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第18章 勾股定理及其逆定理
18.1 课时1 勾股定理
1.了解勾股定理的发现过程，掌握勾股定理的内容；
2.会用面积法 证明勾股定理.
观察地砖，看看能从中发现什么数量关系吗？
相传2500年前，毕达哥拉斯有一次在朋友家做客时，发现朋友家的用砖铺成的地面中反映了直角三角形三边的某种数量关系.
如图,在行距、列距都是1个单位长度的方格网中,Rt△ABC的顶点都是格点，∠ACB=，分别以△ABC的各边为正方形的一边，向形外作正方形,并用S1，S2与S3表示这三个正方形的面积.
1.观察图(1),并填写:
S1= 个单位面积;
S2= 个单位面积;
S3= 个单位面积.
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如图,在行距、列距都是1个单位长度的方格网中,Rt△ABC的顶点都是格点，∠ACB=，分别以△ABC的各边为正方形的一边，向形外作正方形,并用S1，S2与S3表示这三个正方形的面积.
1.观察图(2),并填写:
S1= 个单位面积;
S2= 个单位面积;
S3= 个单位面积.
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思考：图(1),(2)中三个正方形面积之间有怎样的关系
用它们的边长a，b，c表示: .
a + b = c
猜想 如图,在Rt△ABC中,∠C=90°，AB=c，BC=a，AC=b.
则 a + b = c .
证明：取4个与Rt△ABC全等的直角三角形,把它们拼成如图所示的边长为a+b的正方形EFGH.
由题意,得A1B1=B1C1=C1D1=A1D1=c.
因为∠B1A1E+∠A1B1E=90°，∠A1B1E=∠D1A1H,
所以∠B1A1E+∠D1A1H=90°，∠D1A1B1=90°,
同理:∠A1B1C1=∠B1C1D1=∠C1D1A1=90°,
则四边形 A1B1C1D1是边长为c的正方形.
分别记正方形EFGH和正方形A1B1C1D1的面积
为S正方形EFGH和S正方形A1B1C1D1则S正方形EFGH-4S△ABC
=S正方形A1B1C1D1
即
化简,得.
定理 直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方.
几何描述：
∵△ABC是直角三角形
∴三边之间的关系为：a + b = c
A
B
C
勾
股
弦
我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾,较长的直角边称为股,斜边称为弦.因此，我们称上述定理为勾股定理,国外称之为毕达哥拉斯定理.
赵爽，字君卿，中国数学家.东汉末至三国时代吴国人.他的主要贡献是约在222年深入研究了《周髀》，该书是我国最古老的天文学著作，该书简明扼要地总结出中国古代勾股算术的深奥原理.其中一段530余字的“勾股圆方图”注文是数学史上极有价值的文献.它详细解释了《周髀算经》中勾股定理，将勾股定理表述为：“勾股各自乘，并之，为弦实.开方除之，即弦.”.又给出了新的证明：“按弦图，又可以勾股相乘为朱实二，倍之为朱实四，以勾股之差自相乘为中黄实，加差实，亦成弦实.”
例1 如图,在Rt△ABC中,两直角边AC=5，BC=12.求:
(1)AB的长;
(2)斜边上的高 CD 的长.
解(1)在Rt△ABC中，
AB2=AC2+BC2=52+122=169.
则AB =13.
(2)∵S△ABC=AC·BC=AB·CD，
∴CD = = = .
1．如图，在边长为1个单位长度的小正方形网格中，点A、B都是格点（即网格线的交点），则线段AB的长度为（　　）
A．3 B．5 C．6 D．4
B
2．在直角坐标系中，已知点P的坐标为（5,12），则点P到原点的距离是（ ）
A．5 B．12 C．13 D．17
C
3．已知a=3，b=4，若a，b，c能组成直角三角形，则c=（　　）
A．5 B． C．5或 D．5或6
C
4．“赵爽弦图”巧妙的利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如下图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长的直角边长为，较短的直角边长为，若，大正方形的面积为，求小正方形的面积.
解：如图所示：
∵ ，∴ ，
∵大正方形的面积为
，
∴2ab=21-13=8，
∴小正方形的面积为13- =13-2ab=13-8=5.
∴小正方形的面积为5.
勾股定理
定理：
直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方.
几何语言：
△ABC是直角三角形，三边之间的关系为：a + b = c

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