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整式的乘除（A卷·基础知识达标卷）
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．（2025七下·上城期中）红细胞有运输氧气和二氧化碳，输送营养物质等作用，它的平均直径为米，将该数用科学记数法表示是（　　）
A． B． C． D．
2．（2025七下·西湖期中）计算的结果是（　　）
A． B． C． D．
3．（2025七下·温州期中）下列式子中，不能用平方差公式计算的是（　　）
A．（-x-y）（-x+y） B．（y+x）（x-y）
C．（-x+y）（x-y） D．（-y+x）（-x-y）
4．（2025七下·南海期中）如果，，，那么三个数的大小为（　　）
A． B． C． D．
5．（2024七下·杭州期中）一个长方形的长为，宽为，则这个长方形的面积为（　　）
A． B． C． D．
6．（2025七下·紫金期中）下列计算中正确的是（　　）
A． B．
C． D．
7．（2025七下·瑞安期中） 如图，将两张长为a，宽为b的长方形纸片按图1，图2两种方式放置，图1和图2中两张长方形纸片重叠的部分分别记为①和②，正方形ABCD中未被这两张长方形纸片覆盖的部分用阴影表示，①和②的面积分别记为和.若知道下列条件，可以求值的是（　　）
A．长方形纸片的面积 B．长方形纸片的周长
C．长方形纸片和①的面积差 D．图1与图2阴影部分的面积差
8．计算 的结果为 ， 则 “ ”中的数为(　　)
A．-2 B．2 C．-4 D．4
9．（2024七下·杭州期中）已知，是常数，若化简的结果不含的二次项，则的值为（ ）
A． B． C． D．
10．（2024七下·鄞州期中）已知多项式与的乘积展开式中不含x的一次项，且常数项为﹣4，则的值为（　　）
A．﹣2 B．2 C．﹣1 D．1
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．（2024七下·印江期中）计算：　 　．
12．（2024七下·深圳期中）已知，则　 　．
13．如果（x+1）（x+m）的乘积中不含x的一次项，则m的值为　 　．
14．（2024七下·深圳期中） 用如图所示的正方形和长方形卡片若干张，拼成一个边长为a＋3b的正方形，需要B类卡片　 　张．
15．（2024七下·邵东期末）计算的结果是　 　．
16．（2024七下·岳阳期中）已知，，，试比较a，b，c的大小并用“”把它们连接起来：　 　．
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．（2024七上·南宁月考）某学习小组学习了幂的有关知识后发现：根据，知道a、m的值，可以求b的值．如果知道a、b的值，可以求m的值吗？他们为此进行了研究，规定：若，那么．例如，那么．
（1）填空：　 　；　 　；
（2）计算：；
18．（2025七下·三水期中）按要求计算下面各题：
（1）已知，求的值；
（2）已知，，求的值．
19．（2024七下·滕州期中）如图所示的是人民公园的一块长为米．宽为米的空地．预计在空地上建造一个网红打卡观景台，阴影部分．
（1）请用、表示观景台的面积．结果化为最简
（2）如果修建观景台的费用为元平方米．且已知米，米那么修建观景台需要费用多少元？
20．（2024七下·岑溪期中）如果，则，例如：，则．
（1）根据上述规定，若，求x的值；
（2）记，，，求的值．
21．（2024七下·余杭期中）完全平方公式经过适当的变形，可以解决很多数学问题．
例如：若，，求的值．
解：∵，，
∴，．
∴，
∴．
根据上面的解题思路与方法解决下列问题：
（1）若，求的值
（2）如图，是线段上的一点，分别以，为边向两边作正方形，设，两正方形的面积和为，求的面积．
22．（2024七下·五华期中）计算：
（1）
………
猜想 ： ；
（2）根据以上结果，试写出下面两式的结果．
① ；
② ；
（3）利用以上结论求值：．
23．（2024七下·吉安月考）观察下列各式：
（1）填空=　 　；
（2）猜想　 　；（其中n为正整数，且）
（3）利用（2）中的猜想的结论计算：．
24．我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例．如图，这个三角形的构造法则：两腰上的数都是1，其余每个数均为其上方左右两数之和，它给出了(为正整数)的展开式(按的次数由大到小的顺序排列)的系数规律．例如，在三角形中第三行的三个数，恰好对应展开式中的系数；第四行的四个数，恰好对应展开式中的系数．
（1）根据上面的规律，写出的展开式．
（2）利用上面的规律计算：．
25．（2024八上·岳麓期末）数学活动课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片，A种纸片是边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片是长为a、宽为b的长方形，并用A种纸片一张，B种纸片一张，C种纸片两张拼成如图2的大正方形．
