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整式的乘除（B卷·综合能力提升卷）
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．（2024七下·盐田期末）如图，边长为，的长方形，它的周长为14，面积为10，则的值为（　　）
A．29 B．176 C．186 D．39
2．（2024七下·余江期中） 下列运算中，正确的是（　　）
A． B．
C． D．
3．（2024七下·义乌期中） 已知关于x的多项式与的乘积展开式中不含x的二次项，且一次项系数为，则的值为（　　）
A．3 B． C． D．
4．（2024·七下婺城期中） 设a，b是实数，定义一种新运算：．下面有四个推断：
①，②，③，④.
其中推断正确的是（　　）
A．①②③④ B．①③④ C．①② D．①③
5．（2024七下·武侯月考）已知，，则（　　）
A．4 B．6 C．8 D．10
6．（2024七下·永兴月考）下列计算错误的是（　　）
A． B．
C． D．
7．（2024七下·金沙月考） 从前，古希腊一位庄园主把一块边长为a米（）的正方形土地租给租户张老汉，第二年，他对张老汉说：“我把这块地的一边增加10米，相邻的另一边减少10米，变成一个长方形的土地继续租给你，租金不变，你也没有吃亏，你看如何？”如果这样，你觉得张老汉的租地面积会（　　）
A．变小了 B．变大了 C．没有变化 D．无法确定
8．（2025七下·绍兴期末） 设，，，，其中，，给出以下结论：① 当时，；② 不论t为何值，。则下列判断正确的是（　　）
A．①， B．都对B.①，②都错
C．①对，②错 D．①错，②对
9．（2024七下·覃塘期中）设，，则的近似值为（　　）
A．13 B．25 C．50 D．101
10．（2023七下·镇海期中）如图，在我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中，介绍了(a+b)n展开式的系数规律，称为“杨辉三角”．如第5行的5个数是1，4，6，4，1，恰好对应着展开式中的各项系数．利用上述规律计算关于x的多项式 中 项的系数为（　　）
A．80 B．60 C．40 D．20
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．（2025七下·浙江期中）计算：　 　.
12．（2025八上·祁东期末）若3x＝2，3y＝4，则3x+y＝　 　．
13．（2024七下·永定期末）　 　.
14．（2024七下·吉安月考）若，则　 　．
15．（2025七下·竞赛）已知，，，则代数式的值为　 　．
16．（2023七下·顺义期中）有一个正方形的花园，如果它的边长增加，那么花园面积将增加，则原花园的面积为　 　 ．
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．（2025七下·温岭期中） 计算：
（1）（π-2）0+3-1+（-1）2025
（2）（3x2-xy）÷x
18．（2025七下·杭州期中）在等式的运算中规定：若且是正整数），则，利用上面结论解答下列问题：
（1）若，求的值；
（2）若，求的值.
19．（2025七下·浦江月考）定义一种幂的新运算：xa xb=xab+xa+b，请利用这种运算规则解决下列问题.
