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17.2 一元二次方程的解法
17.2.1 配方法
第十七章 一元二次方程
01
理解配方法，会利用配方法熟练地解二次项系数为1的一元二次方程.
02
会利用配方法灵活地解决二次项系数不为1的一元二次方程.
1.如果 x2=a,则x叫做a的 .
平方根
2.如果 x2=a(a ≥0),则x= .
3.如果 x2=64 ,则x= .
±8
4.任何数都可以作为被开方数吗？
负数不可以作为被开方数.
我们已解过一些特殊的一元二次方程,比如求x2=9中x的值.它的解法就是开平方,即x=±3.所以方程x2=9的两个根为x1=3,x2=-3.像这样求一元二次方程x2=9根的方法,叫作直接开平方法.
例1 用直接开平方法解下列方程.
(1) 3x2=12
(2) (x+3)2=5
解:两边同除以3,得x2=4.
开平方,得x=±2.
所以原方程的根是x1=2, x2=-2.
解:开平方，得x+3=
x1= ，x2= .
思考
怎样解17.1节问题1中得到的方程 x2+2x-1=0
这个方程，显然不能通过直接开平方来解，能否把这个方程转化成直接开平方来解的形式？
下面，对这个方程进行变形：
把常数项移到等号右边，得
对等号左边配方，得
这时，对上式直接开平方，得
所以原方程的根是
x2+2x=1
x2+2x+1= 1+1
(x+1)2= 2
即
为什么在方程两边同时加上数“1”而不是其他数？
为了使左边配成 x2+2bx+b2的形式
（考虑到问题1的实际情况，这里只能取，即：年平均增长率应是41％ ）
像这种先对原一元二次方程配方，使它出现完全平方式后，再直接开平方求解的方法，叫做配方法.
“化归方法”是将待解的问题转化成先前已经解决的问题的一种数学思想方法，配方法就是将一元二次方程通过配方转化成可直接开平方解方程的方法.
一移常数项；二配方[配上 ]；
三写成（x+n)2=p (p ≥0); 四直接开平方法解方程.
配方法解方程的基本步骤
配方法解方程的基本思路
把方程化为（x+n)2=p的形式，将一元二次方程降次，转化为一元一次方程求解．
p＞0
P=0
P＜0
根的个数
两个不等的实数根：
两个相等的实数根：
p的范围
x1=x2= 0
无实数根
形如(x+n)2=p的方程的根的情况
一般地，如果一个一元二次方程通过配方转化成(x+n)2=p的形式，
那么就有：
例2 用配方法解下列方程：
(1) x2 – 4x–1=0
解：(1) 移项，得
x2 – 4x = 1
配方，得
(x–2)2=5
x2 – 2×2x +22=1+22
开平方，得
所以原方程的根是
用配方法解一元二次方程：
x2 ＋ x－ =0；
解： 移项，得x2+x= .
配方，得x2+x+()2= +()2.
即 (x+ 2=1.
∴ x1= ，x2=－ .
例2 用配方法解下列方程：
(2) 2x2 – 3x–1=0
解：先把x2的系数化为1，即把原方程两边同除以2，得
移项，得
配方，得
开平方，得
所以原方程的根是
用配方法解一元二次方程：
2x2－4x－1=0；
解：移项，得2x2－4x=1.
二次项系数化为1，得x2－2x= .
配方，得x2－2x+12= +12，即(x－1)2= .
∴ x1=1+ ，x2=1－ .
解法提醒
1. 用配方法解一元二次方程的实质就是对一元二次方程进行变形，将其转化为直接开平方所需要的形式，再利用平方根的意义把一个一元二次方程转化成两个一元一次方程来求解.
2. 方程两边同时加上一次项系数一半的平方的前提是二次项系数为1.
根据例2,请你归纳出用配方法解一元二次方程的步骤.其中,最关键的步骤是配方,如何配方
①把方程整理成ax2+bx+c=0的形式；
②方程两边同时除以二次项系数， 使方程系数为“1”，并把常数项移到方程右边；
③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；
④把左边配成一个完全平方式，右边化成一个常数；
⑤若右边是非负数，可利用直接开平方法求解;若右边是负数，则方程无实数解.
1. 填空：
(1) x2 –8x+( )2=(x–____)2
(2) y2 +5y+( )2=(y + ___)2
(3) x2 – x +( )2 =(x – ____)2
(4) x2 +px+( )2 =(x + ___)2
4
4
2. 用配方法解下列方程：
(1) x2 +x –1=0
(2) x2 –3x –2=0
解：
(1) x2 +x –1=0
x2 +x=1
x2 +x+ =1+
(x+ )2=
x + =
x1= - ，x2= -
(2) x2 –3x –2=0
x2 –3x =2
x2 –3x+ =2+
(x –)2=
x –=
x1= ，x2=
(3) 2x2+5x –1=0
(4) 3x2 – 6x +1=0
解：
(3) 2x2+5x –1=0
(x + )2=
x + =
x1=-，x2= -
x2+ x –=0
x2+ x+ = +
x2 + x=
(4) 3x2-6x +1=0
(x -1)2=
x -1=
x1=1，x2= 1
x2-2x +=0
x2-2x+ = -+
x2 -2x= -
2. 用配方法解下列方程：
配方法
定义
通过配成完全平方形式解一元二次方程的方法.
步骤
一移常数项；
二配方[配上 ]；
三写成（x+n)2=p (p ≥0);
四直接开平方法解方程.
特别提醒：
在使用配方法解方程之前先把方程化为x2+px+q=0的形式.
应用
求代数式的最值或证明
直接开平方法
利用平方根的定义求方程的根的方法

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