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17.3 一元二次方程根的判别式
第十七章 一元二次方程
01
熟练掌握运用一元二次方程根的判别式判别方程是否有根及两根是否相等.
02
理解为什么能用根的判别式判别一元二次方程根的情况.
一元二次方程的一般式是怎样的？常用的求一元二次方程的解的方法有哪些？
(a≠0)
主要方法: (1)直接开平方法 (2)配方法
(3)公式法 (4)因式分解法
求根公式 （b2－4ac≥0）
交流 回顾求根公式，想想方程 ax2 + bx + c = 0（a ≠ 0）有实数根的条件是什么？何时有两个相等的实数根？何时有两个不相等的实数根？
我们知道，一元二次方程ax2 + bx + c = 0（a ≠ 0）通过配方可以得到：
因为 a ≠ 0，所以
（1）当 b2 – 4ac ＞ 0 时， ＞0，则
因此，方程有两个不相等的实数根：
（2）当 b2 – 4ac = 0 时， =0.
因此，方程有两个相等的实数根：
（3）当 b2 – 4ac < 0 时， ＜0，则
因此，方程没有实数根.
而x取不到任何实数都不能使 ＜0.
＜0.
可见，一元二次方程ax2 + bx + c = 0（a ≠ 0）根的情况由b2 – 4ac来确定．我们把 b2 – 4ac 叫做一元二次方程 ax2+ bx + c = 0（a ≠ 0）根的判别式. 通常用符号“Δ”来表示，即Δ= b2 – 4ac .
一般地，一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 （a ≠ 0），
当 Δ ＞ 0 时，有两个不相等的实数根；
当 Δ = 0 时，有两个相等的实数根；
当 Δ ＜ 0 时，没有实数根.
利用根的判别式判别一元二次方程根的情况的步骤：
(1)把所给的一元二次方程化为一般形式；
(2)确定 a， b， c 的值；
(3) 计算 b2－4ac的值；
(4) 根据 b2－4ac 的值与 0 的大小关系判别 .
例 用根的判别式判别下列方程根的情况：
(1)5x2 3x 2＝0；
(2)25y2+4＝20y；
(3)2x2+x+1＝0.
解（1）因为 Δ =（–3）2 – 4×5×（–2）= 49 ＞ 0，
所以原方程有两个不相等的实数根.
（2）原方程可以变形为 25y2 – 20y + 4 = 0.
因为 Δ = （–20）2 – 4×25×4 = 0，
原方程有两个相等的实数根.
（3）因为 Δ =（）2 – 4×2×1 = – 5 ＜0，
所以原方程没有实数根.
需先将方程化为一般形式
解题秘方：紧扣利用根的判别式判别一元二次方程根的情况的步骤解答，计算根的判别式是关键 .
补充例题 例 关于 x 的一元二次方程(a ＋ 2) x2－3x＋1=0 有实数根，则 a 的取值范围是( )
A. a ≤ 且 a ≠ －2 B. a ≤
C. a< 且 a ≠ －2 D. a<
解：∵关于 x 的一元二次方程
(a ＋ 2) x2 － 3x ＋ 1=0 有实数根，
∴ Δ ≥ 0 且 a ＋ 2 ≠ 0.
∴(－ 3) 2 － 4(a ＋ 2)×1 ≥ 0 且a ＋ 2 ≠ 0，解得 a ≤ 且 a ≠ － 2．
A
1.方程 化为一般形式
后，,____, ___,
_______.
8
2.方程 的根的判别式的值是____.
37
3. 不解方程，判别下列方程根的情况：
(1)2x2 5x 4=0； (2)7t2 5t+2=0；
(3)x(x+1)=3； (4)3y2+25=10 y.
解：(1)因为 =( 5)2 4×2×( 4)=57＞0，
所以原方程有两个不相等的实数根.
(2)因为 =( 5)2 4×7×2= 31＜0，
所以原方程没有实数根.
(3)原方程可变形为x2+x 3=0，
因为 =12 4×1×( 3)=13＞0，
所以原方程有两个不相等的实数根.
(4)原方程可变形为3y2－10y+25=0，
因为 =(10)2－4×3×25=0，
所以原方程有两个相等的实数根.
4．不解方程，判别下列方程根的情况：
（1）4y (y – 1) + 1 = 0；（2）0.2x2 – 5 = x；
解：（1）4y2 – 4y + 1 = 0，∵ Δ = (– 4)2 – 4×4 = 0，
∴方程有两个相等的实数根.
（2）0.2x2 – x – 5 = 0，∵ Δ = (– )2 – 4× 0.2×(–5)＞0，
∴方程有两个不相等的实数根.
（3）2y2 + 4y + 35 = 0；（4）x2 + 0.09 = 0.6x.
（3）∵ Δ = 42 – 4×2×35＜0，∴方程没有实数根.
（4）x2 – 0.6x + 0.09 = 0，∵ Δ = (– 0.6)2 – 4×0.09 = 0，
∴方程有两个相等的实数根.
5. 已知关于x的方程x2 3x＋k＝0，问k取何值时，这个方程：
(1)有两个不相等的实数根？
(2)有两个相等的实数根？
(3)没有实数根？
解：因为 =( 3)2 4×1×k=9 4k，
=0，即：时，方程有两个相等的实数根；
＞0，即：时，方程有两个不相等的实数根；
＜0，即：时，方程无实数根.
一元二次方程根的判别式Δ= b2 – 4ac
当Δ ＞ 0 时，有两个不相等的实数根；
当Δ = 0 时，有两个相等的实数根；
当Δ ＜ 0 时，没有实数根.

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