（1）求22 23的值；
（2）2P=3，2q=5，3q=6，求2P 2q的值；
（3）若运算9 32t的结果为810，则t的值是多少
20．（2024七下·潍城期中）我们知道，一般的数学公式，法则、定义可以正向运用，也可以逆向运用．例如，“同底数幂的乘法”“幂的乘方”“积的乘方”这几个法则的逆向运用表现为：；
；；其中m，n为正整数．结合以上材料解决下列问题．
（1）已知，请把a，b，c用“”连接起来；
（2）若，求的值；
（3）化简：．
21．（2024七下·罗湖期中）如图1所示，长方形的长为、宽为，沿图中虚线用剪刀剪开，平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个“回形”正方形（如图2所示）．
（1）观察图2，请你直接写出，，之间的等量关系：_________；
（2）根据（1）中的结论，若，，求的值；
（3）拓展应用：若，求的值．
22．（2024七下·金牛期末）通过计算几何图形的面积可以验证一些代数恒等式．
（1）如图①是一个大正方形被分割成了边长分别为和的两个正方形及长宽分别为和的两个长方形，利用这个图形的面积可以验证公式 ；
（2）若，，求的值；
（3）如图②，在线段上取一点，分别以、为边作正方形、，连接、、．若阴影部分的面积和为，的面积为．求的长度．
23．（2024七下·鄞州期末）给出如下 个平方数∶ ，规定∶ 可以在其中的每个数前任意添上“”号或“”号， 所得的代数和记为 ．
（1）当 时，试设计一种可行方案，使得：且最小．
（2）当 时，试设计一种可行方案，使得：且最小．
24．观察下列各式：
(x-1)(x+1)=x2-1；
(x-1)(x2+x+1)=x3-1；
(x-1)(x3+x2+x+1)=x4-1；
……
（1）根据规律可得(x- 1)(xn-1+……+x+1)=　 　 (其中n为正整数)．
（2）计算：(3-1)(350 +349+348+……+32+3+1)．
（3）计算：(-2)1999+(-2)1998+(-2)1997 +……+(-2)3+(-2)2+(-2)+1．
25．（2025七下·南海月考）观察：
；
；
……
探究：
（1）通过观察发现，材料中的计算过程逆用了平方差公式，即：________；
（2）请用上述方法，求的值；
应用：
（3）如图，100个圆由小到大套在一起，从外向里相间画阴影，最外面一层画阴影，最外面的圆的半径为，向里依次为，， ，，那么在这个图形中，所有阴影的面积和是多少？（结果保留）
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整式的乘除（B卷·综合能力提升卷）
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．（2024七下·盐田期末）如图，边长为，的长方形，它的周长为14，面积为10，则的值为（　　）
A．29 B．176 C．186 D．39
【答案】A
【解析】【解答】解：根据题意得：，，
则．
故答案为：A．
【分析】先求出，，再利用完全平方公式的变形分析求解即可.
2．（2024七下·余江期中） 下列运算中，正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：A、，故不符合题意；
B、， 故不符合题意；
C、 ，故符合题意；
D、， 故不符合题意；
故答案为：C.
【分析】根据积的乘方，完全平方公式，平方差公式，同底数幂的除法分别计算，再判断即可.
3．（2024七下·义乌期中） 已知关于x的多项式与的乘积展开式中不含x的二次项，且一次项系数为，则的值为（　　）
A．3 B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：，
∵关于x的多项式与的乘积展开式中不含x的二次项，且一次项系数为，
∴，
解得，
∴，
故答案为：A
【分析】先根据题意将与相乘，进而根据整式的混合运算进行化简，再结合题意即可得到，解二元一次方程组，进而即可求解。
4．（2024·七下婺城期中） 设a，b是实数，定义一种新运算：．下面有四个推断：
①，②，③，④.
其中推断正确的是（　　）
A．①②③④ B．①③④ C．①② D．①③
【答案】D
【解析】【解答】解：① a*b=(a-b)2=(b-a)2=b*a，故①符合题意；
②(a*b)2=(a2-2ab+b2)2≠(a2-b2)2，故②不符合题意；
③a*(b-c)=(a-b+c)2，(b-c)*a=(b-c-a)2=(a-b+c)2，故③符合题意；
④a*(b+c)=(a-b-c)2=(a-b)2-2(a-b)c+c2=a2+b2+c2-2ab-2ac-2bc，
a*b+a*c=(a-b)2+(a-c)2=2a2+b2+c2-2ab-2ac，
故④不符合题意.
故答案为：D.
【分析】根据新运算计算，根据完全平方差公式计算各式，即可求得.
5．（2024七下·武侯月考）已知，，则（　　）
A．4 B．6 C．8 D．10
【答案】C
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
故选：C．
【分析】本题考查完全平方公式.根据完全平方公式变形可得：，代入数据可求出答案．
6．（2024七下·永兴月考）下列计算错误的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：A、，正确；
B、，正确；
C、，正确；
D、，错误.
故答案为：D.
【分析】根据多项式乘多项式的法则：把一个多项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加，计算个选项即可得到答案.
