2）解：如图所示，点E为所求点：
18．证明见解析
本题考查角平分线的判定和性质，熟练掌握角平分线的判定定理和性质定理是解题的关键．根据角平分线的判定定理得到是的平分线，根据角平分线的性质定理证明结论．
证明：，于点C，于点D，
是的平分线，
又于点E，于点F，
．
19．(1)见解析
(2)见解析
本题考查线段的垂直平分线的性质，平行线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识．
（1）由，推出，由交于点，推出，可得．
（2）由，，，可得．
（1）证明：点是的垂直平分线上的点，
，
，
交于点，
，
．
即是的角平分线．
（2）解：点是的垂直平分线上的点，
，
，
，，，
．
20．(1)
(2)垂直，理由见解析
本题主要考查全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的对应边，对应角相等是解题的关键．
（1）根据全等三角形的对应边相等以及线段的和差关系计算即可；
（2）根据全等三角形的对应角相等结合直角三角形的两锐角互余即可得到结论．
（1）解：，
，，
．
（2）解：
理由：，
， ，
又A、B、C在一条直线上，，
，
∴，
∴，
∴．
21．(1)
(2)是等边三角形，理由见解析
本题考查了等边三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）结合等边三角形的性质求出，根据等腰三角形的性质求出，再根据平角定义求解即可；
（2）结合（1）求出，再根据“有一个角是的等腰三角形是等边三角形”求解即可．
（1）解：在等边中，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：是等边三角形．理由如下：
由（1）可得，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴是等边三角形．
22．(1)见解析
(2)21
本题主要考查了全等三角形的判定与性质、三角形的外角性质等知识，证明是解题关键．
（1）根据各角之间的关系得出，再利用“”证明，即可证明；
（2）由全等三角形的性质可得，进而可得的值，然后根据求解即可．
（1）证明：，，，
，
，
，
，
在和中，
，
；
（2）解：由（1）得，
，
，
，
．
23．（1）-10；（2）见解析
（1）结合零指数幂、负整数指数幂、绝对值的性质化简后计算；
（2）利用三角形内角和定理得的度数，再根据全等三角形的判定与性质可得结论．
解：（1）原式；
（2）在中，，，
．
，
，
，
．
在和中，
，
．
本题考查了零指数幂、负整数指数幂、绝对值和全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握实数的运算和全等三角形的判定与性质．
24．(1)
(2)①；②，证明见解析；③
（1）根据角平分线的定义和平行线的性质即可求解；
（2）①由三角形内角和定理可得，由平行线的性质和角平分线的定义可得，根据即可求解；②当点在线段上运动时（不与点，重合），结合平行线的性质和角平分线的定义即可求解；③点是射线上一动点（不与点，重合），即点在下方，结合平行线的性质和角平分线的定义即可求解即可得到答案．
（1）解：∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴
故答案为：；
（2）解：①∵，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴；
②，
证明如下：
当点在线段上运动时（不与点，重合），如图所示：
∵，
，
则，
∵平分平分，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
，
，
，
，
则，
即，
，
∴；
③点是射线上一动点（不与点，重合），即点在下方，如图所示：
∵，
∴平分平分，
∴，
∵，
∴，
，
，
，
，，
，
故答案为：．
本题考查由平行线的判定与性质求角度及角度关系，涉及平行线判定与性质、角平分线定义、垂直定义、直角三角形两锐角互余等知识，熟练掌握平行线的判定与性质，数形结合，找准各个角度之间的关系是解题的关键．2025—2026学年八年级数学下学期单元测试卷
第一章三角形的证明 单元测试·培优卷
（ 全卷满分120 分，考试时间120 分钟）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题（每题 3 分，共 30 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．如图，在中，，直线经过点A且，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
2．如图，在中，，，点E、F在边上，沿向内折叠得到，则图中等于（　　）
A． B． C． D．
3．如图，在中，，，平分，交于D，，交于E，则的大小是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，是的角平分线，于点E．若的面积为15，，，则的长是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．2
5．如图，，垂直平分，，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
6．如图，在中，，，根据尺规作图痕迹，可知（ ）
A． B． C． D．
7．在中，，，点D在边上，连接，若为直角三角形，则的度数为（ ）
A． B． C．或 D．或
8．已知在中，，，是边上的高．若，则的长为（ ）
A．3 B．6 C．9 D．12
9．如图，在中，，点D为边上一点，连接，，过点C在的右侧作，连接．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
10．已知射线在内部，为射线上一点，如图所示．点分别在上（不与重合），连结，下列说法错误的是（ ）
A．若，，则
B．若，，则
C．若，，则
D．若，，则
二、填空题（每小题 3 分，共 18 分）
11．如图，，，，，则的度数是 ．
12．如图，的垂直平分线交于点，是上一点，平分．若，则点到直线的距离为 ．
13．如图，等腰的底边长为6．面积是24，腰的垂直平分线分别交、于点、．若点为底边的中点，点为线段上一动点，则的周长的最小值为 ．
14．如图，，点，的对应点分别为，，过点作于点．若，则的度数为 ．
15．如图，在中，，是的中线，过点A作交的延长线于点D，若，则的度数为 ．
16．如图，在等腰三角形ABC中，，点E在AC的延长线上，．若，则的度数为 ．
三、解答题（第 17，18，19，20，21 ，22题每题 10分，第 23题每题 12 分，共 72 分）
17．如图，在中，点D在的延长线上，其中，．
(1)求的度数．
(2)作的平分线．（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
18．如图，于点C，于点D，，Q是上一点，于点E，于点F，求证：．
19．如图，，是的垂直平分线上两点，延长，交于点，交于点．
求证：
(1)是的角平分线；
(2)．
20．如图，点A，B，C在同一直线上，点E在上，连接并延长交于点F，且，，
(1)求的长；
(2)判断与的位置关系，并说明理由．
21．如图，在中，，，在边上取点D，连接，使．以为一边作等边，且使点E与点B位于直线的同侧，．
(1)求的度数；
(2)点F在上，连接，，请判断是否是等边三角形，并说明理由．
22．如图，在锐角中，，且点，在线段上，且．
(1)求证；
(2)若，求．
23．（1）计算：；
（2）如下图，在中，，．过点作，垂足为，延长至点，使得，在边上截取，连接．试说明：．
24．已知射线平分，点为上任意一点，过点作直线交射线于点．
(1)如图1，若，则=______；
(2)点是射线上一动点（不与点，重合），平分交于点，过点作交于点．
①如图2，若，当时，求的度数；
②当点在线段上运动时（不与点，重合），设，，判断和之间的数量关系，并证明．
③当点在线段延长线上运动时，设，，直接写出和之间的数量关系______．

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