（1）若要拼出一个面积为的长方形，则需要A号卡片___________张，B号卡片___________张，C号卡片___________张．
（2）观察图2，请你写出下列三个代数式：之间的等量关系___________；
（3）根据得出的等量关系，解决如下问题：已知．求的值．
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整式的乘除（A卷·基础知识达标卷）
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．（2025七下·上城期中）红细胞有运输氧气和二氧化碳，输送营养物质等作用，它的平均直径为米，将该数用科学记数法表示是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：，
故选：C．
【分析】
用科学记数法把一个绝对值较小的数字表示成的形式，其中，为左边第一个非0数字前面0的个数．
2．（2025七下·西湖期中）计算的结果是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：，
故选：．
【分析】
积的乘方，给每一个因式先乘方，再把所得的幂相乘．
3．（2025七下·温州期中）下列式子中，不能用平方差公式计算的是（　　）
A．（-x-y）（-x+y） B．（y+x）（x-y）
C．（-x+y）（x-y） D．（-y+x）（-x-y）
【答案】C
【解析】【解答】解：A、两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数，所以能用平方差公式计算，故此选项不符合题意；
B、因为(y+x)(x-y)=(x+y)(x-y)，两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数，所以能用平方差公式计算，故此选项不符合题意；
C、因为(-x+y)(x-y)=-(x-y)(x-y)，两个二项式完全相同，所以不能用平方差公式计算，故此选项符合题意；
D、∵(-y+x)(-x-y)=(-y+x)(-y-x)，两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数，所以能用平方差公式计算，故此选项不符合题意.
故答案为：C.
【分析】两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数，这样的两个二项式相乘可以使用平方差公式，据此逐一判断得出答案.
4．（2025七下·南海期中）如果，，，那么三个数的大小为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：=；=1；=，
∵1＞＞-10，
∴b＞c＞a.
故答案为：A.
【分析】首先根据负整数指数幂的性质、零指数幂的性质分别化简，通过比较化简后的结果大小，进而得出a，b，c的大小。
5．（2024七下·杭州期中）一个长方形的长为，宽为，则这个长方形的面积为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：长方形的面积为，
故答案为：B．
【分析】本题考查了平方差公式的应用和长方形的面积计算公式，利用平方差公式计算即可．
6．（2025七下·紫金期中）下列计算中正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：A、 不是同类项，不能合并，故A不符合题意；
B、 ，故B不符合题意；
C、 ，故C符合题意；
D、 ，故D不符合题意；
故答案为：C．
【分析】根据同类项，同底数幂的乘法，幂的乘方进行判断即可。
7．（2025七下·瑞安期中） 如图，将两张长为a，宽为b的长方形纸片按图1，图2两种方式放置，图1和图2中两张长方形纸片重叠的部分分别记为①和②，正方形ABCD中未被这两张长方形纸片覆盖的部分用阴影表示，①和②的面积分别记为和.若知道下列条件，可以求值的是（　　）
A．长方形纸片的面积 B．长方形纸片的周长
C．长方形纸片和①的面积差 D．图1与图2阴影部分的面积差
【答案】D
【解析】【解答】解：
则 即：
；
∵矩形的面积是 ab，矩形的周长是
故A、B是正确的；
又因为①的面积是( ②的面积是
；
故③正确，
故答案为：D .
【分析】用字母表示长度，列代数式，运用整式的运算进行验证.
8．计算 的结果为 ， 则 “ ”中的数为(　　)
A．-2 B．2 C．-4 D．4
【答案】D
【解析】【解答】解：， “ ”对应的数应为4.
故答案为：D.
【分析】根据完全平方公式展开后对比即可.
9．（2024七下·杭州期中）已知，是常数，若化简的结果不含的二次项，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：
=
，
因为不含的二次项，
所以，
而，
所以=-1，
故答案为：A.
【分析】先化简得到，根据不含项的系数为零求出2a-b=0，然后整体代入计算解题.