7．（2024七下·金沙月考） 从前，古希腊一位庄园主把一块边长为a米（）的正方形土地租给租户张老汉，第二年，他对张老汉说：“我把这块地的一边增加10米，相邻的另一边减少10米，变成一个长方形的土地继续租给你，租金不变，你也没有吃亏，你看如何？”如果这样，你觉得张老汉的租地面积会（　　）
A．变小了 B．变大了 C．没有变化 D．无法确定
【答案】A
【解析】【解答】解：矩形的面积为（a+10）（a-10）=a2-100，
∴矩形的面积比正方形的面积a2小了100平方米，
故答案为：A
【分析】根据题意结合平方差公式即可求解。
8．（2025七下·绍兴期末） 设，，，，其中，，给出以下结论：① 当时，；② 不论t为何值，。则下列判断正确的是（　　）
A．①， B．都对B.①，②都错
C．①对，②错 D．①错，②对
【答案】C
【解析】【解答】解：∵，，
∴
∴
∴
∴
故①正确。
当t=-2022时，a=1，b=-1，m=0，此时无意义，故②错误。
故答案为：C .
【分析】题目中a和b的差为定值2，可设a=b+2，将问题转化为关于b的方程，通过平方差公式、完全平方公式等将复杂表达式转化为已知量的组合；对于结论②，需证明等式对任意t成立，可通过代数恒等变形或代入a-b=2进行验证。
9．（2024七下·覃塘期中）设，，则的近似值为（　　）
A．13 B．25 C．50 D．101
【答案】B
【解析】【解答】解：∵，，
∴
，
故答案为：B．
【分析】根据题意列出代数式，再利用同分母的项行进行错位相减然后用平方差公式然后求解即可．
10．（2023七下·镇海期中）如图，在我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中，介绍了(a+b)n展开式的系数规律，称为“杨辉三角”．如第5行的5个数是1，4，6，4，1，恰好对应着展开式中的各项系数．利用上述规律计算关于x的多项式 中 项的系数为（　　）
A．80 B．60 C．40 D．20
【答案】C
【解析】【解答】解：由已知规律得：（x2+1）5=x10+5x8+10x6+10x4+5x2+1，
∴ = （x10+5x8+10x6+10x4+5x2+1）=3x12+15x10+30x8+
30x6+15x4+3x2+2x11+10x9+20x7+20x5+10x3+2x+x10+5x8+10x6+10x4+5x2+1，
∴30x6+10x6=40x6+，
∴项的系数为40.
故答案为：C.
【分析】由已知规律得（x2+1）5=x10+5x8+10x6+10x4+5x2+1，再利用多项式乘多项式法则将原式= （x10+5x8+10x6+10x4+5x2+1）进行展开，再将 项的系数相加即可.
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．（2025七下·浙江期中）计算：　 　.
【答案】
【解析】【解答】解：，
故答案为：.
【分析】根据积的乘方法则即可求解.
12．（2025八上·祁东期末）若3x＝2，3y＝4，则3x+y＝　 　．
【答案】8
【解析】【解答】解：∵3x＝2，3y＝4，
∴3x+y＝3x 3y＝2×4＝8．
故答案为：8．
【分析】利用同底数幂的乘法计算即可。
13．（2024七下·永定期末）　 　.
【答案】
【解析】【解答】解：原式=
=
=
=
故答案为：
【分析】逆向运用积的乘方运算法则计算即可.
14．（2024七下·吉安月考）若，则　 　．
【答案】0或-2或2
【解析】【解答】解：由，
可得x+2=0，
解得x=-2；
x+1=1-2x，
解得x=0；
x+1+1-2x=0且x+2为偶数
解得x=2，符合题意；
故答案为：0或-2或2.
【分析】根据得到关于x的方程x+2=0或x+1=1-2x或x+1+1-2x=0且x+2为偶数，解方程即可求解.
