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河南平顶山市汝州市2025~2026学年上学期期末质量检测九年级数学
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.的值等于（ ）
A. B. 3 C. D.
2.用配方法解方程x2-6x+2=0变形正确的是（　　）
A. （x+3）2=7 B. （x-3）2=7 C. （x-3）2=9 D. （x-3）2=-2
3.如图，五边形，是以坐标原点O为位似中心的位似图形，已知点A，的坐标分别为，．若的长为3，则的长为（ ）
A. B. 4 C. D. 5
4.关于抛物线y＝﹣x2+6x﹣7，下列说法正确的是（　　）
A. 开口向上 B. 对称轴是直线x＝﹣3
C. 与y轴的交点坐标是（0，7） D. 顶点坐标是（3，2）
5.如图1所示，平整的地面上有一个不规则的图案（图中阴影部分），小雅想了解该图案的面积是多少，她采取了以下的办法：用一个长为5m,宽为4m的长方形，将不规则图案围起来，然后在适当位置随机地向长方形区域扔小球，并记录小球在不规则图案上的次数（球扔在界线上或长方形区域外不计入试验结果），她将若干次有效试验的结果绘制成了如图2所示的折线统计图，由此她估计此不规则图案的面积大约为（　　）
A. 2m2 B. 5m2 C. 6m2 D. 7m2
6.小琦在复习几种特殊四边形的关系时整理如图,(1)(2)(3)(4)处需要添加条件,则下列条件添加错误的是( )
A. (1)处可填A= B. (2)处可填AD=AB
C. (3)处可填DC=CB D. (4)处可填B=D
7.下表是小亮填写的实践活动报告的部分内容：
题目 测量旗杆的高度
测量目标示意图
相关数据 米，，
设旗杆的高度米，根据以上条件，所列方程正确的是（ ）
A. B. C. D.
8.某商场将进货单价为40元的商品按50元售出时，能卖500个．经过市场调查发现，若每个商品的单价每提高1元，其销售量就会减少10个，商场为了保证获得8000元的利润，则每个商品的售价应定为多少元？小明根据题意列出的方程为（500﹣10x）（10+x）＝8000．下面对该方程的理解错误的是（　　）
A. 未知数x的意义是每件商品的售价提高了x元
B. 未知数x的意义是每件商品的售价为x元
C. 式子（500﹣10x）的意义是销售的数量
D. 式子（10+x）的意义是每件商品的利润
9.如图，一次函数与反比例函数的图象交于点，过点P作轴于点A，连接，下列结论错误的是（ ）
A. 的面积是3
B.
C. 当时，
D. 点在上，当时，
10.二次函数的图象如图所示，对称轴是直线，则过点和点的直线一定不经过（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.随着科技的飞速发展，人工智能应运而生，小赵和小亮分别从“”，“豆包”，“”，“腾讯元宝”中随机选择一个软件验证数学问题，则两人选择软件相同的概率为 ．
12.如图，小张、婷婷之间的距离为，他们在同一盏路灯下的影长分别为，，已知小张、婷婷的身高分别为，，则路灯的高为 ．
13.抛物线经过，，三点，则，，的大小关系是 ．
14.如图，在平面直角坐标系中，双曲线阶梯的所有线段均与轴平行或垂直，且满足，点，，，均在双曲线的一支上．若点的坐标为，则第三级阶梯的高 ．
15.某数学学习小组在综合实践《猜想、证明、拓广》中探究了矩形的“减半”问题，课后对其他问题进行探究，发现当已知矩形的相邻两边分别为2和1，3和1，4和1，5和1，6和1，7和1，8和1，9和1时，都不存在这样的矩形，它的周长和面积分别为已知矩形的周长和面积的；当已知矩形的相邻两边分别为10和1时，他们发现存在一个矩形使它的周长和面积分别为已知矩形的周长和面积的，请你帮助他们写出这个矩形较短边的长为 ．
三、解答题：本题共8小题，共55分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题7分)
已知，是关于的方程的两个不相等的实数根．
(1) 求的取值范围；
(2) 若，且，，都是整数，求的值．
17.(本小题7分)
如图所示是一个直四棱柱及其主视图和俯视图（等腰梯形）．
(1) 根据图中所给数据，可得俯视图（等腰梯形）的高为 ；
(2) 在虚线框内画出其左视图，并标出各边的长；
(3) 求这个几何体的侧面积．
18.(本小题7分)
如图，四边形是菱形，对角线，相交于点O，E是边的中点，过点E作于点F，于点G．
(1) 求证：四边形是矩形；
(2) 若，，则的长为 ．
19.(本小题7分)
某型号起重机吊起一货物M在空中保持静止状态时，货物M与点O的连线恰好平行于地面，米，．（参考数据：，，，，，，结果精确到1米）
(1) 的长为 ；
(2) 直吊臂与的长度保持不变，绕点O逆时针旋转，当时，货物M上升了多少米？
20.(本小题6分)
如图，已知直线，它与反比例函数相交于点．
(1) 求反比例函数的解析式．
(2) 请先描出这个反比例函数图象上不同于点A的三个格点（网格线的交点），再画出反比例函数的图象．
(3) 过点A作轴于点H，点P是反比例函数上一动点，当的面积为3时，请直接写出点P的坐标．
21.(本小题7分)
如图，已知锐角中，边为12，高长为8，矩形的边在边上，其余两个顶点E，F分别在，边上，交于点K．
(1) 求的的值；
(2) 设，矩形的面积为S，求S与x的函数关系式，并求S的最大值．
22.(本小题7分)
16世纪中叶，我国发明了一种新式火箭“灭龙出水”，它是二级火箭的始祖．火箭第一级运行路径形如抛物线，当火箭运行一定水平距离时，自动引发火箭第二级，火箭第二级沿直线运行．某科技小组运用信息技术模拟火箭运行过程．如图，以发射点为原点，地平线为x轴，垂直于地面的直线为y轴，建立平面直角坐标系，分别得到抛物线和直线．其中，当火箭运行的水平距离为时，自动引发火箭的第二级．
(1) 若火箭第二级的引发点的高度为，
①______，______；
②火箭在运行过程中，有两个位置火箭的高度为，求这两个位置之间的距离．
(2) 直接写出a满足什么条件时，火箭落地点与发射点的水平距离超过．
23.(本小题7分)
综合与实践
【问题发现】在学习了“特殊平行四边形”后，数学兴趣小组的同学发现了这样一个问题：如图1，已知正方形，E为对角线上一动点，过点C作垂直于的射线，点F在射线上，且，连接．
通过观察图形，数学兴趣小组的同学进行了如下猜想：
猜想①：；
猜想②：；
猜想③：点E在上运动的过程中，四边形的面积不变．
(1) 上述猜想中正确的有 （填序号）．
(2) 【类比探究】
兴趣小组的同学在探究了正方形中的结论后，将正方形换成矩形继续探究．
如图2，已知矩形，，，E为对角线上一动点，过点C作垂直于的射线，点F在射线上，且，连接．
①请判断线段与的数量关系，并说明理由；
②点E在上运动时，四边形的面积______（填“不变”或“改变”）．
(3) 【拓展应用】在（2）的条件下，点E在对角线上运动，当四边形为轴对称图形时，请直接写出线段的长．
1.【答案】D
2.【答案】B
3.【答案】C
4.【答案】D
5.【答案】C
6.【答案】D
7.【答案】A
8.【答案】B
9.【答案】D
10.【答案】C
11.【答案】
12.【答案】3.5
13.【答案】
14.【答案】3
15.【答案】
16.【答案】【小题1】
解：方程有两个不相等的实数根，
，
即
解得，；
【小题2】
解：，
，
为整数，
整数的值为2、3，
当时，方程为，
解得，，
当时，此时方程解不为整数，
综上所述，的值为2．

