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17.5 一元二次方程的应用
第十七章 一元二次方程
01
掌握建立数学模型以解决增长率与降低率问题.(重点）
02
掌握列一元二次方程解决几何问题、数学问题,并能根据具体问题的实际意义,检验结果的合理性.（重点、难点）
小明学习非常认真，学习成绩直线上升，第一次月考数学成绩是80分，第二次月考增长了10%，第三次月考又增长了10%，问他第三次数学成绩是多少？
填空：
1. 前年生产1吨甲种药品的成本是5000元，随着生产技术的进步，去年生产1吨甲种药品的成本是4650 元，则下降率是 .如果保持这个下降率，则现在生产1吨甲种药品的成本是 元.
7%
4324.5
下降率=
下降前的量-下降后的量
下降前的量
2. 前年生产1吨甲种药品的成本是5000元，随着生产技术的进步，设下降率是x,则去年生产1吨甲种药品的成本是 元，如果保持这个下降率，则现在生产1吨甲种药品的成本是 元.
下降率x
第一次降低前的量
5000(1-x)
第一次降低后的量
5000
下降率x
第二次降低后的量
第二次降低前的量
5000(1-x)(1-x)
5000(1-x)2
5000(1-x)
5000(1-x)2
建立一元二次方程模型
实际问题
分析数量关系
设未知数
实际问题的解
解一元二次方程
一元二次方程的根
检 验
运用一元二次方程模型解决实际问题的步骤有哪些？
例 1 17.1 节中的问题 2.
解 设小路的宽是 x m. 根据题意，得
32×20 –（32x + 2×20x）+ 2x2 = 570.
解得 x1 = 1，x2 = 35.
结合题意，x = 35 不可能，因此，只能取 x = 1.
答：小路的宽应为 1 m.
例 2 原来每盒 27 元的一种药品（如图），经两次降价后每盒售价为 9 元.求该药品两次降价的平均降价率是多少？（精确到 1%）
解 设该种药品两次平均降价率是 x.
根据题意，得
27(1 – x)2 = 9.
解得 x1 ≈ 1.58，x2 ≈ 0.42.
x1 ≈ 1.58 不合题意，所以 x ≈ 0.42.
答：该药品两次降价的平均降价率约是 42%.
例 3 如图，一农户原来种植的花生，每公顷产量为 3 000 kg，出油率为 50%（即每 100 kg 花生可加工出花生油 50 kg ）.现在种植新品种花生后，每公顷收获的花生可加工出花生油 1 980 kg，已知花生出油率的增长率是产量增长率的 .求新品种花生产量的增长率.
分析：设新品种花生产量的增长率为 x，则新品种花生出油率的增长率为 ，根据“新品种花生每公顷产量×新品种花生出油率 = 1 980”可列出方程.
解 设新品种花生产量的增长率为 x，根据题意，得
3 000（1 + x）·[ 50%（1+ x）] = 1 980.
解方程，得 x1 = 0.2，x2 = –3.2（不合题意，舍去）
答：新品种花生产量的增长率为 20%.
（1）方程求得的解有两个，要根据实际情况舍去不符合实际情况的解；
（2）若平均增长(或降低)百分率为x，增长(或降低)前的是a，增长(或降低)n次后的量是A，则它们的数量关系可表示为a(1±x)n=A，其中增长取“+”，降低取“－”.
例 3 如图，一农户原来种植的花生，每公顷产量为 3 000 kg，出油率为 50%（即每 100 kg 花生可加工出花生油 50 kg ）.现在种植新品种花生后，每公顷收获的花生可加工出花生油 1 980 kg，已知花生出油率的增长率是产量增长率的 .求新品种花生产量的增长率.
x
x – 40
20
20
解 设原金属片的边长为 x cm，
则方盒的底边长是（x – 40）cm.
根据题意，得
20(x – 40)2 = 2880.
解方程得 x1 = 52，x2 = 28.
x2 不符合题意，所以 x = 52.
答：原金属片的边长为 52 cm.
例 4 正方形金属片一块，将其四个角各截去一个相同大小的小正方形，围成高 20 cm，容积为 2 880 cm3 的开口方盒.问原金属片的边长是多少？
例 5 一组学生组织春游，预计共需费用 1200 元.后来又有 2 人参加进来，费用不变，这样每人可少分摊 30 元.问原来这组学生的人数是多少？
分析：设原来这组学生的人数是 x 人，则把题中信息理成下表：
总费用/元 人数/人 每人费用/元
原来 1200
现在 1200
x
1200
x
x+2
1200
x+2
本题的等量关系是：原来这组学生每人分摊的费用 – 加人后该组学生每人分摊的费用 = 30 元.
解 设原来这组学生的人数是 x 人，那么每人分摊的费用是 元， 增加 2 人后这组学生每人分摊的费用是 元. 根据等量关系得
1200
x
1200
x+2
方程两边同乘以 x（x + 2），整理，得
x2 + 2x – 80 = 0.
解这个方程，得
x1 = –10（不合题意，舍去），x2 = 8.
答：原来这组学生是 8 人.
例 5 一组学生组织春游，预计共需费用 1200 元.后来又有 2 人参加进来，费用不变，这样每人可少分摊 30 元.问原来这组学生的人数是多少？
1.有一张长方形桌子的桌面长 ，宽 .有一块长方形台布的面积
是桌面面积的2倍，并且铺在桌面上时，各边垂下的长度相等.设台布各边
垂下的长度为 ，由题意可列方程( )
C
A.
B.
C.
D.
2.如果两个连续偶数的积是 288,求这两个数.
解:设较小的偶数为x,则较大的偶数为 x+2.
根据题意,得x(x+2)= 288,整理,得
x +2x-288=0.
解这个方程,得x1= 16,x =-18.
当x=16 时,x+2=18;
当x=-18 时,x+2=-16.
答：这两个数是 16，18 或-18，-16.
解：设水管原来的内壁直径为 x mm，可列方程为：
整理，得5x2-108x+324=0
解得 x1=18，x2=3.6
3.6＜3+3时，3不合题意，舍去.
∴x=18
答：这根水管原来的内壁直径18 mm.
3.一根水管因使用日久，内壁均匀地形成一层厚3 mm的附着物，而导致流通截面减少至原来 的.求这根水管原来的内壁直径.
解：设该厂6月份、7月份产量的月平均增长率为x，
可列方程为：
整理，得25x2+50x 11=0
解得 x1=0.2，x2= 2.2
2.2 ＜0不合题意，舍去.
∴x=0.2
答：该厂6月份、7月份产量的月平均增长率为20%.
4.某磷肥厂去年4月份生产磷肥500 t；因管理不善，5月份的磷肥产量减少了10%；从6月份起强化了管理，产量逐月上升，7月份产量达到648 t.求该厂6月份、7月份产量的月平均增长率.
5．在没有空气阻力的条件下，自由下落物体的下落距离 h（单位：m）与下落时间 t（单位：s）有如下关系：h = 4.9t2．今有一铁球从 h = 44.1 m 的高处自由落下（如图），求铁球落到地面所用的时间．
解：根据题意得 44.1 = 4.9t2，即 t2 = 9，
解得 t1 = 3，t2 = – 3（舍去）．
答：铁球落到地面所用的时间为 3 s．
一元二次方程的应用
增长率
a(1+x)2=b,其中a为增长前的量，x为增长率，2为增长次数，b为增长后的量.
降低率
a(1-x)2=b,其中a为降低前的量，x为降低率，2为降低次数，b为降低后的量.注意1与x位置不可调换.
平均变化率问题
几何图形
常见几何图形面积是等量关系.
其他类型问题

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