15．（2025七下·竞赛）已知，，，则代数式的值为　 　．
【答案】3
【解析】【解答】解：，，，
，，，
，，，
原式
．
故答案为：3．
【分析】通过观察可发现a，b，c都有，只需要将其两两作差就可以得到a，b，c之间的关系式，再将原式进行变形，构造出完全平方式，再代入求解即可.
16．（2023七下·顺义期中）有一个正方形的花园，如果它的边长增加，那么花园面积将增加，则原花园的面积为　 　 ．
【答案】
【解析】【解答】解：设原正方形的边长是x米，则增加后的边长是（x+2）米
由题意得
解得x=3
则原花园的面积为.
故填：9
【分析】设原正方形的边长是 x米，根据正方形的面积公式即可求出。
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．（2025七下·温岭期中） 计算：
（1）（π-2）0+3-1+（-1）2025
（2）（3x2-xy）÷x
【答案】（1）解：
（2）解：(3x2-xy) ÷x
= 3x-y
【解析】【分析】（1）根据零指数次幂和负指数幂的法则以及（-1）的整数指数幂的特点可以推出（π-2）0=1，3-1=，（-1）2025=-1.再进一步计算出结果即可.
（2）根据多项式除以单项式的法则，用 3x2和xy 分别除以x再把所得的商相加即可.
18．（2025七下·杭州期中）在等式的运算中规定：若且是正整数），则，利用上面结论解答下列问题：
（1）若，求的值；
（2）若，求的值.
【答案】（1）解：(1)∵9x=(32)x=32x=310，
∴2x=10，
解得x=5.
（2）解：∵3x+2-3x+1=162，
∴3x×32-3x×3=162，
∴3x×(9-3)=162，
∴3x=27，
∴x=3.
【解析】【分析】(1)根据幂的乘方运算法则解答即可；
(2)根据同底数幂的乘法法则解答即可.
19．（2025七下·浦江月考）定义一种幂的新运算：xa xb=xab+xa+b，请利用这种运算规则解决下列问题.
（1）求22 23的值；
（2）2P=3，2q=5，3q=6，求2P 2q的值；
（3）若运算9 32t的结果为810，则t的值是多少
【答案】（1）解：
答： 22 23的值为96；
（2）解：
答： 2P 2q的值为21；
（3）解：
答： t的值是2.
【解析】【分析】（1）直接利用公式计算即可；
（2）先利用已知条件分别求出和的值，再利用公式计算即可；
（3）先利用幂的乘方的逆运算把表示成，再利用公式可计算出等于81即可.
20．（2024七下·潍城期中）我们知道，一般的数学公式，法则、定义可以正向运用，也可以逆向运用．例如，“同底数幂的乘法”“幂的乘方”“积的乘方”这几个法则的逆向运用表现为：；
；；其中m，n为正整数．结合以上材料解决下列问题．
（1）已知，请把a，b，c用“”连接起来；
（2）若，求的值；
（3）化简：．
【答案】（1）解：∵
∴

（2）解：，∵，
∴原式；
（3）解：
．
【解析】【分析】（1）根据题意，利用逆用幂的乘方公式，将幂变为指数相同的幂，然后比较大小，即可得到答案；
（2）根据题意，利用逆用同底数幂和幂的乘方运算法则，化简得到进，将， 代入代数式，进行计算，即可求解；
（3）根据题意，利用逆用积的乘方运算法则，先计算乘方，结合乘法的结合律，进行计算，即可求解．
（1）解：∵
∴
（2）解：，
∵，
∴原式；
（3）解：
．
21．（2024七下·罗湖期中）如图1所示，长方形的长为、宽为，沿图中虚线用剪刀剪开，平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个“回形”正方形（如图2所示）．
（1）观察图2，请你直接写出，，之间的等量关系：_________；
（2）根据（1）中的结论，若，，求的值；
（3）拓展应用：若，求的值．
【答案】（1）
（2）解：∵，，
∴．
（3）解：∵，
，
∴，
解得：，
∴．
【解析】（1）解：由图2可知，大正方形的边长为，内部小正方形的边长为，小长方形的长为b，宽为a，
∴大正方形的面积为，小正方形的面积为，小长方形的面积为，
由题可知，大正方形面积等于小正方形与4个小长方形的面积之和，
即．
故答案为：．
【分析】（1）根据图2可知，大正方形面积等于内部小正方形与4个小长方形的面积之和，分别用含a和b的代数式表示即可求出答案.