17.【答案】【小题1】
4
【小题2】
解：左视图如下图所示：
从左面看，左视图是矩形,宽等于（1）中梯形的高，高等于主视图中棱柱的高；
【小题3】
解：，
这个几何体的侧面积是．

18.【答案】【小题1】
证明：四边形是菱形，对角线，相交于点O，
，即，
，，
，，
，
四边形是矩形；
【小题2】
5

19.【答案】【小题1】
10米
【小题2】
解：如图，延长交水平线于点N，则，
由题意得米，米，
在中，，
（米），
（米），
货物M上升了5米.

20.【答案】【小题1】
解：将点代入直线得：，即点的坐标为，
将点代入反比例函数得：，即，
则反比例函数的解析式为；
【小题2】
根据反比例函数的解析式，如图所示，选择点、、，先描出这三个点，再画出反比例函数的图象为：
【小题3】
如图所示，过点A作轴于点H，设点到的距离为，
点坐标为，
，
，
，即点到的距离为，
点的横坐标为，
点的横坐标为或，
分别代入反比例函数可得：或，
点P的坐标为或．

21.【答案】【小题1】
在矩形中，有，
∴，
∴，即与是一对对应边，
∵是的边上的高，是的边上的高，，，
∴，
∴，
即值为：；
【小题2】
∵，，
∴，
即四边形是矩形，
∴．
由第一问可知，，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴当时，有最大值，最大值为24．

22.【答案】【小题1】
解：①∵火箭第二级的引发点的高度为
∴抛物线和直线均经过点
∴，
解得，．
故答案为：，．
②当时，
解得（不符合题意，舍去），，
∴，
又∵时，
∴当时，
则
解得
∴这两个位置之间的距离．
【小题2】
解：当水平距离超过时，
火箭第二级的引发点为，
将，代入，得
，
解得，
∴．

23.【答案】【小题1】
①②③
【小题2】
，理由如下：
四边形是矩形，
，，
，
，
，
，
．
，
，
，
，
，
，
．
②改变．
由①可知，且相似比为2，
，
，
点在上运动时，四边形的面积改变，
故答案为：改变．
【小题3】
分以下两种情况讨论：
①当四边形关于所在直线对称时，如图，此时交于点，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
．
②当四边形为矩形时，如图所示，
，，，
，
，
，，
，
，
，
综上所述，线段的长为或．

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