10．（2024七下·鄞州期中）已知多项式与的乘积展开式中不含x的一次项，且常数项为﹣4，则的值为（　　）
A．﹣2 B．2 C．﹣1 D．1
【答案】D
【解析】【解答】解：
，
中不含的一次项，且常数项为，
，解得，
则，
故答案为：D．
【分析】根据多项式乘以多项式法则展开合并，根据不含项的系数为0和常数项为求出的值，再代入解题即可．
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．（2024七下·印江期中）计算：　 　．
【答案】
【解析】【解答】解：．
故答案为：．
【分析】利用单项式与单项式相乘的乘法法则运算即可．
12．（2024七下·深圳期中）已知，则　 　．
【答案】9
【解析】【解答】解：，
，
，
故答案为：9．
【分析】本题考查了同底数幂除法的逆用、以及幂的乘方的逆用，由同底数幂除法的逆用，化简得到，求得，再由幂的乘方，进行计算，即可求解.
13．如果（x+1）（x+m）的乘积中不含x的一次项，则m的值为　 　．
【答案】﹣1
【解析】【解答】解：（x+1）（x+m）=x2+（1+m）x+m，
∵结果不含x的一次项，
∴1+m=0，
解得：m=﹣1．
故答案为：﹣1．
【分析】把式子展开，找到所有x项的所有系数，令其和为0，可求出m的值．
14．（2024七下·深圳期中） 用如图所示的正方形和长方形卡片若干张，拼成一个边长为a＋3b的正方形，需要B类卡片　 　张．
【答案】6
【解析】【解答】解：∵S正方形=（a+3b）2=a2+6ab+（3a）2=a2+6ab+9b2，
A=a2，B=ab，C=b2，
∴需要B类卡片6张.
【分析】由边长是（a+3b）的正方形可知，面积是a2+6ab+9b2。由一个B类长方形面积是ab，可知需要B类卡片6张.
15．（2024七下·邵东期末）计算的结果是　 　．
【答案】
【解析】【解答】解：
，
；
故答案为：．
【分析】根据负数的偶次方为将转化为，再根据同底数幂乘法的逆运算化简计算即可求出答案.
16．（2024七下·岳阳期中）已知，，，试比较a，b，c的大小并用“”把它们连接起来：　 　．
【答案】
【解析】【解答】解：∵，，
∴，，
∵，
∴，
故答案为：．
【分析】
由于27是3的立方，9是3的平方，因此可利用幂的乘方的逆运算将幂和的底数都转化成3，再直接比较指数即可．
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．（2024七上·南宁月考）某学习小组学习了幂的有关知识后发现：根据，知道a、m的值，可以求b的值．如果知道a、b的值，可以求m的值吗？他们为此进行了研究，规定：若，那么．例如，那么．
（1）填空：　 　；　 　；
（2）计算：；
【答案】（1）5；
（2）解∵，
∴，
∴
【解析】【解答】解：（1）∵，
∴，
∵，
∴．
故答案为：5，．
【分析】（1）根据乘方和负整数次幂的运算法则，即可得到答案；
（2）根据乘方和负整数次幂的运算法则，即可得到答案．
18．（2025七下·三水期中）按要求计算下面各题：
（1）已知，求的值；
（2）已知，，求的值．
【答案】（1）解：∵，
∴
（2）解：∵，
∴

【解析】【分析】（1）把都改为底数为3的乘方，再利用同底数幂的乘法计算，由整体代入即可．
（2）先根据幂的乘方的法则分别求出和的值，然后根据同底数幂的乘除法法则求解．
（1）解：∵，
∴
（2）解：∵，
∴
19．（2024七下·滕州期中）如图所示的是人民公园的一块长为米．宽为米的空地．预计在空地上建造一个网红打卡观景台，阴影部分．
（1）请用、表示观景台的面积．结果化为最简
（2）如果修建观景台的费用为元平方米．且已知米，米那么修建观景台需要费用多少元？
【答案】（1）解：阴影部分的面积为：
；
答：观景台的面积为平方米；
（2）解：当时，
原式
平方米，
元．
答：修建观景台需要费用为元．
【解析】【分析】（1）根据矩形的面积公式，结合图形，结合面积之间的和差关系，列出算式，化简运算，即可得到答案；
（2）把代入（1）中的代数式，计算求值，即可得到答案.