（2）由（1）可得出，再整体代入即可求出答案.
（3）由，再整体代入即可求出答案.
（1）解：由图2可知，大正方形的边长为，内部小正方形的边长为，小长方形的长为b，宽为a，
∴大正方形的面积为，小正方形的面积为，小长方形的面积为，
由题可知，大正方形面积等于小正方形与4个小长方形的面积之和，
即．
故答案为：．
（2）∵，，
∴．
（3）∵，
，
∴，
解得：，
∴．
22．（2024七下·金牛期末）通过计算几何图形的面积可以验证一些代数恒等式．
（1）如图①是一个大正方形被分割成了边长分别为和的两个正方形及长宽分别为和的两个长方形，利用这个图形的面积可以验证公式 ；
（2）若，，求的值；
（3）如图②，在线段上取一点，分别以、为边作正方形、，连接、、．若阴影部分的面积和为，的面积为．求的长度．
【答案】（1）
（2）解：，，
；
（3）解：设正方形ABCD的边长为正方形DGFE的边长为
由题意可得，，
即，
，
，
，，
，
即．
【解析】【解答】（1）解：图①从“整体上”看是边长为的正方形，因此面积为，拼成图①的四个部分的面积和为，
所以有，
故答案为：；
【分析】（1）从“整体”与“部分”两种情况，分别根据正方形及长方形面积计算公式用代数式表示图①的面积，再根据用两个不同的式子表示同一个图形的面积，则这两个式子相等，即可得出结论；
（2）由（1）的结论可得x2+y2=(x+y)2-2xy，然后整体代入计算即可；
（3）设正方形ABCD的边长为m，正方形DGFE的边长为n，根据三角形的面积计算公式可得mn=6，m2+n2=24，根据（1）的结论可得(m+n)2=m2+n2+2mn，从而整体代入计算后再求算术平方根即可得出答案.
23．（2024七下·鄞州期末）给出如下 个平方数∶ ，规定∶ 可以在其中的每个数前任意添上“”号或“”号， 所得的代数和记为 ．
（1）当 时，试设计一种可行方案，使得：且最小．
（2）当 时，试设计一种可行方案，使得：且最小．
【答案】（1）解：∵，，
∴8个连续正整数的平方数总可以使得它们的代数和为0，
∴当时，或当时，最小，且最小值为0；
（2）解：当时，
①由题意知，给定的个数中有个奇数，
∴不管如何添置“”号和“”号， 其代数和总为奇数，
∴所求的最终代数和大于等于1，
∴设计最终代数和等于1的可行方案；
②∵，，
∴对于8个连续正整数的平方数总可以使得它们的代数和为0；
③∵，
对 ，根据②中每连续8个一组适当添加“”号和“”号，使每组的代数和为0，
然后对进行设计，但无论如何设计，均无法使它们的代数和为1；
④在对进行设计的过程中，，
又由②知4个连续正整数的平方数总可以使得它们的代数和为4，
∴个连续正整数的平方数总可以使得它们的代数和为；
综上，可行方案为：首先对，根据②每连续8个一组适当添加“”号和“”号，使每组的代数和为0；
其次对，根据④适当添加“”号和“”号，使每组的代数和为；
最后对作的设计，便可以使得给定的个数的代数和为1，即最小．
【解析】【分析】（1）应该尽量构成互为相反数的两组数，可使2，3，5 ，8项的符号与其他项的符号相反即可；
（2）①由于给定的2045个数中有1023个奇数，因而无论如何设计实施什么方案，即不管如何添置“+”和“-”号，其代数和总为奇数，故所求的最终代数和大于等于1；于是我们寻求最终代数和等于1的可行方案； ②由（1）可知对于8个连续正整数的平方数总可以使得它们的代数和为0；③由2045=8×255+5，对62，72，……，20452，根据②中每连续8个一组适当添加“+”号和“-”号，使每组的代数和为0，然后对12，22，……，52进行设计，但无论如何设计，均无法使它们的代数和为1；④在对12，22，……，