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17.1 一元二次方程
第十七章 一元二次方程
01
理解一元二次方程的概念.（难点）
02
根据一元二次方程的一般形式，确定各项系数.
03
理解并灵活运用一元二次方程概念解决有关问题.(重点）
分别指出下面的方程叫做什么方程？
⑴3x+4=1； ⑵ 6x-5y=7； ⑶
解：⑴是一元一次方程，
⑵是二元一次方程，
⑶是分式方程.
问题1 某蔬菜生产基地去年全年无公害蔬菜产量为100t,计划明年无公害蔬菜的产量比去年翻一番(即为 200t)、要实现这一目标,今年和明年无公害蔬菜产量的年平均增长率应是多少 (精确到1%)
设这个队今年和明年无公害蔬菜产量的年平均增长率是x，那么：今年无公害蔬菜产量为100+100x=100(1+x)(t)；明年无公害蔬菜产量为100(1+x)+100(1+x)·x= 100(1+x)2(t)，如图.
根据题意，得
100(1+x)2 =200
化简，得 (1+x)2 =2
整理，得 x2 +2x-1 =0
问题2 如图，在一块宽20m、长32m的矩形空地上，修筑宽三条等宽的三条小路（两条纵向，一条横向，纵向与横向垂直），把这块空地分成6块，建成小花坛.要使花坛的总面积为570m2，小路的宽应是多少？
32
20
x
设小路的宽是x m，则横向小路面积是32x m2，纵向小路的面积是2×20x m2,两者重叠的面积是2x2m2.由于花坛的总面积是570m2.则
整理，得
32×20－(32x＋2×20x)＋2x2=570
x2-36x＋35=0
像x2 +2x-1 =0，x2-36x＋35=0这样的方程，都不是一元一次方程.那么这两个方程与一元一次方程的区别在哪里？它们有什么共同特点呢？
特点:
①都是整式方程;
②只含一个未知数;
③未知数的最高次数是2.
像x2 +2x-1 =0，x2-36x＋35=0这样的方程，都是只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，叫做一元二次方程.
任何一个关于x的一元二次方程，经过整理都可以化为　
ax2+bx +c = 0(a≠0)
的一般形式（又叫做标准形式）． 其中ax2叫做二次项， a是二次项的系数； bx叫做一次项， b是一次项的系数； c叫做常数项.a，b，c是任意实数，且a≠0 ．
一元二次方程的概念
一元二次方程的一般形式
为什么一般形式中ax2+bx+c=0要限制a≠0，b、c 可以为零吗？
当 a = 0 时,
bx＋c = 0
当 a ≠ 0 ， b = 0时 ，
ax2＋c = 0
当 a ≠ 0 ， c = 0时 ，
ax2＋bx = 0
当 a ≠ 0 ，b = c =0时 ，
ax2 = 0
总结：只要满足a ≠ 0 ，b ， c 可以为任意实数.
下列选项中，关于x的一元二次方程的是（ ）
C
不是整式方程
含两个未知数
化简整理成
x2-3x+2=0
少了限制条件
a≠0
提示
判断一个方程是不是一元二次方程，首先看是不是整式方程；如是再进一步化简整理后再作判断.
例 已知方程3x(x-1)=2(x+2)+4.
（1）把该方程化为一般形式，并写出它们的二次项系数、一次项系数及常数项.
（2）判断-1是否为该方程的根.
（1）解：
去括号，得
3x2-3x=2x+4+4.
移项、合并同类项，得方程的一般形式
3x2-5x-8=0.
它的二次项系数是3；一次项系数是-5；常数项是-8.
例 已知方程3x(x-1)=2(x+2)+4.
（2）判断-1是否为该方程的根.
(2)把x=-1代入原方程的左右两边,得
左边=3x(-1)x(-1-1)=6.
右边=2x(-1+2)+4=6.
因为左边 =右边，
所以-1是该方程的根.
1. 判断下列方程中，哪些是关于x的一元二次方程？
解：方程（1）中∵ 不是整式，∴ 它不是一元二次方程；
方程（2）化简整理后是7x-3=0，是一元一次方程，不是一元二次方程；
方程（3）中，未知数的最高次数为3，∴ 它不是一元 二次方程；
解：方程（4）中含两个未知数，即含有两个元，
∴ 它不是一元二次方程；
方程（5）中，当m≠-1 时，它是关于x的一元二次方程，
当m＝-1时，它不是关于x的一元二次方程；
（6）是关于x的一元二次方程.
2. 将下列一元二次方程化成一般形式，并指出它们的二次项系数、一次项系数及常数项：
解：（1）.二次项系数是5，一次项系数是-6，常数项是8.
（2）.二次项系数是-2，一次项系数是0，常数项是.
（3）.二次项系数是1，一次项系数是-1，常数项是0.
（4） +（ ）x- .二次项系数是1，一次项系数是
，常数项是- .
3. 将48张桌子排成若干行，且每行的桌子数目相同，已知每一行的桌子数比总行数多2，设这些桌子排了x行，写出排成的行数所满足的方程，并将其化为标准形式．
解：根据题意列方程得 x(x+2)=48.
标准形式为 .
4. 下面哪些数是方程的根？
-3，-2，-1，0，1，2，3.
解：-2和1是方程的根.
一元二次方程
概念
是整式方程；
含一个未知数；
最高次数是2.
一般形式
ax2+bx+c=0 (a ≠0)
其中(a≠0)是一元二次方程的必要条件；
根
使方程左右两边相等的未知数的值.

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