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17.4 一元二次方程的根与系数的关系
第十七章 一元二次方程
01
探索一元二次方程的根与系数的关系.（难点）
02
不解方程利用一元二次方程的根与系数的关系解决问
题.（重点）
1.一元二次方程的一般形式是什么？
3.一元二次方程的根的情况怎样确定？
2.一元二次方程的求根公式是什么？
通过前面的学习，我们知道，一元二次方程的根完全由它的系数确定,求根公式是根与系数关系的一种形式,除此之外,一元二次方程根与系数之间还有什么形式的关系呢
思考：我们知道，一元二次方程ax2+bx+c=0 (a≠0,且b2-4ac≥0)的两根为:
观察x1、x2表达式的特点，你有什么发现
我们知道，一元二次方 ax2+ bx + c = 0 （a ≠ 0）的两根为
所以 x1 + x2 = + = =
x1x2 = · = =
由此得出，一元二次方程的根与系数之间存在下列关系：
如果 ax2+ bx + c = 0（a ≠ 0）的两根为 x1，x2，那么 x1 + x2 =， x1x2 = .
这个关系通常称为韦达定理.
当一元二次方程的二次项系数为 1 时，它的标准形式为 x2 + px + q = 0. 设它的两个根为 x1，x2，这时韦达定理应是：x1 + x2 = –p，x1x2 = q.
1.特别提醒
一元二次方程的根与系数的关系存在的前提是a ≠ 0，b2－4ac ≥ 0.
2.与一元二次方程两根有关的代数式的常见变形
(1)x12+x22=(x1+x2)2－2x1x2；
(2)(x1－x2)2=(x1+x2)2－4x1x2；
(3)+ = .
例 1 已知关于 x 的方程 2x2 + kx – 4 = 0 的一个根是 –4，求它的另一个根及 k 的值.
解 设方程的另一个根是 x2，则
解方程组，得
答：方程的另一个根为，k 的值为 7.
本题还有别的解法吗？
解题秘方：利用两根之和与积与系数的关系求解 .
解法二： 将 x = –4 代入方程，得
2×（ –4 ）2 +（ –4 ）k – 4 = 0.
解得 k = 7.
将 k = 7代入方程，得
2x2 + 7x – 4 = 0，
解得
先将x=2代入方程中，
求出字母k，
例 1 已知关于 x 的方程 2x2 + kx – 4 = 0 的一个根是 –4，求它的另一个根及 k 的值.
例 2 方程 2x2 – 3x - 1 = 0 的两个根记作x1，x2，不解方程，求 x1 – x2 的值.
解：由韦达定理，得
补充例题 已知实数x1，x2 满足x1+x2=3， x12+x22=5 ，则以x1，x2 为根的一元二次方程是( )
A. x2－3x+2=0 B. x2+3x－2=0
C. x2+3x+2=0 D. x2－3x－2=0
解题秘方：利用完全平方公式计算出 x1· x2=2，然后根据根与系数的关系写出以 x1， x2 为根的一元二次方程 .
答案：A
解：∵ x12＋x22=5，∴(x1＋x2) 2－2x1x2=5.
又∵ x1＋x2=3，∴ 9－2x1x2=5.
∴ x1x2=2.
∴以 x1， x2 为根的一元二次方程为 x2－3x＋2=0.
A
1.下列各方程中，两根之和与两根之积各是多少？
提示：先确定方程的二次项系数、一次项系数、常数项，再根据韦达定理写出两根之和、两根之积.
2. 判定下列各方程后面括号内的两个数是不是它的两个根．
解： （1）不是
（2）是
（3）是
（5）是
（4）不是
3.已知关于x的方程 3x2 -19x + m=0的一个根是1，求它的另一个根及m的值.
解：将x = 1代入方程中： 3 -19 + m = 0.
解得 m = 16,
设另一个根为x1,则：
1 · x1 =
∴x1 =
4．若长方形的长和宽是方程 4x2 – 12x + 3 = 0 的两个根，求该长方形的周长和面积．
解：由韦达定理得 x1 + x2 = 3，x1x2 = .
则该长方形的周长为 2(x1 + x2) = 6，
面积为x1x2 = .
5. 设x1,x2是方程2x2 + 4x – 3 = 0的两个根.利用根与系数之间的关系,求下列各式的值.
(1) (x1 + 1)(x2 + 1);
解
根与系数的关系
（韦达定理）
内 容
如果一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根分别是x1、 x2，那么
应 用

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