20．（2024七下·岑溪期中）如果，则，例如：，则．
（1）根据上述规定，若，求x的值；
（2）记，，，求的值．
【答案】（1）解：根据定义的公式，由，得
∵，
∴
∴；
（2）解：∵，，∴，，
∴
．
【解析】【分析】（1）根据题设中新定义的运算方式，由， 得到，求得x的值，即可得到答案；
（2）根据题设中新定义的运算方式，列式求得，，，再根据幂的乘方逆运算，以及同底数幂的乘法逆运算法则，变形计算求值，即可得到答案．
21．（2024七下·余杭期中）完全平方公式经过适当的变形，可以解决很多数学问题．
例如：若，，求的值．
解：∵，，
∴，．
∴，
∴．
根据上面的解题思路与方法解决下列问题：
（1）若，求的值
（2）如图，是线段上的一点，分别以，为边向两边作正方形，设，两正方形的面积和为，求的面积．
【答案】（1）解：∵，
∴，，
∴，
∴；
（2）解：解：设，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴．
【解析】【分析】（）利用完全平方公式的变形解答即可；
（）设，，即可得到，，然后根据完全平方公式变形解题即可．
22．（2024七下·五华期中）计算：
（1）
………
猜想 ： ；
（2）根据以上结果，试写出下面两式的结果．
① ；
② ；
（3）利用以上结论求值：．
【答案】解：（1）由题意知，，，
故答案为：，；
（2）①解：由题意知，，
故答案为：；
②解：由题意知，，
故答案为：；
（3）解：由题意知，，
∴．
【解析】【分析】（1）根据给定的多项式的运算形式，总结归纳，即可得到答案；
（2）①由（1）中的归纳结果，根据题意求解作答，即可求解；②由（1）中的归纳结果，进行求解作答，即可求解；
（3）由（1）中的归纳结果，结合，进行计算求解，即可得到答案．
23．（2024七下·吉安月考）观察下列各式：
（1）填空=　 　；
（2）猜想　 　；（其中n为正整数，且）
（3）利用（2）中的猜想的结论计算：．
【答案】（1）
（2）
（3）解：．
【解析】【分析】（1）根据题中条件，总结归纳即可求解；
（2）根据题中条件，总结归纳即可求解；
（3）由题中可得a=2，b=1，再根据归纳总结，即可得出结论.
24．我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例．如图，这个三角形的构造法则：两腰上的数都是1，其余每个数均为其上方左右两数之和，它给出了(为正整数)的展开式(按的次数由大到小的顺序排列)的系数规律．例如，在三角形中第三行的三个数，恰好对应展开式中的系数；第四行的四个数，恰好对应展开式中的系数．
（1）根据上面的规律，写出的展开式．
（2）利用上面的规律计算：．
【答案】（1）解：．
（2）解：原式．
【解析】【分析】 观察杨辉三角的规律：杨辉三角两腰上的数都是 1，其余每个数均为其上方左右两数之和。第几行就对应展开式的系数，其中为行数减 1.运用规律及规律的逆运用写出（a+b)5的展开式和
25．（2025八上·湘西期末）数学活动课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片，A种纸片是边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片是长为a、宽为b的长方形，并用A种纸片一张，B种纸片一张，C种纸片两张拼成如图2的大正方形．
（1）若要拼出一个面积为的长方形，则需要A号卡片___________张，B号卡片___________张，C号卡片___________张．
（2）观察图2，请你写出下列三个代数式：之间的等量关系___________；
（3）根据得出的等量关系，解决如下问题：已知．求的值．
【答案】（1）3，2，7
（2）
（3）解：∵，，
∴，
∵
；
∴．
【解析】【解答】（1）解：∵，A型纸片的面积为a2，B型纸片的面积为b2，C型纸片的面积为ab，
∴要拼出一个面积为的长方形，则需要A号卡片3张，B号卡片2张，C号卡片7张；
故答案为：3，2，7；
（2）从整体看，大正方形面积为(a+b)2，从部分看，大正方形的面积为a2+b2+2ab，
∴；
故答案为：；
【分析】（1）根据多项式乘以多项式法则求出(a+2b)(3a+b)的积，根据长方形的面积公式求出A、B、C三种纸片的面积，即可判断得出答案；
（2）利用大正方形的面积等于两个长方形的面积加上两个正方形的面积，即可得出结果；
（3）由整式加法法则求出2024-x与x-2023的和为1，然后根据完全平方公式的恒等变形可得，据此求解即可.
（1）解：∵，
∴要拼出一个面积为的长方形，则需要A号卡片3张，B号卡片2张，C号卡片7张；
故答案为：3，2，7；
（2）由图可知：大正方形的面积等于两个长方形的面积加上两个正方形的面积，即：；
故答案为：；
（3）∵，，
∴，
∵
；
∴．
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