52进行设计的过程中，-12+22-32+42-52=-15，又由②知4个连续正整数的平方数总可以使得它们的代数和为4，则16个连续正整数的平方数总可以使得它们的代数和为；进而可得可行方案为：首先对222，232，……，20452，根据②每连续8个一组适当添加“+”号和“-”号，使每组的代数和为0；其次对62，72，……，212根据④适当添加“+”号和“-”号，使每组的代数和为；最后对12，22，……，52，作-12+22-32+42-52=-15的设计，便可以使得给定的2045个数的代数和为1，即|L|最小．
（1）解：∵，，
∴8个连续正整数的平方数总可以使得它们的代数和为0，
∴当时，或当时，最小，且最小值为0；
（2）解：当时，
①由题意知，给定的个数中有个奇数，
∴不管如何添置“”号和“”号， 其代数和总为奇数，
∴所求的最终代数和大于等于1．
∴设计最终代数和等于1的可行方案．
②，
∴对于8个连续正整数的平方数总可以使得它们的代数和为0；
③∵，
对 ，根据②中每连续8个一组适当添加“”号和“”号，使每组的代数和为0，
然后对进行设计，但无论如何设计，均无法使它们的代数和为1．
④在对进行设计的过程中，，
又由②知4个连续正整数的平方数总可以使得它们的代数和为4，
∴个连续正整数的平方数总可以使得它们的代数和为．
综上，可行方案为：首先对，根据②每连续8个一组适当添加“”号和“”号，使每组的代数和为0；其次对，根据④适当添加“”号和“”号，使每组的代数和为；最后对作的设计，便可以使得给定的个数的代数和为1，即最小．
24．观察下列各式：
(x-1)(x+1)=x2-1；
(x-1)(x2+x+1)=x3-1；
(x-1)(x3+x2+x+1)=x4-1；
……
（1）根据规律可得(x- 1)(xn-1+……+x+1)=　 　 (其中n为正整数)．
（2）计算：(3-1)(350 +349+348+……+32+3+1)．
（3）计算：(-2)1999+(-2)1998+(-2)1997 +……+(-2)3+(-2)2+(-2)+1．
【答案】（1）xn-1
（2）解：.
（3）解：(-2-1)[(-2)1999+(-2)1998+(-2)1997+……+(-2)3+(-2)2+(-2)+1]
=（-2）2000-1；
故
.
【解析】【解答】解：（1）(x-1)(xn-1+……+x+1)=xn-1
故答案为：xn-1.
【分析】（1）根据等式，找出规律即可求解；
（2）根据等式的规律，计算即可求解；
（3）配成上述结构式子，利用总结的规律即可求解.
25．（2025七下·南海月考）观察：
；
；
……
探究：
（1）通过观察发现，材料中的计算过程逆用了平方差公式，即：________；
（2）请用上述方法，求的值；
应用：
（3）如图，100个圆由小到大套在一起，从外向里相间画阴影，最外面一层画阴影，最外面的圆的半径为，向里依次为，， ，，那么在这个图形中，所有阴影的面积和是多少？（结果保留）
【答案】（1）
（2）解：∵，，
∴；
（3）解：
，
答：所有阴影的面积和为．
【解析】【解答】解：（1）解：∵；
，
∴，
故答案为：；
【分析】（1）根据题设中式子的计算规律，得到 计算过程逆用了平方差公式 ，即可求解；
（2）根据材料中式子的计算规律，进行化简、计算求值，即可得到答案；
（3）根据题意，利用圆的面积公式，以及题设中式子的计算规律，进行计算求值，即可得到答案．
（1）解：∵；
，
∴，
故答案为：；
（2）解：∵，
，
∴；
（3）解：
，
答：所有阴影的面积和为．
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