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17.2 一元二次方程的解法
17.2.3 因式分解法
第十七章 一元二次方程
01
了解因式分解法的概念；
02
会利用因式分解法解简单数字系数的一元二次方程.
一元二次方程的一般式是怎样的？
常用的求一元二次方程的解的方法有哪些？
(a≠0)
主要方法: (1)直接开平方法；(2)配方法；(3)公式法.
我们知道ab=0，那么a=0或b=0，类似的解方程(x+1)(x－1)=0时，可转化为两个一元一次方程x+1=0或x-1=0来解，你能求 (x+3)(x－5)=0的解吗？
x+3=0 或 x-5=0
解得x1 = -3，x2 = 5.
一个一元二次方程用公式法总可以求解． 对于一些特殊的一元二次方程，还可以有别的解法． 如解方程 x2 = 9 ，除了直接开平方求解外，还可以把它变形为 .
x2 – 9=0
将方程左边分解因式，得
（x – 3）（x + 3 ）= 0.
我们知道，
如果两个因式的积等于0，那么这两个因式中至少有一个等于0；
反过来，如果两个因式中有一个等于0，那么它们的积就等于0．
因此，有
x – 3 = 0 或 x + 3 = 0.
这种通过因式分解，将这个一元二次方程转化为两个一元一次方程来求解的方法叫做因式分解法.
这里用到了什么样的数学思想方法？
化归方法
1. 解下列方程，并与同学交流，检查解得的结果是否正确.
（1）x2 + 3x = 0； （2）x2 = x
解： (1) x（x + 3）= 0
x1 = 0，x2 = –3
(2) x（x – 1）= 0
x1 = 0，x2 = 1
2. 在解上面的方程（2）时，如果像下面这样做：
两边同时除以 x，得 x = 1.
故方程的根为 x = 1.
这样对吗？为什么？
不对，当 x 等于 0 时不能除以 x.
3. 总结前面内容你能否归纳出缺项的二次方程：ax2 + c = 0（a，c 异号），
ax2 + bx = 0（a ≠ 0）的解法.
ax2 + c = 0 （a，c 异号）
把左边分解因式
例5 解方程：x2 – 2x= 0.
解 提取公因式,得x(x-2)=0.
因此,有x=0或x-2=0.
所以原方程的根是x1=0，x2=2.
将方程左边分解为两个一次因式的乘积
x2 ＋(a ＋ b)x ＋ ab=(x ＋ a)(x ＋ b).
例6 解方程：（x + 4）（x – 1） = 6.
解 将原方化为标准形式，得
x2 + 3x – 10 = 0
把方程左边分解因式，得
（x + 5）（x – 2）= 0.
因此，有 x + 5 = 0 或 x – 2 = 0.
解方程，得 x1 = –5，x2 = 2.
整理方程，使其右边为0
例7 解方程x2=x.
方程的两边不能同时除以x，这样会使方程丢一根 .
解：移项、提取公因式，得
因此，有x=0或
所以原方程的根是
方程的两边同除以x,得x=1.故方程的根为x=1.这样做对吗？为什么？
补充例题 用因式分解法解下列方程.
(1)4(x － 3)2 －25(x－2)2=0； (2)x2－(+)x+=0.
解：（1）原方程可化为［2(x－3)］2－［5(x－2)］2=0，
因式分解，得［2(x－3) +5(x－2)］［2(x－3) －5(x－2)］ =0，
即(7x－16) (－3x+4) =0，
∴ 7x－16=0 或 －3x+4=0.
∴ x1=， x2= .
（2）原方程可化为 (x－) (x－ ) =0.
∴ x－ =0 或 x－ =0.
∴ x1= ， x2= .
常用的分解因式的方法
（1）提取公因式法:
（2）公式法:
（3）十字相乘法:
am + bm + cm = m（a + b + c）.
a2 – b2 = (a + b)(a – b)
a2 + 2ab + b2 = (a + b)2.
x2 +（a + b）x + ab = (x + a)(x + b).
1
1
a
b
用因式分解法解一元二次方程的一般步骤
(1)整理方程，使其右边为0；
(2)将方程左边分解为两个一次因式的乘积；
(3)令两个一次因式分别为0，得到两个一元一次方程；
(4)分别解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解.
1.用因式分解法解方程,下列过程正确的是( )
A
A.化为或
B.化为或
C.化为或
D.化为
2.方程 的两个根的和是( )
C
A. B.0 C.3 D.6
3.用因式分解法解下列方程：
3.用因式分解法解下列方程：
因式分解法
概念
步骤
简记歌诀：
右化零 左分解
两因式 各求解
如果a ·b=0，那么a=0或b=0.
原理
将方程左边因式分解，右边=0.
因式分解的方法有
ma+mb+mc=m(a+b+c);
a2 ±2ab+b2=(a ±b)2；
a2 -b2=(a +b)(a -b).

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